【334284】2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅲ卷数学文

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学文

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )

A.{0}

B.{1}

C.{1，2}

D.{0，1，2}

解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，

∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.

答案：C

2.(1+i)(2﹣i)=( )

A.﹣3﹣i

B.﹣3+i

C.3﹣i

D.3+i

解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.

答案：D

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.

答案：A

4.若sinα= ，则cos2α=( )

A.

B.

C.﹣

D.﹣

解析：∵sinα= ，

∴cos2α=1﹣2sin²α= .

答案：B

5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A.0.3

B.0.4

C.0.6

D.0.7

解析：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，

所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4.

答案：B

6.函数 的最小正周期为( )

A.

B.

C.π

D.2π

解析：函数 的最小正周期为 =π.

答案：C

7.下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )

A.y=ln(1﹣x)

B.y=ln(2﹣x)

C.y=ln(1+x)

D.y=ln(2+x)

解析：首先根据函数y=lnx的图象，

则：函数y=lnx的图象与y=ln(﹣x)的图象关于y轴对称.

由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称.

则：把函数y=ln(﹣x)的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln(2﹣x).

即所求得解析式为：y=ln(2﹣x).

答案：B

8.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x﹣2)²+y²=2上，则△ABP面积的取值范围是( )

A.[2，6]

B.[4，8]

C.[ ]

D.[ ]

解析：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，

∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，

∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，|AB|= ，

∵点P在圆(x﹣2)²+y²=2上，∴设P ，

∴点P到直线x+y+2=0的距离：

，

∵ ∈[﹣1，1]，∴d= ∈[ ]，

∴△ABP面积的取值范围是：

[ ]=[2，6].

答案：A

9.函数y=﹣x⁴+x²+2的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

解析：函数过定点(0，2)，排除A，B.

函数的导数f′(x)=﹣4x³+2x=﹣2x(2x²﹣1)，

由f′(x)＞0得2x(2x²﹣1)＜0，

得x＜﹣ 或0＜x＜ ，此时函数单调递增，排除C.

答案：D

10.已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的离心率为 ，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )

A.

B.2

C.

D.

解析：双曲线C： (a＞0，b＞0)的离心率为 ，

可得 ，即： ，解得a=b，

双曲线C： (a＞b＞0)的渐近线方程玩：y=±x，

点(4，0)到C的渐近线的距离为： .

答案：D

11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为 ，则C=( )

A.

B.

C.

D.

解析：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

△ABC的面积为 ，

∴S_△ABC= ，

∴sinC= =cosC，

∵0＜C＜π，∴C= .

答案：C

12.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

解析：△ABC为等边三角形且面积为 ，可得 ，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： .

答案：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量 =(1，2)， =(2，﹣2)， =(1，λ).若 ∥( )，则λ=____.

解析：∵向量 =(1，2)， =(2，﹣2)，

∴ =(4，2)，

∵ =(1，λ)， ∥( )，

∴ ，

解得λ= .

答案：

14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是____.

解析：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，

为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，

可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

则最合适的抽样方法是分层抽样.

答案：分层抽样

15.若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+ y的最大值是____.

解析：画出变量x，y满足约束条件 表示的平面区域如图：

由 解得A(2，3).

z=x+ y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，

当直线过A(2，3)时，直线的纵截距最小，z最大，

最大值为2+3× =3.

答案：3

16.已知函数 ，f(a)=4，则f(﹣a)=____.

解析：函数

满足 ，

所以g(x)是奇函数.

函数 ，f(a)=4，

可得f(a)=4= ，可得ln( )=3，

则f(﹣a)=﹣ln( )+1=﹣3+1=﹣2.

答案：﹣2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=4a₃.

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)记S_n为{a_n}的前n项和.若S_m=63，求m.

解析：(1)利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a_n}的通项公式.

(2)当a₁=1，q=﹣2时， ，由S_m=63，得 =63，m∈N，无解；当a₁=1，q=2时，S_n=2ⁿ﹣1，由此能求出m.

答案：(1)∵等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=4a₃.

∴1×q⁴=4×(1×q²)，

解得q=±2，

当q=2时，a_n=2^n﹣1，

当q=﹣2时，a_n=(﹣2)^n﹣1，

∴{a_n}的通项公式为，a_n=2^n﹣1，或a_n=(﹣2)^n﹣1.

(2)记S_n为{a_n}的前n项和.

当a₁=1，q=﹣2时， ，

由S_m=63，得 =63，m∈N，无解；

当a₁=1，q=2时， ，

由S_m=63，得S_m=2^m﹣1=63，m∈N，

解得m=6.

18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

	超过m	不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： ，

P(K2≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

解析：(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；

(3)列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论.

答案：(1)根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，

第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，

所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，

排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80；

由此填写列联表如下；

	超过m	不超过m	总计
第一种生产方式	15	5	20
第二种生产方式	5	15	20
总计	20	20	40

(3)根据(2)中的列联表，计算

，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

19.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.

解析：(1)通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CD⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；

(2)存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可.

答案：(1)证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦 所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦 所在平面，CM⊂半圆弦 所在平面，

∴CM⊥AD，

M是 上异于C，D的点.∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD⊂平面CMB，

∴平面AMD⊥平面BMC；

(2)解：存在P是AM的中点，

理由：

连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，

所以MC∥平面PBD.

20.已知斜率为k的直线l与椭圆C： 交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0).

(1)证明：k＜﹣ ；

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 ，证明： .

解析：(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，利用点差法得6(x₁﹣x₂)+8m(y₁﹣y₂)=0， ，又点M(1，m)在椭圆内，即 ，(m＞0)，解得m的取值范围，即可得k＜﹣ ，

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，可得x₁+x₂=2

由 ，可得x₃﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex₁=2﹣ x₁，|FB|=2﹣ x₂，|FP|=2﹣ x₃= .即可证明|FA|+|FB|=2|FP|.

答案：(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

∵线段AB的中点为M(1，m)，

∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2m

将A，B代入椭圆C： 中，可得

，

两式相减可得，3(x₁+x₂)(x₁﹣x₂)+4(y₁+y₂)(y₁﹣y₂)=0，

即6(x₁﹣x₂)+8m(y₁﹣y₂)=0，

∴

点M(1，m)在椭圆内，即 ，(m＞0)，

解得0＜m＜

∴ .

(2)证明：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，

可得x₁+x₂=2

∵ ，F(1，0)，∴x₁﹣1+x₂﹣1+x₃﹣1=0，

∴x₃=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex₁=2﹣ x₁，|FB|=2﹣ x₂，|FP|=2﹣ x₃= .

则|FA|+|FB|=4﹣ (x₁+x₂)＝3，

∴|FA|+|FB|=2|FP|，

21.已知函数 .

(1)求曲线y=f(x)在点(0，﹣1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0.

解析：(1)

由f′(0)=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程.

(2)可得 .可得f(x)在(-∞， )，(2，+∞)递减，在( ，2)递增，注意到a≥1时，函数g(x)=ax²+x﹣1在(2，+∞)单调递增，且g(2)=4a+1＞0

只需 ，即可.

答案：(1) .

∴f′(0)=2，即曲线y=f(x)在点(0，﹣1)处的切线斜率k=2，

∴曲线y=f(x)在点(0，﹣1)处的切线方程方程为y﹣(﹣1)=2x.

即2x﹣y﹣1=0为所求.

(2)证明：函数f(x)的定义域为：R，

可得 .

令f′(x)=0，可得x₁＝2，x₂＝ ＜0，

当x∈(-∞， )时，f′(x)＜0，x∈( ，2)时，f′(x)＞0，x∈(2，+∞)时，f′(x)＜0.

∴f(x)在(-∞， )，(2，+∞)递减，在( ，2)递增，

注意到a≥1时，函数g(x)=ax²+x﹣1在(2，+∞)单调递增，且g(@)=4a+1＞0

函数g(x)的图象如下：

∵a≥1，∴ ∈(0，1]，则 ，

∴ ，

∴当a≥1时，f(x)+e≥0.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 ，(θ为参数)，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

解析：(1)⊙O的普通方程为x²+y²=1，圆心为O(0，0)，半径r=1，当α= 时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠ 时，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα·x+ ，从而圆心O(0，0)到直线l的距离 ，进而求出 或 ，由此能求出α的取值范围.

(2)设直线l的方程为x=m(y+ )，联立 ，得 ，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.

答案：(1)∵⊙O的参数方程为 (θ为参数)，

∴⊙O的普通方程为x²+y²=1，圆心为O(0，0)，半径r=1，

当α= 时，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；

当α≠ 时，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα·x+ ，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O(0，0)到直线l的距离 ，

∴tan²α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，

∴ 或 ，

综上α的取值范围是( ).

(2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m(y+ )，

设A(x₁，y₁)，(B(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，

联立 ，得 ，

，

，

，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为 ，(m为参数)，(﹣1＜m＜1).

[选修4-5：不等式选讲](10分)

23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值.

解析：(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.

(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.

答案：(1)当x≤﹣ 时，f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x，

当﹣ ＜x＜1，f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2，

当x≥1时，f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x，

则 对应的图象为：

画出y=f(x)的图象；

(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)≤ax+b，

当x=0时，f(0)=2≤0·a+b，∴b≥2，

当x＞0时，要使f(x)≤ax+b恒成立，

则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，

∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2，

且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f(x)≤ax+b在[0，+∞)上成立，

即a+b的最小值为5.