【334350】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试上海卷

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153581-卷4 2024年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。

1．设全集 ,集合 ,则∁ 　　　　. 

2．已知 　　　　. 

3．已知 <0的解集为　　　　. 

4．已知 ,若 是奇函数 ,则 　　　　. 

5．已知 ∥ ,则 的值为　　　　. 

6．在 的二项展开式中,若各项系数和为32,则 项的系数为　　　　. 

7．已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9,那么 到 轴的距离为　　　　. 

8．某校举办科学竞技比赛,有 种题库 题库有5 000道题 题库有4 000道题 题库有3 000道题 小申已完成所有题,他 题库的正确率是 题库的正确率是 题库的正确率是 现他从所有的题中随机选一题,正确率是　　　　. 

9．已知虚数 ,其实部为1,且 ,则实数 为　　　　. 

10．设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为　　　　. 

11．已知 在 正东方向 在 的正北方向 到 的距离相等 ,则 　　　　.(精确到 度) 

12．等比数列 首项 > >1,记I_n={x-y|x,y∈[a₁,a₂]∪[a_n,a_n+1]},若对任意正整数 是闭区间,则 的取值范围是　　　　. 

二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。

13．已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是

A.气候温度高,海水表层温度就高

B.气候温度高,海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势

14．下列函数 的最小正周期是 π 的是（      ）

A．sin

B．sin

C．sin²x+cos²x

D．sin²x-cos²x

15．定义一个集合 ,集合中的元素是空间 内的点集,任取 ,存在不全为0的实数 ,使得 已知 ,则(0,0,1)∉ 的充分条件是

A.(0,0,0)∈Ω    

B.(-1,0,0)∈Ω

C.(0,1,0)∈Ω    

D.(0,0,-1)∈Ω

16．定义集合M={x₀| <f(x₀)},在使得 的所有 中,下列成立的是

A．f(x)是偶函数　

B．存在 在 处取最大值

C．f(x)在 上严格单调递增

D．f(x)在 处取到极小值

三、解答题:本题共5小题,共78分。

17．(14分)如图为正四棱锥 为底面 的中心

(1)若 ,求△ 绕 旋转一周形成的几何体的体积;

(2)若 为 的中点,求直线 与平面 所成角的大小

18．(14分)若f(x)=log_ax(a>0,a≠1).

(1)y=f(x)过(4,2),求 < 的解集;

(2)存在 使得 成等差数列,求 的取值范围

19．(14分)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:

(1)该地区29 000名学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少?

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1).

(3)是否有 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

附:

20．双曲线 : =1(b>0),A₁,A₂为左、右顶点,过点 的直线 交双曲线 于两点 ,且点 在第一象限

(1)若 时,求

(2)若 ,△ 为等腰三角形时,求点 的坐标

(3)直线 交 于点 ,若 · =1,求 的取值范围

21．(18分)对于一个函数 和一个点 ,定义 ,若 在 时取到最小值,则称 是 的“ 最近点”

(1)对于 ,求证:对于点 ,存在点 使得 是 的“ 最近点”;

(2)对于 ,请判断是否存在一个点 ,使得它是 的“ 最近点”,且直线 与曲线 在点 处的切线垂直;

(3)已知函数 可导,函数 >0在 上恒成立,且点 与点 ,若对任意实数 ,均存在点 同时为点 与点 的“ 最近点”,请说明 的单调性

参考答案

一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。

1. {1,3,5}

∵ ,∴由补集的定义可得∁

2.

根据分段函数 3>0,可得

3. (-1,3)

<0,即 <0,解得-1< <3,所以原不等式的解集为

4. 0

因为 是奇函数,且 ,所以 ,则 ,解得

5. 15

∵ ,又 ∥ ,∴ ,解得

6. 10

因为 的展开式中的各项系数和为32,所以令 ,则 ,即 ,解得 ,所以二项式为 ,其展开式的通项为 ,令 ,解得 ,所以 项的系数为

7. 4

设点 ,∵点 到准线的距离为9,∴ ,解得 ,又点 在抛物线 上,∴ =4×8=32,解得 ±4 ,∴ 到 轴的距离为4

8.

由题可知 题库占比为 题库占比为 题库占比为 ,∴从所有的题中随机选一题的正确率为

9. 2

由题意设 ,∴ = + i,∵ ,∴ =0,解得 ±1,∴

10. 329

由题意可知,集合 中任意两个元素都互异,且元素中最多有1个奇数,剩余全是偶数(提示:任意2个元素之积为偶数,则该集合中最多只能有1个奇数,否则2个奇数之积仍为奇数,不合题意).不妨先研究集合中无重复数字的三位偶数:①若个位数字为0,这样的偶数有 =72(个);②若个位数字不为0,这样的偶数有 =256(个).

所以集合中元素个数的最大值为

11.

连接AB(图略),由题可知 ,不妨设 ,所以

在△ 中,由余弦定理得 ,即( a)²=b²+c²-2bccos ①,

在△ 中,由正弦定理得 = ,即 = ②,

在△ 中,由正弦定理得 = ,即 = ③,

由①②③联立可得

12. [2,+∞)

由题意不妨设 ,若 ,则有 ;若 ,则有 ,所以 ;当 且 时 ,此时若要满足 ,考虑对称性,只需满足 ,即 ,化简得 ,解得

二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。

13. C

成对数据分析中,若相关系数大于0,则为正相关,即变量 随着变量 的增大而增大,由题意可知 选项错误 故选

14. A

对于 = sin ,所以最小正周期 π ,满足题意,故A正确;

对于 sin ,则最小正周期 π ,不满足题意,故B错误;

对于 ,为常数,不存在最小正周期,不满足题意,故C错误;

对于 ,则最小正周期 π ,不满足题意,故D错误 故选

15. C

因为 不全为 =0,所以 , , 共面 不妨令

对于A,设 ,则 =(0,0,0), =(1,0,0), =(0,0,1),则 , , 共面,则 ,不符合题意,故A错误;

对于B,设 ,则 =(-1,0,0),此时 , , 共面,则 ,不符合题意,故B错误;对于C,设 ,则 =(0,1,0),此时 , , 不共面,则(0,0,1)∉ ,符合题意,故C正确;对于D,设 ,则 =(0,0,-1),此时 , , 共面,则 ,故D错误 故选

16. B

由题知,对于 < < ,又因为 ,所以当 <-1时 < ,

当 ,且 时 < 恒成立,所以 在[-1,1]上单调递增,图像不关于 轴对称,所以 不是偶函数,故A错误;

对于 ,取 则 满足题意,且此时 在 处取到最大值,且在 上不严格单调递增,故B正确;

对于D,当 <-1时 < ,所以 的左侧附近不单调递减,所以 不是函数的极小值点,故D错误 故选

三、解答题:本题共5小题,共78分。

17. （）π       （2）

(1)如图,连接 ,因为四棱锥 是正四棱锥,所以底面 是正方形 又 为底面 的中心,所以 底面 　

因为 ,所以

因为 ,所以 =4,

所以△ 绕 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥,

所以V_圆锥= π

(2)易知 两两垂直,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为 ,所以四棱锥 各棱长相等,设 a(a>0),

则 ,

则 ,

则 , , =

设 为平面 的法向量,

则 即 令 ,则 ,则 ,

则cos< , >= = =-