【334312】2021年全国高考甲卷数学文试卷

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密·启用前

2021年全国高考甲卷数学（文）试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.设集合 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：


根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

4.下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．

5.点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6

7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．1
B．
C．
D．3

9.记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3
B．0.5
C．0.6
D．0.8

11.若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

12.设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

13.若向量 满足 ，则 _________.

14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________.

15.已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________.

16.已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

18.记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列.

19.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点， .

（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .

20.设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.

21.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．

22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点．

23.已知函数 ．

（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．

参考答案

1.B

【解析】
求出集合 后可求 .
，故 ，
故选：B.

2.C

【解析】
根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 ,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.

3.B

【解析】
由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
，
.
故选：B.

4.D

【解析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.

5.A

【解析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.

6.C

【解析】
根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.

7.D

【解析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D

8.D

【解析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.

9.A

【解析】
根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.

10.C

【解析】
利用古典概型的概率公式可求概率.
解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为 ，
故选：C.

11.A

【解析】
由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.

12.C

【解析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.

13.

【解析】
根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
∵
∴
∴ .
故答案为： .

14.

【解析】
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
∵
∴
∴
∴ .
故答案为： .

15.

【解析】
首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .

16.

【解析】
根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形 面积等于 ，即可求解.
因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .

17.（1）75%；60%；
（2）能.

【解析】
根据给出公式计算即可
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .
（2） ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.证明见解析.

【解析】
先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，最终得证.
∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.

19.(1) ；(2)证明见解析.

【解析】
(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
(1)如图所示，连结AF，

由题意可得： ，
由于AB⊥BB₁，BC⊥AB， ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，
从而有 ，
从而 ，
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的中点 ，连结 ，

正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .

20.（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .

【解析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据 及（1）的单调性性可得 ，从而可求a的取值范围.
（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .

21.（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析

【解析】
（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出 坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜率存在，由 三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由 与圆 相切，得出 与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，即可得出结论.
（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：

，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.

22.（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点.

【解析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入可得；
（2）设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.

23.（1）图像见解析；（2）

【解析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时 的值可求.
（1）可得 ，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .