……………○……………外……………○……………装……………○……………订……………○……………线……………○………………
学校:
姓名: 班级:
考号:
……………○……………内……………○……………装……………○……………订……………○……………线……………○………………
绝密★启用前
153581-卷4 2024年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。
1.设全集 ,集合 ,则∁ .
2.已知 .
3.已知 <0的解集为 .
4.已知 ,若 是奇函数 ,则 .
5.已知 ∥ ,则 的值为 .
6.在 的二项展开式中,若各项系数和为32,则 项的系数为 .
7.已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9,那么 到 轴的距离为 .
8.某校举办科学竞技比赛,有 种题库 题库有5 000道题 题库有4 000道题 题库有3 000道题 小申已完成所有题,他 题库的正确率是 题库的正确率是 题库的正确率是 现他从所有的题中随机选一题,正确率是 .
9.已知虚数 ,其实部为1,且 ,则实数 为 .
10.设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为 .
11.已知 在 正东方向 在 的正北方向 到 的距离相等 ,则 .(精确到 度)
12.等比数列 首项 > >1,记In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数 是闭区间,则 的取值范围是 .
二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。
13.已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
14.下列函数 的最小正周期是 π 的是( )
A.sin
B.sin
C.sin2x+cos2x
D.sin2x-cos2x
15.定义一个集合 ,集合中的元素是空间 内的点集,任取 ,存在不全为0的实数 ,使得 已知 ,则(0,0,1)∉ 的充分条件是
A.(0,0,0)∈Ω
B.(-1,0,0)∈Ω
C.(0,1,0)∈Ω
D.(0,0,-1)∈Ω
16.定义集合M={x0| <f(x0)},在使得 的所有 中,下列成立的是
A.f(x)是偶函数
B.存在 在 处取最大值
C.f(x)在 上严格单调递增
D.f(x)在 处取到极小值
三、解答题:本题共5小题,共78分。
17.(14分)如图为正四棱锥 为底面 的中心
(1)若 ,求△ 绕 旋转一周形成的几何体的体积;
(2)若 为 的中点,求直线 与平面 所成角的大小
18.(14分)若f(x)=logax(a>0,a≠1).
(1)y=f(x)过(4,2),求 < 的解集;
(2)存在 使得 成等差数列,求 的取值范围
19.(14分)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
时间范围 |
|
|
|
|
|
|
|
学业 成绩 |
优秀 |
5 |
44 |
42 |
3 |
1 |
|
不优秀 |
134 |
147 |
137 |
40 |
27 |
|
(1)该地区29 000名学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少?
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1).
(3)是否有 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?
附:
20.双曲线 : =1(b>0),A1,A2为左、右顶点,过点 的直线 交双曲线 于两点 ,且点 在第一象限
(1)若 时,求
(2)若 ,△ 为等腰三角形时,求点 的坐标
(3)直线 交 于点 ,若 · =1,求 的取值范围
21.(18分)对于一个函数 和一个点 ,定义 ,若 在 时取到最小值,则称 是 的“ 最近点”
(1)对于 ,求证:对于点 ,存在点 使得 是 的“ 最近点”;
(2)对于 ,请判断是否存在一个点 ,使得它是 的“ 最近点”,且直线 与曲线 在点 处的切线垂直;
(3)已知函数 可导,函数 >0在 上恒成立,且点 与点 ,若对任意实数 ,均存在点 同时为点 与点 的“ 最近点”,请说明 的单调性
参考答案
一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。
1. {1,3,5}
∵ ,∴由补集的定义可得∁
2.
根据分段函数 3>0,可得
3. (-1,3)
<0,即 <0,解得-1< <3,所以原不等式的解集为
4. 0
因为 是奇函数,且 ,所以 ,则 ,解得
5. 15
∵ ,又 ∥ ,∴ ,解得
6. 10
因为 的展开式中的各项系数和为32,所以令 ,则 ,即 ,解得 ,所以二项式为 ,其展开式的通项为 ,令 ,解得 ,所以 项的系数为
7. 4
设点 ,∵点 到准线的距离为9,∴ ,解得 ,又点 在抛物线 上,∴ =4×8=32,解得 ±4 ,∴ 到 轴的距离为4
8.
由题可知 题库占比为 题库占比为 题库占比为 ,∴从所有的题中随机选一题的正确率为
9. 2
由题意设 ,∴ = + i,∵ ,∴ =0,解得 ±1,∴
10. 329
由题意可知,集合 中任意两个元素都互异,且元素中最多有1个奇数,剩余全是偶数(提示:任意2个元素之积为偶数,则该集合中最多只能有1个奇数,否则2个奇数之积仍为奇数,不合题意).不妨先研究集合中无重复数字的三位偶数:①若个位数字为0,这样的偶数有 =72(个);②若个位数字不为0,这样的偶数有 =256(个).
所以集合中元素个数的最大值为
11.
连接AB(图略),由题可知 ,不妨设 ,所以
在△ 中,由余弦定理得 ,即( a)2=b2+c2-2bccos ①,
在△ 中,由正弦定理得 = ,即 = ②,
在△ 中,由正弦定理得 = ,即 = ③,
由①②③联立可得
12. [2,+∞)
由题意不妨设 ,若 ,则有 ;若 ,则有 ,所以 ;当 且 时 ,此时若要满足 ,考虑对称性,只需满足 ,即 ,化简得 ,解得
二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。
13. C
成对数据分析中,若相关系数大于0,则为正相关,即变量 随着变量 的增大而增大,由题意可知 选项错误 故选
14. A
对于 = sin ,所以最小正周期 π ,满足题意,故A正确;
对于 sin ,则最小正周期 π ,不满足题意,故B错误;
对于 ,为常数,不存在最小正周期,不满足题意,故C错误;
对于 ,则最小正周期 π ,不满足题意,故D错误 故选
15. C
因为 不全为 =0,所以 , , 共面 不妨令
对于A,设 ,则 =(0,0,0), =(1,0,0), =(0,0,1),则 , , 共面,则 ,不符合题意,故A错误;
对于B,设 ,则 =(-1,0,0),此时 , , 共面,则 ,不符合题意,故B错误;对于C,设 ,则 =(0,1,0),此时 , , 不共面,则(0,0,1)∉ ,符合题意,故C正确;对于D,设 ,则 =(0,0,-1),此时 , , 共面,则 ,故D错误 故选
16. B
由题知,对于 < < ,又因为 ,所以当 <-1时 < ,
当 ,且 时 < 恒成立,所以 在[-1,1]上单调递增,图像不关于 轴对称,所以 不是偶函数,故A错误;
对于 ,取 则 满足题意,且此时 在 处取到最大值,且在 上不严格单调递增,故B正确;
对于D,当 <-1时 < ,所以 的左侧附近不单调递减,所以 不是函数的极小值点,故D错误 故选
三、解答题:本题共5小题,共78分。
17. ()π (2)
(1)如图,连接 ,因为四棱锥 是正四棱锥,所以底面 是正方形 又 为底面 的中心,所以 底面
因为 ,所以
因为 ,所以 =4,
所以△ 绕 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥,
所以V圆锥= π
(2)易知 两两垂直,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为 ,所以四棱锥 各棱长相等,设 a(a>0),
则 ,
则 ,
则 , , =
设 为平面 的法向量,
则 即 令 ,则 ,则 ,
则cos< , >= = =-
设直线 与平面 所成角为 ,
因为sin |cos
18. (1)(1,2) () >1
(1)由 过点(4,2)可得 ,则 ,解得 ±2,又 >0,所以
因为 在(0,+∞)上单调递增,又 < ,所以0< < ,解得1< <2,
所以 < 的解集为
(2)因为存在 使得 成等差数列,所以 ,
即 有解
化简可得 ,
即 且 (提示:对数函数 的定义域为(0,+∞),考虑函数性质时应注意定义域优先原则),解得 >0,且 在(0,+∞)上有解
又 = + +1=2 - ,令 ,
- 在(0,+∞)上单调递增,则 - 在(0,+∞)上单调递减,当 →+∞时 →1,所以 >1,
即 >1,解得 <-1或 >1,又 >0,所以 >
19. (1)12 500 (2)0.9(小时) (3)有
(1)由题可得580人中体育锻炼时长不小于1小时的人数占比为 = ,
所以该地区29 000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为29 000× =12
(2)该地区初中学生日均体育锻炼时长约为
× ×(5+134)+ ×(44+147)+ ×(42+137)+ ×(3+40)+ ×(1+27) = ≈0.9(小时).
(3)依据题意,列出2×2列联表为
|
[1,2) |
其他 |
合计 |
优秀 |
45 |
50 |
95 |
不优秀 |
177 |
308 |
485 |
合计 |
222 |
358 |
580 |
①提出原假设 :学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关
②确定显著性水平 ,
③ > ,
④否定原假设,即有 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
20. (1) (2)(2,2 ) (3)(0, )
(1)由题可得,双曲线的离心率 ,即 =2,所以 因为 ,所以
又 ,所以 ,解得 (舍负).
(2)由题意可得, : =1,△ 为等腰三角形
①若 为底边,则点 在直线 上,与 在第一象限矛盾,故舍去
②若 为底边,则| |=| |,与| |>| |矛盾,故舍去
③若 为底边,则| |=| | 设 > >0,
则 =3,即
又因为 - =1,
所以(x0-1)2+( -1)× =9,整理得11 ,解得x0=2(舍负),y0=2 ,即点 的坐标为(2,2 ).
(3)由题知 ,设 ,则 ,由题知直线 的斜率 满足0< < ,设直线 : ,
联立 整理得 ,
由根与系数关系可得,
, ,
又由 · =1,得 ,
即 ,即 ,
化简后可得到 ,
将①,②代入上式整理可得 ,化简得 ,
所以 > ,解得 <3,又 >0,所以0< < ,即 的取值范围是(0, ).
21. (1)见解析 (2)存在 (3)见解析
(1)【证明】 ≥2 =2,当且仅当 ,即 时取到最小值,所以对于点 ,存在点 使得 是 的“ 最近点”
(2)【解】 ,则 ,
令 ,则 >0恒成立,
所以函数 在R上是增函数
又易知 ,所以可得下表
|
(-∞,0) |
0 |
(0,+∞) |
|
负 |
0 |
正 |
|
严格减函数 |
极小值 |
严格增函数 |
所以当 时 取到最小值,此时点
因为 ,所以曲线 在点 处的切线的斜率
又 =-1,所以 ,所以存在点 是 的“ 最近点”且直线 与曲线 在点 处的切线垂直
(3)【解】设 ,则 = ,所以 三点共线,且| |=| |,所以| | | | ,且| | | |
若点 与点 不重合,则| |+| |>| |,且| |,| |中至少有一个大于| |,
不满足| | | | ,且| | | | ,所以点 与点 重合
设 >
由 的任意性可知,如果 存在增区间,则存在
已知 >0恒成立,则取 满足 <2,
则| | ,| | ,
| | | | >0,
与 是点 的“ 最近点”矛盾,所以 严格减