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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密·启用前
2021年全国高考甲卷数学(文)试卷
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
|
一、选择题 |
1.设集合
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(
)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列函数中是增函数的为(
)
A.
B.
C.
D.
5.点
到双曲线
的一条渐近线的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足
.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为(
)(
)
A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6
7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥
后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(
)
A.
B.
C.
D.
8.在
中,已知
,
,
,则
(
)
A.1
B.
C.
D.3
9.记
为等比数列
的前n项和.若
,
,则
(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(
)
A.0.3
B.0.5
C.0.6
D.0.8
11.若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
12.设
是定义域为R的奇函数,且
.若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
|
二、填空题 |
13.若向量 满足 ,则 _________.
14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为 则该圆锥的侧面积为________.
15.已知函数
的部分图像如图所示,则
_______________.
16.已知 为椭圆C: 的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且 ,则四边形 的面积为________.
|
三、解答题 |
17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
|
一级品 |
二级品 |
合计 |
甲机床 |
150 |
50 |
200 |
乙机床 |
120 |
80 |
200 |
合计 |
270 |
130 |
400 |
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:
|
0.050 |
0.010 |
0.001 |
k |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
18.记 为数列 的前n项和,已知 ,且数列 是等差数列,证明: 是等差数列.
19.已知直三棱柱
中,侧面
为正方形,
,E,F分别为
和
的中点,
.
(1)求三棱锥
的体积;
(2)已知D为棱
上的点,证明:
.
20.设函数
,其中
.
(1)讨论
的单调性;
(2)若
的图象与
轴没有公共点,求a的取值范围.
21.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:
交C于P,Q两点,且
.已知点
,且
与l相切.
(1)求C,
的方程;
(2)设
是C上的三个点,直线
,
均与
相切.判断直线
与
的位置关系,并说明理由.
22.在直角坐标系
中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为
,M为C上的动点,点P满足
,写出Р的轨迹
的参数方程,并判断C与
是否有公共点.
23.已知函数
.
(1)画出
和
的图像;
(2)若
,求a的取值范围.
参考答案
1.B
【解析】
求出集合
后可求
.
,故
,
故选:B.
2.C
【解析】
根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.
因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为
,故A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为
,故B正确;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为
,故D正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
(万元),超过6.5万元,故C错误.
综上,给出结论中不正确的是C.
故选:C.
3.B
【解析】
由已知得
,根据复数除法运算法则,即可求解.
,
.
故选:B.
4.D
【解析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
对于A,
为
上的减函数,不合题意,舍.
对于B,
为
上的减函数,不合题意,舍.
对于C,
在
为减函数,不合题意,舍.
对于D,
为
上的增函数,符合题意,
故选:D.
5.A
【解析】
首先确定渐近线方程,然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
由题意可知,双曲线的渐近线方程为:
,即
,
结合对称性,不妨考虑点
到直线
的距离:
.
故选:A.
6.C
【解析】
根据
关系,当
时,求出
,再用指数表示
,即可求解.
由
,当
时,
,
则
.
故选:C.
7.D
【解析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图,结合直观图进行判断.
由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,
所以其侧视图为
故选:D
8.D
【解析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程,解方程即可求得边长.
设
,
结合余弦定理:
可得:
,
即:
,解得:
(
舍去),
故
.
故选:D.
9.A
【解析】
根据题目条件可得
,
,
成等比数列,从而求出
,进一步求出答案.
∵
为等比数列
的前n项和,
∴
,
,
成等比数列
∴
,
∴
,
∴
.
故选:A.
10.C
【解析】
利用古典概型的概率公式可求概率.
解:将3个1和2个0随机排成一行,可以是:
,
共10种排法,
其中2个0不相邻的排列方法为:
,
共6种方法,
故2个0不相邻的概率为
,
故选:C.
11.A
【解析】
由二倍角公式可得
,再结合已知可求得
,利用同角三角函数的基本关系即可求解.
,
,
,
,解得
,
,
.
故选:A.
12.C
【解析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得
的值.
由题意可得:
,
而
,
故
.
故选:C.
13.
【解析】
根据题目条件,利用
模的平方可以得出答案
∵
∴
∴
.
故答案为:
.
14.
【解析】
利用体积公式求出圆锥的高,进一步求出母线长,最终利用侧面积公式求出答案.
∵
∴
∴
∴
.
故答案为:
.
15.
【解析】
首先确定函数的解析式,然后求解
的值即可.
由题意可得:
,
当
时,
,
令
可得:
,
据此有:
.
故答案为:
.
16.
【解析】
根据已知可得
,设
,利用勾股定理结合
,求出
,四边形
面积等于
,即可求解.
因为
为
上关于坐标原点对称的两点,
且
,所以四边形
为矩形,
设
,则
,
所以
,
,即四边形
面积等于
.
故答案为:
.
17.(1)75%;60%;
(2)能.
【解析】
根据给出公式计算即可
(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为
,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为
.
(2)
,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18.证明见解析.
【解析】
先根据
求出数列
的公差
,进一步写出
的通项,从而求出
的通项公式,最终得证.
∵数列
是等差数列,设公差为
∴
,
∴
,
∴当
时,
当
时,
,满足
,
∴
的通项公式为
,
∴
∴
是等差数列.
19.(1)
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)首先求得AC的长度,然后利用体积公式可得三棱锥的体积;
(2)将所给的几何体进行补形,从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直,然后再由线面垂直可得题中的结论.
(1)如图所示,连结AF,
由题意可得:
,
由于AB⊥BB1,BC⊥AB,
,故
平面
,
而
平面
,故
,
从而有
,
从而
,
则
,
为等腰直角三角形,
,
.
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体
,如图所示,取棱
的中点
,连结
,
正方形
中,
为中点,则
,
又
,
故
平面
,而
平面
,
从而
.
20.(1)
的减区间为
,增区间为
;(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.
(2)根据
及(1)的单调性性可得
,从而可求a的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
又
,
因为
,故
,
当
时,
;当
时,
;
所以
的减区间为
,增区间为
.
(2)因为
且
的图与
轴没有公共点,
所以
的图象在
轴的上方,
由(1)中函数的单调性可得
,
故
即
.
21.(1)抛物线
,
方程为
;(2)相切,理由见解析
【解析】
(1)根据已知抛物线与
相交,可得出抛物线开口向右,设出标准方程,再利用对称性设出
坐标,由
,即可求出
;由圆
与直线
相切,求出半径,即可得出结论;
(2)先考虑
斜率不存在,根据对称性,即可得出结论;若
斜率存在,由
三点在抛物线上,将直线
斜率分别用纵坐标表示,再由
与圆
相切,得出
与
的关系,最后求出
点到直线
的距离,即可得出结论.
(1)依题意设抛物线
,
,
所以抛物线
的方程为
,
与
相切,所以半径为
,
所以
的方程为
;
(2)设
若
斜率不存在,则
方程为
或
,
若
方程为
,根据对称性不妨设
,
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
,
此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在
,不合题意;
若
方程为
,根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
,
又
,
,此时直线
关于
轴对称,
所以直线
与圆
相切;
若直线
斜率均存在,
则
,
所以直线
方程为
,
整理得
,
同理直线
的方程为
,
直线
的方程为
,
与圆
相切,
整理得
,
与圆
相切,同理
所以
为方程
的两根,
,
到直线
的距离为:
,
所以直线
与圆
相切;
综上若直线
与圆
相切,则直线
与圆
相切.
22.(1)
;(2)P的轨迹
的参数方程为
(
为参数),C与
没有公共点.
【解析】
(1)将曲线C的极坐标方程化为
,将
代入可得;
(2)设
,设
,根据向量关系即可求得P的轨迹
的参数方程,求出两圆圆心距,和半径之差比较可得.
(1)由曲线C的极坐标方程
可得
,
将
代入可得
,即
,
即曲线C的直角坐标方程为
;
(2)设
,设
,
,
则
,即
,
故P的轨迹
的参数方程为
(
为参数)
曲线C的圆心为
,半径为
,曲线
的圆心为
,半径为2,
则圆心距为
,
,
两圆内含,
故曲线C与
没有公共点.
23.(1)图像见解析;(2)
【解析】
(1)分段去绝对值即可画出图像;
(2)根据函数图像数形结和可得需将
向左平移可满足同角,求得
过
时
的值可求.
(1)可得
,画出图像如下:
,画出函数图像如下:
(2)
,
如图,在同一个坐标系里画出
图像,
是
平移了
个单位得到,
则要使
,需将
向左平移,即
,
当
过
时,
,解得
或
(舍去),
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位,
.
第