【334349】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试全国新课标Ⅱ卷

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153583-卷2 2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅱ卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	四	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知 ,则| |=

A．0       B．1

C．       D．2

2．已知命题 :∀ ,| |>1;命题 :∃ > ,则（      ）

A．p和 都是真命题

B． 和 都是真命题

C．p和 都是真命题

D． 和 都是真命题

3．已知向量 满足|a|=1,|a+2b|=2,且 ,则|b|=

A．     B．

C．    D．1

4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产量	[900，950）	[950，1000）	[1000，1050）	[1050，1100）	[1100，1150）	[1150，1200）
频数	6	12	18	30	24	10

根据表中数据，下列结论中正确的是（      ）

A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

5．已知曲线 :x²+y²=16(y>0),从 上任意一点 向 轴作垂线段 为垂足,则线段 的中点 的轨迹方程为（      ）

A． + =1(y>0)　　　　B． + =1(y>0)

C． + =1(y>0)　　　　D． + =1(y>0)

6．设函数 当 时,曲线 与 恰有一个交点,则

A．-1      B．

C．1  D．2

7．已知正三棱台 的体积为 ，， ，则 与平面 所成角的正切值为     （      ）

A． B．1

C．2D．3

8．设函数 若 ,则 的最小值为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．1

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9．对于函数 和 ,下列说法正确的有（      ）

A．f(x)与 有相同的零点

B．f(x)与 有相同的最大值

C．f(x)与 有相同的最小正周期

D．f(x)与 的图像有相同的对称轴

10．抛物线 : 的准线为 为 上动点 过 作☉ : 的一条切线 为切点 过 作 的垂线,垂足为 ． 则（      ）

A．l与☉ 相切

B．当 三点共线时,| |=

C．当| |=2时

D．满足| |=| |的点 有且仅有2个

11．设函数 ,则

A．当 >1时 有三个零点

B．当 <0时 是 的极大值点

C．存在 ,使得 为曲线 的对称轴

D．存在 ,使得点 为曲线 的对称中心

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12．记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 　　　　. 

13．已知 为第一象限角 为第三象限角         +1,则                .

14．在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法 在所有符合上述要求的选法中,选中方格的4个数之和的最大值是　　　　. 

11	21	31	40
12	22	33	42
13	22	33	43
15	24	34	44

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．记△ 的内角 的对边分别为 ,已知sin   cos  

(1)求 ;

(2)若 ,     ,求△ 周长

16．(15分)已知函数

(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;

(2)若 有极小值,且极小值小于0,求 的取值范围

17．(15分)如图,平面四边形 中 ,点 分别满足 = , = ,将△ 沿 翻折至△ ,使得

(1)证明: ;

(2)求面 与面 所成的二面角的正弦值

18．(17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为 ,各次投中与否相互独立

(1)若 ,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;

(2)假设0< <

为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?

为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?

19．(17分)已知双曲线 :x²-y²=m(m>0),点 在 上 为常数,0< < 按照如下方式依次构造点P_n(n=2,3,…),过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ,令 为 关于 轴的对称点 记 的坐标为

(1)若 ,求 ;

(2)证明:数列 是公比为 的等比数列;

(3)设 为△ 的面积,证明:对任意正整数

参考答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. C

由 ,得| |= = 故选C．

2. B

对于命题 ,当 时,| |=0<1,所以 是假命题,

3. B

因为 ,所以 ,即 ． 又|a+2b|=2,所以(|a+2b|)²=(a+2b)²=a²+4a·b+4b²=a²+2b²+4b²=1+6|b|²=4,解得|b|²= ,|b|= ,故选B．

4. C

对于 A, 根据频数分布表可知, ,

所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；

对于B，亩产量不低于 的频数为 ，

所以低于 的稻田占比为 ，故B错误；

对于C，稻田亩产量的极差最大为 ，最小为 ，故C正确；

对于D，由频数分布表可得，平均值为 ，故D错误.

故选C.

5. A

设 ,则 ,线段 的中点 的坐标为 因为点 在曲线 :x²+y²=16(y>0)上,所以 + =16(y₀>0).设点 的坐标为 ,则 ,即 ,代入 + =16(y₀>0)得,x'²+(2y')²=16(y'>0),所以 + =1(y'>0),即点 的轨迹方程为 + =1(y>0),故选A．

6. D

解法一:∵ ,曲线 与 在(-1,1)上恰有一个交点,令 ,∴ 在(-1,1)上恰有一个零点 又易知 为(-1,1)上的偶函数,∴ ,即 ,∴ 故选D．

解法二:当 =-1时, ( )- ( )=- -2,当 ∈(-1,1)时, ( )- ( )<0,∴曲线 = ( )与 = ( )在(-1,1)上没有交点,故A错误

当 时 ,当 时, < <0,∴ <0,∴曲线 与 在(-1,1)上没有交点,故B错误

当 时 ,令 ,则 为偶函数,且在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增 又 < 1> 1>0,由函数零点存在定理可知 在(-1,0)和(0,1)上各有1个零点,即曲线 与 在(-1,1)上有2个交点,故C错误

当 时 令 ,则 为偶函数,且在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增 又 ,∴曲线 与 在(-1,1)上只有1个交点,故D正确 故选D．

解法三:∵ ( )= ( +1) -1, ( ) +2 ,曲线 = ( )与 = ( )在(-1,1)上恰有一个交点,令 ( )= ( )- ( )= + -1,∴ ( )在(-1,1)上恰有一个零点 ( )=2 ,令 ( )=2 ,则 ( )=2 ,当 ≥- 时, ( )>0在(-1,1)上恒成立,则 ( )在(-1,1)上单调递增 又 (0)=0,∴当 ∈(-1,0)时, ( )单调递减;当 ∈(0,1)时, ( )单调递增,∴ ( )在 =0处取得极小值也是最小值,∴ (0)=0,即 -2=0,∴ =2 -1<- ,下面分析 =-1时曲线 = ( )与曲线 = ( )的交点情况 当 =-1时, ( )- ( )=- -2,当 ∈(-1,1)时, ( )- ( )<0,∴曲线 = ( )与 = ( )在(-1,1)上没有交点 结合选项可知,D正确 故选D．

7. B　

设正三棱台 的高为 ∵ ， ，∴ ， ∵正三棱台 的体积 (S_△ABC+ )h= ×(9 )h= ，∴

如图，设 和 的中心分别为 ， ，连接 ，， ，作 平面 交平面 于点 ，由几何体 为正三棱台可知，点 在 上，且四边形 为矩形，其中 即为直线 与平面 所成的角 由 ， ，可得 ， (提示:边长为 的正三角形的中心到各顶点的距离为 a)，∴ ，∴ 故选B．

8. C

可看作 与 在定义域 内同正同负,因此两函数图像与 轴的交点重合

(提示:将 看成直线与曲线的相交问题,判断出在 轴上的交点重合),如图所示 令 ,得 ,即 ,此时可以将 看成一条直线 可看成直线 上的点 到原点的距离的平方,因而可知其最小值为原点到直线的距离的平方,所以所求最小值为 = 另解: + ≥ ,所以 的最小值为 ,故选C．

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9. BC

对于A,令 ,则 π ,解得 ,令 ,则 π ,解得 + ,因此 与 无相同零点,故A错误;对于 与 的最大值都为1,故B正确;对于 与 的最小正周期都是 π ,故C正确;对于D,令 π ,得 + ,令 = π ,得 π ,故 与 的图像无相同的对称轴,故D错误 故选BC．

10. ABD

∵ ,∴准线 为直线 ,∵☉ 圆心为 ,半径为1,作出抛物线与☉ 如图所示 ∴ 与☉ 相切,故A正确 当 三点共线时,∵ ,∴ 点坐标为(4,4),∵| |=4,| |=1,∴| |= = ,故B正确 当| |=2时 点坐标为(1,2)或 当 点坐标为(1,2)时,点 坐标为(-1,2),| |= = =| |,而| |=2,| | | | | | ,此时 与 不垂直;当 点坐标为(1,-2)时 点坐标为(-1,-2),| |= = =| |,而| |=2,则| | | | | | ,此时 与 也不垂直,故C错误 对于D,设点 的横坐标为m(m>0),则点 坐标为(m,2 )或(m,-2 ),| | 当 点坐标为(m,2 )时,| |= ,∵| |=| |,∴| | | | ,即 ,化简得 =0,解得 +4 -4 当 点坐标为(m,-2 )时,| |= ,同理,由| |=| |,得 +15=0,解得 = <0,或 = <0,,不符合题意,因此满足| |=| |的点 有且仅有2个,故D正确 故选ABD．

11. AD

,则 选项,当 >1时 的零点为 ,则 > 当 <0时 >0,当0< < 时 <0,当 > 时 >0,则 在(-∞,0)上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,则 是 的极大值点 是 的极小值点,又 > <0,且 < >0,所以 有三个零点 正确;B选项,当 <0时,易知 在 上单调递增,在 上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以 是 的极小值点 错误;C选项,若 是曲线 的对称轴,则 ,即 ,即 ,不存在 使等式恒成立,故不存在 ,使得直线 为曲线 的对称轴 错误;D选项,若 为曲线 的对称中心,则 ,即 ,整理得 ,解得 ,所以存在 ,使得点 为曲线 的对称中心 正确 故选AD．

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12. 95

设等差数列 的公差为 ,

∵ ,

∴ 解得 ∴ ,

∴ =

13.

∵tan +1,

∴ = =-2

∵ π < < π ,

ππ < < π ,

∴ ππ < < ππ ,

∴ <

∵ ∴

14. 24　112

共选4个方格:选第1个方格,在16个方格中任选1个,有16种选法;

选第2个方格,需在除去所选第1个方格所在行、列的方格(共9个)中任选1个,有9种选法;

选第3个方格,需在除去所选的第1和第2个方格所在行、列的方格(共4个)中任选1个,有4种选法;

选第4个方格,需在除去所选的第1、第2和第3个方格所在行、列的方格(共1个)中任选1个,有1种选法

对于选好的4个方格无顺序限制,所以不同的选法有 =24(种).

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （1）   （2）2+ +3

(1)由sin cos ,得2 =2,

所以sin

由 π ,得 ∈ ,所以 = ,

所以

(2)由 为三角形内角,得sin

因为 ,

所以由正弦定理得 sin ,

所以 sin ,即 sin ,所以cos ,所以

因为 ,所以由正弦定理,得 sin

由 ,得 ,所以sin = × + × = ,

所以由正弦定理,得 = = + ,

所以△ 的周长为 + + =2+ +3

16. （）        （2）(1,+∞)

(1)当 时 ,则 ,所以

又 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即

(2)f(x)=e^x-ax-a³,则 ,当 时 >0,则 在R上单调递增,无极值点,所以 >

令 <0,得 <ln ,令 >0,得 >ln ,

所以 在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,

所以 是 的极小值点,极小值为f(ln a)=e^{ln a}-aln ,则问题转化为解不等式 <

又 >0,所以不等式可化为 >

令 ,则 >0恒成立,

所以 在(0,+∞)上单调递增 又 ,所以不等式 <0的解集为(1,+∞),所以 的取值范围是

17. （1）见解析    （2）

(1)【证明】∵ , = , = ,

∴

在△ 中,由余弦定理得

× =4,

则 ,

∴在△ 中 ,

∴

又∵△ 沿 翻折至△ ,∴

又∵ 平面 ,∴ 平面 ．

又∵ 平面 ,

∴ ．

(2)【解】由(1)知 ,

又∵ ,∴ ∥

∵ 平面 ,∴ 平面 ．

又∵ 平面 ,∴ ．

在Rt△ 中 =

又∵ ,∴ ,

∴ ．

∴以 为原点 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(0,0,2 ),F(2,0,0),D(0,3 ,0),B(4,2 ,0),C(3,3 ,0),∴ =(-2,0,2 ), =(-4,-2 ,2 ),

=(-3,0,0), =(0,-3 ,2 ).

设平面 的法向量为 ,

则 即

令 ,则n=( ,-1,1).

设平面 的法向量为 ,

则 即

令 ,则

设平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ,

则|cos |=|cos< >|= = ,

∴sin =

18. （）     （） 甲     甲

(1)甲参加第一阶段比赛,则该队进入第二阶段的概率

第二阶段乙进行投篮,则乙至少投中一次的概率

,

故甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率

(2)(ⅰ)若甲、乙所在队的比赛成绩为15分,则第二阶段的3次投篮全中

当甲参加第一阶段比赛时,甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ,

当乙参加第一阶段比赛时,甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ,

则

因为 > >0,所以 >0,所以 >0,即 > ,

故应该由甲参加第一阶段比赛

(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,则设该队比赛成绩为 分 的所有可能取值为0,5,10,15,进入第二阶段的概率为 ,未进入第二阶段的概率为 ,

则 ,

,

,

,

则

若乙参加第一阶段比赛,则设该队的比赛成绩为 分,

同理可得 ,

则

,

因为 > >0,所以 > < <0,

所以 >0,即 >

故应该由甲参加第一阶段的比赛

19. （）      （2）见解析    （3）见解析    

(1)【解】因为点 在 :x²-y²=m(m>0)上,

所以

过点 且斜率 的直线方程为

由 解得 或

所以 ,

所以

(2)【证明】因为点 关于 轴的对称点是 ,点 在同一条斜率为 的直线上,

所以 并且 ①

因为点 都在双曲线 上,所以

两式相减,得 ②

由①②得

④-③,得 ,

整理得 =

又 ,所以 是公比为 的等比数列

(3)【证明】因为△ 和△ 有公共边 ,所以若点 和 到直线 的距离相等,则

此时,直线 和 的斜率存在且相等,四边形 是梯形,大致图形如图所示

以下证明:直线 和 的斜率相等

记 ,则由0< <1得 >

由(2)及 ,得

又因为 - =9,

所以 ,

所以

由(2)知 ,考虑直线 斜率的倒数

=

=1-

=1- ,

直线 斜率的倒数

=

=1- =1- ,

因此 =

从而直线 与 平行,

所以 = ,证明完毕