【334341】2024年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学

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153722-2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学-网络收集版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合 ， ， 则 （      ）

A． B．

C． D．

2．已知 ， 则 （      ）．

A． B． C． D．1

3．求圆 的圆心到 的距离（      ）

A． B．2C． D．

4． 的二项展开式中 的系数为（      ）

A．15B．6C． D．

5．已知向量 ， ， 则“ ”是“ 或 ”的（      ）条件．

A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件

C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件

6．已知 ， ， ， π， 则 （      ）

A．1B．2C．3D．4

7．记水的质量为 ， 并且 越大，水质量越好．若 不变，且 ，  ， 则 与 的关系为（      ）

A．

B．

C．若， 则 ；若， 则 ；

D．若， 则 ；若， 则 ；

8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 ，，， ， 则该四棱锥的高为（      ）

A． B． C． D．

9．已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则下列正确的是（      ）

A．

B．

C．

D．

10．若集合 表示的图形中，两点间最大距离为 、面积为 ，则（      ）

A． ， B． ，

C． ， D． ，

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知抛物线 ， 则焦点坐标为        ．

12．已知 ππ， 且 与 的终边关于原点对称，则 的最大值为        ．

13．已知双曲线 ， 则过 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为        ．

14．已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为        ．

15．已知 ， ， 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是      .

① ， 均为等差数列，则 中最多一个元素；

② ， 均为等比数列，则 中最多三个元素；

③ 为等差数列 ， 为等比数列，则 中最多三个元素；

④ 单调递增 ， 单调递减，则 中最多一个元素.

三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．在 中， 为钝角， .

(1)求 ;

(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的面积．

① ；② ；③ ．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．

17．已知四棱锥 是 上一点， .

(1)若 是 中点，证明： 平面 .

(2)若 平面 ,求面 与面 夹角的余弦值.

18．已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元，

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 ,估计 的数学期望；

(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 ,已赔偿过的增加 ．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．

19．已知椭圆方程 ,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 的直线 与椭圆交于 ，连接 交椭圆于 .

(1)求椭圆方程和离心率；

(2)若直线 的斜率为0，求 .

20．已知 在 处切线为 .

(1)若切线 的斜率 ,求 单调区间；

(2)证明：切线 不经过 ；

(3)已知 ,其中 ,切线 与 轴交于点 ．则当 ，符合条件的 的个数为？

(参考数据： ，

21．设集合 .

对于给定有穷数列 和序列 定义变换 将数列 的第 列加1，得到数列 ；将数列 的第 列加1，得到数列 ；重复上述操作，得到数列 记为 .

(3)若 为偶数，证明：“ 为常数列”的充要条件为“ ”．

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. A

由题意得 ，

故选：A.

2. C

由题意得 ，

故选：C.

3. C

由题意得 ， 即 ，

则其圆心坐标为 ， 则圆心到直线 的距离为 ，

故选：C.

4. B

的二项展开式为 ，

令 ， 解得 ，

故所求即为 .

故选：B.

5. A

因为 ， 可得 ， 即 ，

可知 等价于 ，

若 或 ， 可得 ， 即 ， 可知必要性成立；

若 ， 即 ， 无法得出 或 ，

例如 ， 满足 ， 但 且 ， 可知充分性不成立；

综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.

故选：A.

6. B

由题意可知： 为 的最小值点 ， 为 的最大值点，

则 π， 即 π，

且 ， 所以 π .

故选：B.

7. C

由题意可得 ， 解得 ，

若 ， 则 ， 可得 ， 即 ；

若 ， 则 ， 可得 ；

若 ， 则 ， 可得 ， 即 ；

结合选项可知C正确 ， 错误；

故选：C.

8. D

如图，底面 为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设 ，

分别取 的中点 ， 连接 ，

则 ， 且 ， 平面 ，

可知 平面 ， 且 平面 ，

所以平面 平面 ，

过 作 的垂线，垂足为 ， 即 ，

由平面 平面 ， 平面 ，

所以 平面 ，

由题意可得： ， 则 ， 即 ，

则 ， 可得 ，

所以四棱锥的高为 .

当相对的棱长相等时，不妨设 ， ，

因为 ， 此时不能形成三角形 ， 与题意不符，这样情况不存在.

故选：D.

9. A

由题意不妨设 ， 因为函数 是增函数，所以 ， 即 ，

对于选项AB：可得 ， 即 ，

根据函数 是增函数，所以 ， 故A正确 ， 错误；

对于选项C：例如 ， 则 ，

可得 ， 即 ， 故C错误；

对于选项D：例如 ， 则 ，

可得 ， 即 ， 故D错误，

故选：A.

10. C

对任意给定 ， 则 ， 且 ，

可知 ， 即 ，

再结合 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，

如图阴影部分所示，其中 ，

可知任意两点间距离最大值 ；

阴影部分面积 .

故选：C.

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.

11.

由题意抛物线的标准方程为 ， 所以其焦点坐标为 .

故答案为： .

12. /

由题意 ππ， 从而 ππ，

因为 ππ， 所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，

当且仅当 π， 即 ππ 时 ， 取得最大值，且最大值为 .

故答案为： .

13.

联立 与 ， 解得 ， 这表明满足题意的直线斜率一定存在，

设所求直线斜率为 ， 则过点 且斜率为 的直线方程为 ，

联立 ， 化简并整理得： ，

由题意得 或 ，

解得 或无解，即 ， 经检验，符合题意.

故答案为： .

14.

设第一个圆柱的高为 ， 第二个圆柱的高为 ， 则 ππππ，

故 ， ，

故答案为： .

15. ①③④

对于①，因为 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，

而两条直线至多有一个公共点，故 中至多一个元素，故①正确.

对于②，取 则 均为等比数列，

但当 为偶数时，有 ， 此时 中有无穷多个元素，

故②错误.

对于③，设 ， ，

若 中至少四个元素，则关于 的方程 至少有4个不同的正数解，

若 ， 则由 和 的散点图可得关于 的方程 至多有两个不同的解，矛盾；

若 ， 考虑关于 的方程 奇数解的个数和偶数解的个数，

当 有偶数解，此方程即为 ，

方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时 ，

否则 ， 因 单调性相反，

方程 至多一个偶数解，

当 有奇数解，此方程即为 ，

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时 即

否则 ， 因 单调性相反，

方程 至多一个奇数解，

因为 ， 不可能同时成立，

故 不可能有4个不同的正数解，故③正确.

对于④，因为 为单调递增 ， 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，

后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.

故答案为：①③④

三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. （1） π ；（2）

（1）∵ , ∴ .

∵ , ∴ ，∵ π，π .

(2)①不可能．

②∵ ， ，

∴

．

∴构成三角形．

∵ ．

∴

③∵ ，，， .

，π， ，

∴

17. （1）见详解；（2）

(1)证明：∵ ， ,

∴四边形 ABCD为平行四边形．

延长 交于点G，则 ,

为 的中位线.

∵B为GE中点，∴BF为 中位线，

∴BF∥PG，G在CD上，PG⊂平面 ，∴BF∥平面 .

(2)∵AB⊥平面PED, 相互垂直，如图建系，

∴ ，，，，，， ，

， ，

∴ .

18. （1） ；（2）（i） 万元；（ii）0.1252万元

（1） .

（2）（i）

万元.

（ii）保费 =0.4032；

万元.

19. （1） ；（2）

(1)

(2)联立

得

设 .

，

.

，

∴ .

20. 见详解

（1） ， （x＞-1），

在 上单调递减，在 （） 单调递增.

（2） ， .

将 ， 代入则 （）， ，

，，

令 （） .反证法：假过l过 ， , 则 （） 在 （） 存在零点.

（）（）（） 在(0，+∞)上单调递增，

在 （） 无零点， 与假设予盾，故l不过 ， .

（3） 时， .

，设l 与 轴交点B 为 .,

则 .

t＞0时，若 , 则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.

由（2）知 ，所以 ＞ , 且 .

, ，

, 记 （＞） .

∴满足条件的 有 几个即 有几个零点.

（） 在 单调递减， 上单调递调，在 上单调递减.

,所以由零点定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，(4，999)上必有一个零点.

综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.

21. 见详解

（1）由题意得 ；

（2）假设存在符合条件的 ， 可知 的第 项之和为 ， 第 项之和为 ，

则 ， 而该方程组无解，故假设不成立，

故不存在符合条件的 ；

（3）我们设序列 为 ， 特别规定 .

必要性：

若存在序列 ， 使得 为常数列.

则 ， 所以 .

根据 的定义，显然有 ， 这里 ， .

所以不断使用该式就得到 ，， 必要性得证.

充分性：

若 .

由已知 ， 为偶数，而 ， 所以 也是偶数.

我们设 是通过合法的序列 的变换能得到的所有可能的数列 中，使得 最小的一个.

上面已经证明 ， 这里 ， .

从而由 可得 .

同时，由于 总是偶数，所以 和 的奇偶性保持不变，从而 和 都是偶数.

下面证明不存在 使得 .

假设存在，根据对称性，不妨设 ， ， 即 .

情况1：若 ， 则由 和 都是偶数，知 .

对该数列连续作四次变换 后，新的 相比原来的 减少 ， 这与 的最小性矛盾；

情况2：若 ， 不妨设 .

情况2-1：如果 ， 则对该数列连续作两次变换 后，新的 相比原来的 至少减少 ， 这与 的最小性矛盾；

情况2-2：如果 ， 则对该数列连续作两次变换 后，新的 相比原来的 至少减少 ， 这与 的最小性矛盾.

这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的 都有 .

假设存在 使得 ， 则 是奇数，所以 都是奇数，设为 .

则此时对任意 ， 由 可知必有 .

而 和 都是偶数，故集合 中的四个元素 之和为偶数，对该数列进行一次变换 ， 则该数列成为常数列，新的 等于零，比原来的 更小，这与 的最小性矛盾.

综上，只可能 ， 而 ， 故 是常数列，充分性得证.