【334342】2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理

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153723-2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷·理)-网络收集版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．设 , 则 （      ）

A．10i B．2i C．10 D．-2

2．集合 , 则 （      ）

A． {1,4,9} B． {3,4,9} C． {1,2,3} D． {2,3,5}

3．若实数 x , y 满足约束条件 ，则 的最小值为（      ）

A． B． 0 C． D．

4．记 为等差数列 的前 项和, 若 , 则 （      ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的两个焦点分别为 , 过点（-6,4）在该双曲线上，则双曲线的离心率为（      ）

A． 4 B． 3 C．2 D．

6．设函数 ，则曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为（      ）

A． B． C． D．

7． 函数 在区间[-2.8,2.8]的大致图象为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

8． 已知 , 则 π （      ）

A． B． C． D．

9． 已知向量 , 则（      ）

A． 是 的必要条件  B． 是 的必要条件

C． 是 的充分条件D． 是 的充分条件

10．已知 m ， n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面：

① 若 则 或

②若 , 则 或

③若 且 则 ；

④若 n与 ， 所成的角相等，则 .

其中所有真命题的编号是（      ）

A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④

11． 在 中，内角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c ， 若 π , , 则 （      ）

A． B． C． D．

12．已知b是a,c的等差中项, 直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（      ）

A． 1 B． 2 C． 4 D．

二、填空题

13． 二项式 的展开式中，各项系数的最大值是          .

14．已知圆台甲、乙的上底面的半径均为 ,下底面半径均为 ，圆台的母线长分别为 和 , 则圆台甲、乙的体积之比为=         .

15． 已知 ，且 ,则            .

16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6的六个小球，从中不放回的随机取3次，设 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 差的绝对值不超过0.5的概率是           .

三、解答题（17-21为必考题，22、23为选考题）

17． 某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 . 设 为 升级改造后抽取的 件产品的优级品率.如果 , 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？   

附：

18．已知数列 的前 项和为 ，且 ．

（1）求 的通项公式；

（2）设 ，求数列 的前 项和 .

19．如图，在以 为顶点的五面体中，已知 为 的中点.

（1）证明： 平面 ；

（2）求二面角 的正弦值.

20．已知椭圆 的右焦点为 ,点 在 上,且 轴.

（1）求 的方程；

（2） , 过 的直线与椭圆 交于 两点， 为 的中点，直线 与 交于 ,证明： 轴.

21．已知函数 .

（1）当 时，求 的极值；

（2）当 时， , 求 的取值范围.

22．在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的止半轴为极轴建极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .

（1）写出 的直角坐标方程；

（2）直线 （t为参数）与曲线 交于 两点，若|AB| ,求 的值.

23．实数 满足 .

（1）证明： ;

（2）证明： .

参考答案

一、单选题

1. A

因为 , 所以 , 故选A.

2. D

因为 , 所以 , 故选D.

3. D

将约束条件两两联立可得3个交点： ， 和 , 经检验都符合约束条件.代入目标函数可得： , 故选D.

4. B

因为 , 所以 , 又因为 , 所以公差 , 故选B.

5. C

, 故选C.

6. A

因为 , 所以 , 故选A.

7. B

选B.

8. B

因为 , 所以 π , 故选B.

9. C

，则 , 解得： 或一3，故选C.

10. A

选A.

11. C

因为 π , 所以 . 由余弦定理可得： , 即： , 所以 , 故选C.

12. 4

因为 , 所以直线 恒过 ．当 时， 取得最小值，此时

二、填空题

13. 5

展开式中系数最大的项一定在下面的5项： , 计算可得：系数的最大值为 .

14.

_甲乙甲乙 ．

15. 64

因为 , 所以 , 而 , 故 .

16.

记前三个球的号码分别为 ，则共有 种可能.令 .  可得： , 根据对称性： 或6时，均有2种可能： 或5时，均有10种可能： 或4时，均有16种可能：故满足条件的共有56种可能，

三、解答题（17-21为必考题，22、23为选考题）

17. 见解析

（1） , 没有 的把握；

（2） , 故有优化提升.

18. （1） ；（2） .

（1）因为 , 所以 ，两式相减可得 ， 即 ，又因为 ，所以 ，故数列 是首项为4，公比为 的等比数列， ；

（2） ，

所以 ，

两式相减可得：

∴ .

19. （1）见详解；（2）

（1）由题意： ，而 ⫋平面 ⫋平面 ，所以 平面 ；

（2）取 的中点 , 连结 , 则 , .故 以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 , , 设平面 的法向量为 .

由 可得： , 令 , 则   , 同理：取平面BEM的法向量为 , 则 . 故二面角 的正弦值为 .

20. （1） ；（2）见详解

（1）设椭圆 的左焦点为 , 则 .因为 轴，所以 解得： , 故椭圆 的方程为 .

（2）设 .

则 ，即 ，又由 可得

结合上式可得，

, 则 故 轴.

21. 见详解

（1）当 时， ,

当 时， , 当 时， ,

所以 在 上递减，在 上递增，

故 的极小值为 , 无极大值；

（2） .

令 , 则 .

因为当 时， , 且 ， ,

所以 ， .

当 时， ， 在 上递增， 所以 , 故 在 上递增， 恒成立，即 的取值范围为 .

22. 见详解

（1）因为 ,所以 ,故 的直角坐标方程为： ,即：

（2）将 代入 可得 ,解得 .

23. 见详解

（1）因为 ,所以 ;（2）