2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=_____.

解析：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，

∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，

答案：{1，8}

2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为_____.

解析：由i·z=1+2i，

得 ，

∴z的实部为2.

答案：2

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_____.

解析：根据茎叶图中的数据知，

这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，

它们的平均数为 ×(89+89+90+91+91)=90.

答案：90

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_____.

解析：模拟程序的运行过程如下；

I=1，S=1，

I=3，S=2，

I=5，S=4，

I=7，S=8，

此时不满足循环条件，则输出S=8.

答案：8

5.函数 的定义域为_____.

解析：由题意得： ≥1，

解得：x≥2，

∴函数f(x)的定义域是[2，+∞).

答案：[2，+∞)

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_____.

解析：(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，

共有C₅²=10种，其中全是女生的有C₃²=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3，

(适合文科生)，设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，

其中全是女生为AB，AC，BC共3种，

故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3，

答案：0.3

7.已知函数y=sin(2x+φ)( )的图象关于直线x= 对称，则φ的值为_____.

解析：∵y=sin(2x+φ)( )的图象关于直线x= 对称，

∴ ，k∈Z，

即φ=kπ﹣ ，

∵ ，

∴当k=0时，φ=﹣ ，

答案：﹣

8.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值为_____.

解析：双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线 的距离为 c，

可得： ，

可得 ，即c=2a，

所以双曲线的离心率为： .

答案：2

9.函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R)，且在区间(﹣2，2]上，f(x)= ，则f(f(15))的值为_____.

解析：由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数，

则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=|﹣1+ |= ，

，

即f(f(15))= .

答案：

10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____.

解析：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为： ，

八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，

多面体的中心为顶点的多面体的体积为： .

答案：

11.若函数f(x)=2x³﹣ax²+1(a∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为_____.

解析：∵函数f(x)=2x³﹣ax²+1(a∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，

∴f′(x)=2x(3x﹣a)，x∈(0，+∞)，

①当a≤0时，f′(x)=2x(3x﹣a)＞0，

函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(0)=1，f(x)在(0，+∞)上没有零点，舍去；

②当a＞0时，f′(x)=2x(3x﹣a)＞0的解为x＞ ，

∴f(x)在(0， )上递减，在( ，+∞)递增，

又f(x)只有一个零点，

∴ ，解得a=3，

f(x)=2x³﹣3x²+1，f′(x)=6x(x﹣1)，x∈[﹣1，1]，

f′(x)＞0的解集为(﹣1，0)，

f(x)在(﹣1，0)上递增，在(0，1)上递减，

f(﹣1)=﹣4，f(0)=1，f(1)=0，

∴f(x)_min=f(﹣1)=﹣4，f(x)_max=f(0)=1，

∴f(x)在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f(x)_max+f(x)_min=﹣4+1=﹣3.

答案：-3

12.在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 ，则点A的横坐标为_____.

解析：设A(a，2a)，a＞0，

∵B(5，0)，∴C( ，a)，

则圆C的方程为(x﹣5)(x﹣a)+y(y﹣2a)=0.

联立 ，解得D(1，2).

∴ .

解得：a=3或a=﹣1.

又a＞0，∴a=3.

即A的横坐标为3.

答案：3

13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为_____.

解析：由题意得 acsin120°= asin60°+ csin60°，

即ac=a+c，

得 ，

得 ，

当且仅当 ，即c=2a时，取等号.

答案：9

14.已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2ⁿ，n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a_n}，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则使得S_n＞12a_n+1成立的n的最小值为_____.

解析：利用列举法可得：

，a₂₇=43，⇒12a₂₇=516，不符合题意.

，₂₈=45⇒12₂₈=540，符合题意，

答案：27

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，AB₁⊥B₁C₁.

求证：(1)AB∥平面A₁B₁C；

(2)平面ABB₁A₁⊥平面A₁BC.

解析：(1)由 ⇒AB∥平面A₁B₁C；

(2)可得四边形ABB₁A₁是菱形，AB₁⊥A₁B，

由AB₁⊥B₁C₁⇒AB₁⊥BC⇒AB₁⊥面A₁BC，⇒平面ABB₁A₁⊥平面A₁BC.

答案：证明：(1)平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁，

⇒AB∥平面A₁B₁C；

(2)在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，⇒四边形ABB₁A₁是菱形，⊥AB₁⊥A₁B.

在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，AB₁⊥B₁C₁⇒AB₁⊥BC.

∴

⇒AB₁⊥面A₁BC，且AB₁⊂平面ABB₁A₁⇒平面ABB₁A₁⊥平面A₁BC.

16.已知α，β为锐角，tanα= ，cos(α+β)=﹣ .

(1)求cos2α的值；

(2)求tan(α﹣β)的值.

解析：(1)由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；

(2)由(1)求得tan2α，再由cos(α+β)=﹣ 求得tan(α+β)，利用tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]，展开两角差的正切求解.

答案：(1)由 ，解得 ，

∴cos2α= ；

(2)由(1)得，sin2α＝2sinαcosα＝ ，则tan2α= .

∵α，β∈(0， )，∴α+β∈(0，π)，

∴ .

则 .

∴tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]= .

17.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧 (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

解析：(1)根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；

(2)根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f(θ)，

利用导数求f(θ)的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大.

答案：(1)S_矩形ABCD=(40sinθ+10)·80cosθ

=800(4sinθcosθ+cosθ)，

S_△CDP= ·80cosθ(40﹣40sinθ)

=1600(cosθ﹣cosθsinθ)，

当B、N重合时，θ最小，此时sinθ= ；

当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，

∴sinθ的取值范围是[ ，1)；

(2)设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，

则y=3200t(4sinθcosθ+cosθ)+4800t(cosθ﹣cosθsinθ)

=8000t(sinθcosθ+cosθ)，其中sinθ∈[ ，1)；

设f(θ)=sinθcosθ+cosθ，

则f′(θ)=cos²θ﹣sin²θ﹣sinθ

=﹣2sin²θ﹣sinθ+1；

令f′(θ)=0，解得sinθ= ，此时θ= ，cosθ= ；

当sinθ∈[ )时，f′(θ)＞0，f(θ)单调递增；

当sinθ∈[ ，1)时，f′(θ)＜0，f(θ)单调递减；

∴θ= 时，f(θ)取得最大值，即总产值y最大.

答：(1)S_矩形ABCD=800(4sinθcosθ+cosθ)，

S_△CDP=1600(cosθ﹣cosθsinθ)，

sinθ∈[ ，1)；

(2)θ= 时总产值y最大.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点( )，焦点F₁(﹣ ，0)，F₂( ，0)，圆O的直径为F₁F₂.

(1)求椭圆C及圆O的方程；

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点.若△OAB的面积为 ，求直线l的方程.

解析：(1)由题意可得c= . ，又a²+b²=c²=3，解得a=2，b=1即可.

(2)①可设直线l的方程为y=kx+m，(k＜0，m＞0).可得 ，即m²＝3+3k².

由 ，可得(4k²+1)x²+8kmx+4m²﹣4=0，△=(8km)²﹣4(4k²+1)(4m²﹣4)=0，解得k=﹣ ，m=3.即可.

②设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，联立直线与椭圆方程得(4k²+1)x²+8kmx+4m²﹣4=0，

O到直线l的距离 ，

△OAB的面积为S= ，

解得k=﹣ ，(正值舍去)，m=3 .即可

答案：(1)由题意可设椭圆方程为 ，(a＞b＞0)，

∵焦点F₁(﹣ ，0)，F₂( ，0)，∴c= .

∵∴ ，又a²+b²=c²=3，

解得a=2，b=1.

∴椭圆C的方程为： ，圆O的方程为：x²+y²=3.

(2)①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，

∴可设直线l的方程为y=kx+m，(k＜0，m＞0).

由圆心(0，0)到直线l的距离等于圆半径 ，可得 ，即m²＝3+3k².

由 ，可得(4k²+1)x²+8kmx+4m²﹣4=0，

△=(8km)²﹣4(4k²+1)(4m²﹣4)=0，

可得m²=4k²+1，∴3k²+3=4k²+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣ ，m=3.

将k=﹣ ，m=3代入 可得 ，

解得x= ，y=1，故点P的坐标为( ).

②设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由 ⇒k＜﹣ .

联立直线与椭圆方程得(4k²+1)x²+8kmx+4m²﹣4=0，

，

O到直线l的距离 ，

，

△OAB的面积为S= ，

解得k=﹣ ，(正值舍去)，m=3 .

∴ 为所求.

19.记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x₀∈R，满足f(x₀)=g(x₀)且f′(x₀)=g′(x₀)，则称x₀为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数f(x)=x与g(x)=x²+2x﹣2不存在“S点”；

(2)若函数f(x)=ax²﹣1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数a的值；

(3)已知函数f(x)=﹣x²+a， .对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S点”，并说明理由.

解析：(1)根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；

(2)根据“S点”的定义解两个方程即可；

(3)分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可.

答案：(1)证明：f′(x)=1，g′(x)=2x+2，

则由定义得 ，得方程无解，则f(x)=x与g(x)=x²+2x﹣2不存在“S点”；

(2)f′(x)=2ax，g′(x)= ，x＞0，

由f′(x)=g′(x)得 =2ax，得 ，

，得a= ；

(3)f′(x)=﹣2x， ，(x≠0)，

由f′(x₀)=g′(x₀)，得 ，得0＜x₀＜1，

由f(x₀)=g(x₀)，得 ，得 ，

令 ，(a＞0，0＜x＜1)，

设m(x)=﹣x³+3x²+ax﹣a，(a＞0，0＜x＜1)，

则m(0)=﹣a＜0，m(1)=2＞0，得m(0)m(1)＜0，

又m(x)的图象在(0，1)上连续不断，

则m(x)在(0，1)上有零点，

则h(x)在(0，1)上有零点，

则f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S”点.

20.设{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列，{b_n}是首项为b₁，公比为q的等比数列.

(1)设a₁=0，b₁=1，q=2，若|a_n﹣b_n|≤b₁对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

(2)若a₁=b₁＞0，m∈N*，q∈(1， ]，证明：存在d∈R，使得|a_n﹣b_n|≤b₁对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围(用b₁，m，q表示).

解析：(1)根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；

(2)根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可.

答案：(1)由题意可知|a_n﹣b_n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，

∵a₁=0，q=2，

∴ ，解得 .即 .

证明：(2)∵a_n=a₁+(n﹣1)d，b_n=b₁·q^n﹣1，

若存在d∈R，使得|a_n﹣b_n|≤b₁对n=2，3，…，m+1均成立，

则|b₁+(n﹣1)d﹣b₁·q^n﹣1|≤b₁，(n=2，3，…，m+1)，

即 ，(n=2，3，…，m+1)，

∵q∈(1， ]，∴则1＜q^n﹣1≤q^m≤2，(n=2，3，…，m+1)，

∴ ，

因此取d=0时，|a_n﹣b_n|≤b₁对n=2，3，…，m+1均成立，

下面讨论数列{ }的最大值和数列{ }的最小值，

①当2≤n≤m时， ，

当 时，有qⁿ≤q^m≤2，

从而n(qⁿ﹣q^n﹣1)﹣qⁿ+2＞0，

因此当2≤n≤m+1时，数列{ }单调递增，

故数列{ }的最大值为 .

②设f(x)=2^x(1﹣x)，当x＞0时，f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2^x＜0，

∴f(x)单调递减，从而f(x)＜f(0)=1，

当2≤n≤m时， ，

因此当2≤n≤m+1时，数列{ }单调递递减，

故数列{ }的最小值为 ，

∴d的取值范围是 .

数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)

21.如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC= ，求BC的长.

解析：连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长.

答案：连接OC，

因为PC为切线且切点为C，

所以OC⊥CP.

因为圆O的半径为2，PC＝ ，

所以BO=OC=2， ，

所以 ，

所以∠COP=60°，

所以△COB为等边三角形，

所以BC=BO=2.

B.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)

22.已知矩阵A= .

(1)求A的逆矩阵A^﹣1；

(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标.

解析：(1)矩阵A= ，求出det(A)=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A^﹣1.

(2)设P(x，y)，通过 ，求出 ，即可得到点P的坐标.

答案：(1)矩阵A= ，det(A)=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，

从而：A的逆矩阵A^﹣1= .

(2)设P(x，y)，则 ，所以 ，

因此点P的坐标为(3，﹣1).

C.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分0分)

23.在极坐标系中，直线l的方程为ρsin( ﹣θ)=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长.

解析：将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解.

答案：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，⇒x²+y²=4x，

∴曲线C是圆心为C(2，0)，半径为r=2得圆.

∵直线l的方程为ρsin( ﹣θ)=2，∴ ，

∴直线l的普通方程为：x﹣ y=4.

圆心C到直线l的距离为 ，

∴直线l被曲线C截得的弦长为 .

D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分0分)

24.若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x²+y²+z²的最小值.

解析：根据柯西不等式进行证明即可.

答案：由柯西不等式得(x²+y²+z²)(1²+2²+2²)≥(x+2y+2z)²，

∵x+2y+2z=6，∴x²+y²+z²≥4

是当且仅当 时，不等式取等号，此时x= ，y= ，z= ，

∴x²+y²+z²的最小值为4

【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25.如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，点P，Q分别为A₁B₁，BC的中点.

(1)求异面直线BP与AC₁所成角的余弦值；

(2)求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值.

解析：设AC，A₁C₁的中点分别为O，O₁，以{ }为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

(1)由 可得异面直线BP与AC₁所成角的余弦值；

(2)求得平面AQC₁的一个法向量为 ，设直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值为θ，

可得 ，即可得直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值.

答案：如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，

设AC，A₁C₁的中点分别为O，O₁，

则，OB⊥OC，OO₁⊥OC，OO₁⊥OB，

故以{ }为基底，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

∵AB=AA₁=2，A(0，﹣1，0)，B( ，0，0)，

C(0，1，0)，

A₁(0，﹣1，2)，B₁( ，0，2)，C₁(0，1，2).

(1)点P为A₁B₁的中点.∴ ，

∴ .

.

∴异面直线BP与AC₁所成角的余弦值为： ；

(2)∵Q为BC的中点.∴

∴ ， ，

设平面AQC₁的一个法向量为 =(x，y，z)，

由 ，可取 =( ，﹣1，1)，

设直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值为θ，

，

∴直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值为 .

26.设n∈N^*，对1，2，……，n的一个排列i₁i₂……i_n，如果当s＜t时，有i_s＞i_t，则称(i_s，i_t)是排列i₁i₂……i_n的一个逆序，排列i₁i₂……i_n的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2.记f_n(k)为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.

(1)求f₃(2)，f₄(2)的值；

(2)求f_n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).

解析：(1)由题意直接求得f₃(2)的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f₄(2)的值；

(2)对一般的n(n≥4)的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f_n(1)=n﹣1.

为计算f_n+1(2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f_n+1(2)=f_n(2)+f_n(1)+f_n(0)=f_n(2)+n，则当n≥5时，f_n(2)=[f_n(2)﹣f_n﹣1(2)]+[f_n﹣1(2)﹣f_n﹣2(2)]+…+[f₅(2)﹣f₄(2)]+f₄(2)，则f_n(2)(n≥5)的表达式可求.

答案：(1)记μ(abc)为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有

μ(123)=0，μ(132)=1，μ(231)=2，μ(321)=3，

∴f₃(0)=1，f₃(1)=f₃(2)=2，

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此，f₄(2)=f₃(2)+f₃(1)+f₃(0)=5；

(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f_n(0)=1.

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f_n(1)=n﹣1.

为计算f_n+1(2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此，f_n+1(2)=f_n(2)+f_n(1)+f_n(0)=f_n(2)+n.

当n≥5时，f_n(2)=[f_n(2)﹣f_n﹣1(2)]+[f_n﹣1(2)﹣f_n﹣2(2)]+…+[f₅(2)﹣f₄(2)]+f₄(2)

=(n﹣1)+(n﹣2)+…+4+f₄(2)= .

因此，当n≥5时，f_n(2)= .