【334318】2021年上海市高考数学试卷

2021年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）

1．（4分）已知z₁＝1+i，z₂＝2+3i，求z₁+z₂＝　 　．

【答案】3+4i

【考点】复数的加、减运算及其几何意义

【分析】直接根据复数的运算性质，求出z₁+z₂即可．

【解答】解：因为z₁＝1+i，z₂＝2+3i，所以z₁+z₂＝3+4i．故答案为：3+4i．

【难度】1

2．（4分）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　 　．

【答案】{﹣1，0}

【考点】交集及其运算

【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可．

【解答】解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x }，B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．

【难度】1

3．（4分）若x²+y²﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 　 　．

【答案】（1，2）

【考点】圆的一般方程

【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．

【解答】解：由x²+y²﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x﹣1）²+（y﹣2）²＝5，所以圆心坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．

【难度】1

4．（4分）如图正方形ABCD的边长为3，求 • 　 　．

【答案】9

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【分析】根据 ，直接求解即可．

【解答】解：由数量积的定义，可得 ，因为 ，所以 9．故答案为：9．

【难度】1

5．（4分）已知f（x） 2，则f^﹣1（1）＝　 　．

【答案】﹣3

【考点】反函数

【分析】利用反函数的定义，得到f（x）＝1，求解x的值即可．

【解答】解：因为f（x） 2，令f（x）＝1，即 2＝1，解得x＝﹣3，故f^﹣1（1）＝﹣3．故答案为：﹣3．

【难度】1

6．（4分）已知二项式（x+a）⁵展开式中，x²的系数为80，则a＝　 　．

【答案】2

【考点】二项式定理

【分析】由二项展开式的通项公式可得x²的系数，再根据x²的系数为80，求出a的值．

【解答】解：（x+a）⁵的展开式的通项公式为T_r+1 x^5﹣ra^r，所以x²的系数为 a³＝80，解得a＝2．故答案为：2．

【难度】1

7．（5分）已知 ，z＝x﹣y，则z的最大值为 　 　．

【答案】4

【考点】简单线性规划

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得目标函数的最大值．

【解答】解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：y＝x﹣z，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距的相反数，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程： ，可得点的坐标为：B（3，﹣1），据此可知目标函数的最大值为：z_max＝3﹣（﹣1）＝4．故答案为：4．

【难度】3

8．（5分）已知{a_n}为无穷等比数列，a₁＝3，a_n的各项和为9，b_n＝a_2n，则数列{b_n}的各项和为 　 　．

【答案】

【考点】数列的求和；等比数列的前n项和

【分析】设{a_n}的公比为q，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得q，进而得到a_n，b_n，求得数列{b_n}的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．

【解答】解：设{a_n}的公比为q，由a₁＝3，a_n的各项和为9，可得 9，解得q ，所以a_n＝3×（ ）^n﹣1，b_n＝a_2n＝3×（ ）^2n﹣1，可得数列{b_n}是首项为2，公比为 的等比数列，则数列{b_n}的各项和为 ．故答案为： ．

【难度】3

9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　 　．

【答案】

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积

【分析】上顶面圆心记为O，下底面圆心记为O'，连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，由于AB为定值，则S_△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，

分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案．

【解答】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O'， 连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，则 ，根据题意，AB为定值2，所以S_△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC ，此时S_△ABC取得最大值为 ；如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，此时S_△ABC取得最小值为 ．综上所述，S_△ABC的取值范围为 ．故答案为： ．

【难度】3

10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　 　．

【答案】

【考点】古典概型及其概率计算公式

【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解：甲选2个去参观，有 6种，乙选2个去参观，有 6种，共有6×6＝36种，若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有 4种，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有 6种，共有4×6＝24种，则对应概率P ，故答案为： ．

【难度】3

11．（5分）已知抛物线y²＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　 　．

【答案】

【考点】抛物线的焦点与准线

【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．

【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E， 由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，∴ ，∴直线AB的斜率 ．故答案为： ．

【难度】3

12．（5分）已知a_i∈N*（i＝1，2，…，9）对任意的k∈N*（2≤k≤8），a_k＝a_k﹣1+1或a_k＝a_k+1﹣1中有且仅有一个成立，a₁＝6，a₉＝9，则a₁+…+a₉的最小值为 　 　．

【答案】31

【考点】数列递推式

【分析】设b_k＝a_k+1﹣a_k，由题意可得，b_k，b_k﹣1恰有一个为1，然后分两种情况分别求解a₁+…+a₉的值，即可得到答案．

【解答】解：设b_k＝a_k+1﹣a_k，由题意可得，b_k，b_k﹣1恰有一个为1，如果b₁＝b₃＝b₅＝b₇＝b₉＝1，那么a₁＝6，a₂＝7，a₃≥1，a₄＝a₃+1≥2，同样也有，a₅≥1，a₆＝a₅+1≥2，a₇≥1，a₈＝a₇+1≥2，全部加起来至少是6+7+1+2+1+2+1+2+9＝31；如果b₂＝b₄＝b₆＝b₈＝1，那么a₈＝8，a₂≥1，a₃＝a₂+1≥2，同样也有，a₄≥1，a₅≥2，a₆≥1，a₇≥2，全部加起来至少是6+1+2+1+2+1+2+8+9＝32，综上所述，最小应该是31．故答案为：31．

【难度】3

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　）

A．y＝﹣3x

B．y＝x³

C．y＝log₃x

D．y＝3^x

【答案】A

【考点】函数的奇偶性；由函数的单调性求解函数或参数

【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．

【解答】解：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；因为y＝x³在R上是增函数，B不符合题意；y＝log₃x，y＝3^x为非奇非偶函数，C不符合题意；故选：A．

【难度】1

14．（5分）已知参数方程 ，t∈[﹣1，1]，以下哪个图符合该方程（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【考点】参数方程化成普通方程

【分析】利用特殊值y＝0时，x的取值情况，即图象与x轴的交点情况进行判断，即可得到答案．

【解答】解：利用特殊值法进行排除，当y＝0时，t＝0，1，﹣1，当t＝0时，x＝0，当t＝1时，x＝﹣1，当t＝﹣1时，x＝1，故当y＝0时，x＝0或1或﹣1，即图象经过（﹣1，0），（0，0），（1，0）三个点，对照四个选项中的图象，只有选项B符合要求．故选：B．

【难度】1

15．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x₁∈[0， ]，都存在x₂∈[0， ]，使得f（x₁）＝2f（x₂+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【考点】三角函数的最值

【分析】由题意可知，x₁∈[0， ]，即sinx₁∈[0，1]，可得f（x₁）∈[2，5]，将存在任意的x₁∈[0， ]，都存在x₂∈[0， ]，使得f（x）＝2f（x+θ）+2成立，转化为f（x₂+θ）_min≤0， ，又由f（x）＝3sinx+2，可得 ， ，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．

【解答】解：∵x₁∈[0， ]，∴sinx₁∈[0，1]，∴f（x₁）∈[2，5]，∵都存在x₂∈[0， ]，使得f（x₁）＝2f（x₂+θ）+2成立，∴f（x₂+θ）_min≤0， ，∵f（x）＝3sinx+2，∴ ， ，y＝sinx在x∈ 上单调递减，当 时， ，∴ ，故A选项错误，当 时， ，∴ ， ，故B选项正确，当 时，x₂+θ ，sin（x₂+θ）_max ，故C选项错误，当 时， ，sin（x₂+θ）_max ，故D选项错误．故选：B．

【难度】3

16．（5分）已知两两不相等的x₁，y₁，x₂，y₂，x₃，y₃，同时满足①x₁＜y₁，x₂＜y₂，x₃＜y₃；②x₁+y₁＝x₂+y₂＝x₃+y₃；③x₁y₁+x₃y₃＝2x₂y₂，以下哪个选项恒成立（　　）

A．2x₂＜x₁+x₃

B．2x₂＞x₁+x₃

C．x₂²＜x₁x₃

D．x₂²＞x₁x₃

【答案】A

【考点】不等关系与不等式

【分析】设 ， ， ，根据题意，则有 ，可得x₁+x₃﹣2x₂＝2b﹣（a+c），通过求解（2b）²﹣（a+c）²＞0，可得x₁+x₃﹣2x₂＝2b﹣（a+c）＞0，可得A正确，B错误；利用作差法可得x₁x₃﹣x₂²＝（2b﹣a﹣c）m ，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，因无法知道m的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断CD，即可得解．

【解答】解：设x₁+y₁＝x₂+y₂＝x₃+y₃＝2m， ， ， ，根据题意，应该有 ，且m²﹣a²+m²﹣c²＝2（m²﹣b²）＞0，则有 ，则x₁+x₃﹣2x₂＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），因为（2b）²﹣（a+c）²＝2（a²+c²）﹣（a+c）²＞0，所以x₁+x₃﹣2x₂＝2b﹣（a+c）＞0，所以A项正确，B错误．x₁x₃﹣x₂²＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）²＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b²＝（2b﹣a﹣c）m ，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，因为不知道m的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A．

【难度】3

三、解答题

17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝BC＝2，AA₁＝3．

（1）若P是棱A₁D₁上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积；

（2）求直线AB₁与平面ACC₁A₁的夹角大小．

【答案】解：（1）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中， ；（2）连接A₁C₁∩B₁D₁＝O，∵AB＝BC，∴四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，则OB₁⊥OA₁，又AA₁⊥OB₁，OA₁∩AA₁＝A₁，∴OB₁⊥平面ACC₁A₁，∴直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角为∠OAB₁，∴ ．∴直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角为 ．

【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】（1）直接由三棱锥的体积公式求解即可；

（2）易知直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角为∠OAB₁，求出其正弦值，再由反三角表示即可．

【解答】解：（1）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中， ；（2）连接A₁C₁∩B₁D₁＝O，∵AB＝BC，∴四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，则OB₁⊥OA₁，又AA₁⊥OB₁，OA₁∩AA₁＝A₁，∴OB₁⊥平面ACC₁A₁，∴直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角为∠OAB₁，∴ ．∴直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角为 ．

【难度】3

18．（14分）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．

（1）若A ，求S_△ABC．

（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C_△ABC．

【答案】解：（1）由余弦定理得cosA ，解得c² ，∴S_△ABC ；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sinB＝2sinC，又∵2sinB﹣sinC＝1，∴sinC ，sinB ，∴sinC＜sinB，∴C＜B，∴C为锐角，∴cosC ．由余弦定理得：c²＝a²+b²﹣2abcosC，又∵a＝3，b＝2c，∴c²＝9+4c²﹣8 c，得：3c²﹣8 c+9＝0，解得：c ．当c 时，b 时C_△ABC＝3+4 ；当c 时，b 时C_△ABC＝3+4 ．

【考点】正弦定理．

【分析】（1）由余弦定理求得c²，从而求得△ABC面积；

（2）由正、余弦定理求得b、c值，从而求得△ABC周长．

【解答】解：（1）由余弦定理得cosA ，解得c² ，∴S_△ABC ；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sinB＝2sinC，又∵2sinB﹣sinC＝1，∴sinC ，sinB ，∴sinC＜sinB，∴C＜B，∴C为锐角，∴cosC ．由余弦定理得：c²＝a²+b²﹣2abcosC，又∵a＝3，b＝2c，∴c²＝9+4c²﹣8 c，得：3c²﹣8 c+9＝0，解得：c ．当c 时，b 时C_△ABC＝3+4 ；当c 时，b 时C_△ABC＝3+4 ．

【难度】3

19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．

（1）求今年起的前20个季度的总营业额；

（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？

【答案】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项a₁＝1.1，公差d＝0.05，∴S₂₀＝20a₁ d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N^*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16×（1+4%）ⁿ＞（1.1+0.05n）•18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）ⁿ﹣（1.1+0.05n）•18%，（n∈N^*），即要解f（n）＞0，则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064•（1+4%）^n﹣1﹣0.009，令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10，即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得，经检验，f（24）＜0，f（25）＞0，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%．解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N^*）季度的利润与该季度营业额的比为a_n，则 1.04 1+0.04（1 ），∴数列{a_n}满足a₁＞a₂＞a₃＞a₄＝a₅＜a₆＜a₇＜……，注意到，a₂₅＝0.178…，a₂₆＝0.181…，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．

【考点】根据实际问题选择函数类型．

【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项a₁＝1.1，公差d＝0.05，再利用等差数列的前n项和公式求解即可．

（2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N^*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16×（1+4%）ⁿ＞（1.1+0.05n）•18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）ⁿ﹣（1.1+0.05n）•18%，（n∈N^*），递推作差可得当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，注意到f（1）＜0，所以若f（n）＞0，则只需考虑n≥10的情况即可，再验证出f（24）＜0，f（25）＞0，即可得到利润首次超过该季度营业额的18%的时间．

解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N^*）季度的利润与该季度营业额的比为a_n，则 1+0.04（1 ），所以数列{a_n}满足a₁＞a₂＞a₃＞a₄＝a₅＜a₆＜a₇＜……，再由a₂₅，a₂₆的值即可判断出结果．

【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项a₁＝1.1，公差d＝0.05，∴S₂₀＝20a₁ d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N^*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16×（1+4%）ⁿ＞（1.1+0.05n）•18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）ⁿ﹣（1.1+0.05n）•18%，（n∈N^*），即要解f（n）＞0，则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064•（1+4%）^n﹣1﹣0.009，令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10，即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得，经检验，f（24）＜0，f（25）＞0，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%．解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N^*）季度的利润与该季度营业额的比为a_n，则 1.04 1+0.04（1 ），∴数列{a_n}满足a₁＞a₂＞a₃＞a₄＝a₅＜a₆＜a₇＜……，注意到，a₂₅＝0.178…，a₂₆＝0.181…，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．

【难度】5

20．（16分）已知Γ： y²＝1，F₁，F₂是其左、右焦点，直线l过点P（m，0）（m ），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上．

（1）若B是上顶点，| |＝| |，求m的值；

（2）若 • ，且原点O到直线l的距离为 ，求直线l的方程；

（3）证明：对于任意m ，使得 ∥ 的直线有且仅有一条．

【答案】解：（1）因为Γ的方程： y²＝1，所以a²＝2，b²＝1，所以c²＝a²﹣b²＝1，所以F₁（﹣1，0），F₂（1，0），若B为Γ的上顶点，则B（0，1），所以|BF₁| ，|PF₁|＝﹣1﹣m，

又|BF₁|＝|PF₁|，所以m ；（2）设点A（ cosθ，sinθ），则 ，因为A在线段BP上，横坐标小于0，解得 ，故 ，设直线l的方程为 ，由原点O到直线l的距离为 ，则 ，化简可得3k²﹣10k+3＝0，解得k＝3或k ，故直线l的方程为 或 （舍去，无法满足m ），所以直线l的方程为 ；（3）联立方程组 ，可得（1+2k²）x²﹣4k²mx+2k²m²﹣2＝0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ，

因为 ∥ ，所以（x₂﹣1）y₁＝（x₁+1）y₂，又y＝kx﹣km，故化简为 ，又 ，两边同时平方可得，4k²﹣2k²m²+1＝0，整理可得 ，当m 时， 0，因为点A，B在x轴上方，所以k有且仅有一个解，故对于任意m ，使得 ∥ 的直线有且仅有一条．