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【334312】2021年全国高考甲卷数学文试卷

时间:2025-01-21 17:58:46 作者: 字数:13645字

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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绝密·启用前

2021年全国高考甲卷数学(文)试卷

题号

总分

得分





注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上



评卷人

得分




一、选择题

1.设集合 ,则 ( )
A

B

C

D

2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:


根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A
.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B
.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C
.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D
.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知 ,则 ( )
A

B

C

D

4.下列函数中是增函数的为( )
A

B

C

D

5. 到双曲线 的一条渐近线的距离为( )
A

B

C

D

6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V .已知某同学力的五分记录法的数据4.9力的小数记录法的数据 )(
A
1.5
B
1.2
C
0.8
D
0.6

7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为EFG正方体截去三棱 后,所得多面体的三视图中,正视图所示,侧视图是(

A

B

C

D

8. 中,已知 ,则 ( )
A
1
B

C

D
3

9. 为等比数列 的前n.
A
7
B
8
C
9
D
10

10.3120随机排成一行,则20不相邻的概率为( )
A
0.3
B
0.5
C
0.6
D
0.8

11. ,则 ( )
A

B

C

D

12. 是定义域为R的奇函数,且 . ,则 ( )
A

B

C

D

评卷人

得分




二、填空题

13.若向量 满足 ,则 _________.

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为 则该圆锥的侧面积为________.

15.已知函数 的部分图像如图所示,则 _______________.

16.已知 为椭圆C 的两个焦点,PQC上关于坐原点称的两点,且 的面积为________

评卷人

得分




三、解答题

17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:


一级品

二级品

合计

甲机床

150

50

200

乙机床

120

80

200

合计

270

130

400


1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

18. 为数列 的前n和,已知 ,且数列 是等差数列,明: 是等差数列.

19.已知直三棱柱 中,侧面 为正方形, EF别为 的中点, .

1)求三棱 的体
2)已知D 上的点,明: .

20.设函数 ,其中 .
1)讨论 的单调性;
2)若 的图象与 轴没有公共点,求a的取.

21.抛物线C原点O.焦点在x上,直线l CPQ两点,且 .已知点 ,且 l相切.
1)求C 的方程;
2 C上的三个点,直线 均与 相切.判断直线 的位置关系,并明理由.

22.在直角坐标系 中,以坐标原点为极点,x正半轴为建立极坐系,曲线C的极坐方程
1)将C的极坐方程化直角坐方程;
2A的直角坐标为 MC上的点,点P ,写出Р 的参数方程,并判断C 是否有公共点.

23.已知函数

1)画出 的图像;
2)若 ,求a的取

参考答案

1.B

【解析】
求出集合 后可求 .
,故
故选:B.

2.C

【解析】
根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.
因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ,A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ,B正确;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 ,D正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元),超过6.5万元,故C错误.
综上,给出结论中不正确的是C.
故选:C.

3.B

【解析】
由已知得 ,根据复数除法运算法则,即可求解.

.
故选:B.

4.D

【解析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
对于A 上的减函数,不合题意,舍.
对于B 上的减函数,不合题意,舍.
对于C 为减函数,不合题意,舍.
对于D 上的增函数,符合题意,
故选:D.

5.A

【解析】
首先确定渐近线方程,然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
由题意可知,双曲线的渐近线方程为: ,即
结合对称性,不妨考虑点 到直线 的距离: .
故选:A.

6.C

【解析】
根据 关系,当 时,求出 ,再用指数表示 ,即可求解.
,当 时,
.
故选:C.


7.D

【解析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图,结合直观图进行判断.
由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,

所以其侧视图为

故选:D


8.D

【解析】
利用余弦定理得到关于BC度的方程,解方程即可求得边长.

合余弦定理: 可得:
即: ,解得: 舍去),
.
D.

9.A

【解析】
根据题目条件可得 成等比数列,从而求出 ,进一步求出答案.
为等比数列 的前n和,
成等比数列


.
A.

10.C

【解析】
利用古典概型的概率公式可求概率.
解:将3120随机排成一行,可以是:

10种排法,
其中20不相邻的排列方法为:

6种方法,
20不相邻的概率为
故选:C.

11.A

【解析】
由二倍角公式可得 ,再结合已知可求得 ,利用同角三角函数的基本关系即可求解.


,解得
.
故选:A.

12.C

【解析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
由题意可得:

.
故选:C.

13.

【解析】
根据题目条件,利用 模的平方可以得出答案


.
故答案为: .

14.

【解析】
利用体积公式求出圆锥的高,进一步求出母线长,最终利用侧面积公式求出答案.



.
故答案为: .

15.

【解析】
首先确定函数的解析式,然后求解 的值即可.
由题意可得:
时,
可得:
据此有: .
故答案为: .

16.

【解析】
根据已知可得 ,设 ,利用勾股定理结合 ,求出 ,四边形 面积等于 ,即可求解.
因为 上关于坐标原点对称的两点,
,所以四边形 为矩形,
,则
所以
,即四边形 面积等于 .
故答案为: .


17.175%60%
2)能.

【解析】
根据给出公式计算即可
1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .
2 ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.证明见解析.

【解析】
先根据 求出数列 的公差 ,进一步写出 的通项,从而求出 的通项公式,最终得证.
数列 是等差数列,设公差为


时,
时, ,满足
的通项公式为

是等差数列.

19.(1) (2)证明见解析.

【解析】
(1)
首先求得AC度,然后利用体公式可得三棱的体
(2)
将所的几何体形,从而把线线垂直的问题转为证线面垂直,然后再由线面垂直可得中的结论.
(1)
所示,连结AF

意可得:
由于ABBB1BCAB ,故 平面
平面 ,故
从而有
从而
等腰直角三角形,
.
(2)
(1)结论可将几何体一个棱长为2的正方体 ,如所示,取棱 的中点 连结

正方形 中, 中点,

平面 ,而 平面
从而 .

20.1 的减区间为 ,增区间为 ;(2 .

【解析】
1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.
2)根据 及(1)的单调性性可得 ,从而可求a的取.
1)函数的定

,故
;当
所以 的减区间为 ,增区间为 .
2)因 没有公共点,
所以 象在 的上方,
由(1)中函数的单调性可得
.

21.1)抛物线 方程为 ;(2)相切,理由见解析

【解析】
1)根据已知抛物线与 相交,可得出抛物线开口向右,设出标准方程,再利用对称性设出 坐标,由 ,即可求出 ;由圆 与直线 相切,求出半径,即可得出结论;
2)先考虑 斜率不存在,根据对称性,即可得出结论;若 斜率存在,由 三点在抛物线上,将直线 斜率分别用纵坐标表示,再由 与圆 相切,得出 的关系,最后求出 点到直线 的距离,即可得出结论.
1)依题意设抛物线

所以抛物线 的方程为
相切,所以半径为
所以 的方程为
2)设
斜率不存在,则 方程为
方程为 ,根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的另一条直线方程为
此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在 ,不合题意;
方程为 ,根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线

,此时直线 关于 轴对称,
所以直线 与圆 相切;
若直线 斜率均存在,

所以直线 方程为
整理得
同理直线 的方程为
直线 的方程为
与圆 相切,
整理得
与圆 相切,同理
所以 为方程 的两根,

到直线 的距离为:


所以直线 与圆 相切;
综上若直线 与圆 相切,则直线 与圆 相切.

22.1 ;(2P 的参数方程 参数),C 没有公共点.

【解析】
1)将曲线C的极坐方程化 ,将 代入可得;
2 ,根据向量关系即可求得P 的参数方程,求出两圆圆心距,和半径之差比可得.
1)由曲线C的极坐方程 可得
代入可得 ,即
即曲线C的直角坐方程
2


,即
P 的参数方程 参数)
线C ,半径 ,曲线 ,半径2
则圆心距 内含,
故曲线C 没有公共点.

23.1)图像见解析;(2

【解析】
1)分段去绝对值即可画出图像;
2)根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角,求得 的值可求.
1)可得 ,画出图像如下:

,画出函数图像如下:

2
如图,在同一个坐标系里画出 图像,
平移了 个单位得到,
则要使 ,需将 向左平移,即
时, ,解得 (舍去),
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位, .


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