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学校：
姓名： 班级：
考号：
……………○……………内……………○……………装……………○……………订……………○……………线……………○………………
绝密★启用前
153583-卷2 2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅱ卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
四 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知
,则|
|=
A．0 B．1
C．
D．2
2．已知命题
:∀
,|
|>1;命题
:∃
>
,则（ ）
A．p和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．p和
都是真命题
D．
和
都是真命题
3．已知向量
满足|a|=1,|a+2b|=2,且
,则|b|=
A．
B．
C．
D．1
4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 |
[900，950） |
[950，1000） |
[1000，1050） |
[1050，1100） |
[1100，1150） |
[1150，1200） |
频数 |
6 |
12 |
18 |
30 |
24 |
10 |
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5．已知曲线
:x2+y2=16(y>0),从
上任意一点
向
轴作垂线段
为垂足,则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
+
=1(y>0) B．
+
=1(y>0)
C．
+
=1(y>0) D．
+
=1(y>0)
6．设函数
当
时,曲线
与
恰有一个交点,则
A．-1
B．
C．1 D．2
7．已知正三棱台
的体积为 ，，
，则
与平面
所成角的正切值为 （ ）
A．
B．1
C．2D．3
8．设函数
若
,则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9．对于函数
和
,下列说法正确的有（ ）
A．f(x)与
有相同的零点
B．f(x)与
有相同的最大值
C．f(x)与
有相同的最小正周期
D．f(x)与
的图像有相同的对称轴
10．抛物线
:
的准线为
为
上动点
过
作☉
:
的一条切线
为切点
过
作
的垂线,垂足为
．
则（ ）
A．l与☉
相切
B．当
三点共线时,|
|=
C．当|
|=2时
D．满足|
|=|
|的点
有且仅有2个
11．设函数
,则
A．当
>1时
有三个零点
B．当
<0时
是
的极大值点
C．存在
,使得
为曲线
的对称轴
D．存在
,使得点
为曲线
的对称中心
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12．记
为等差数列
的前
项和,若
,则
.
13．已知
为第一象限角
为第三象限角
+1,则
.
14．在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法
在所有符合上述要求的选法中,选中方格的4个数之和的最大值是 .
11 |
21 |
31 |
40 |
12 |
22 |
33 |
42 |
13 |
22 |
33 |
43 |
15 |
24 |
34 |
44 |
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．记△
的内角
的对边分别为
,已知sin
cos
(1)求
;
(2)若
,
,求△
周长
16．(15分)已知函数
(1)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若
有极小值,且极小值小于0,求
的取值范围
17．(15分)如图,平面四边形
中
,点
分别满足
=
,
=
,将△
沿
翻折至△
,使得
(1)证明:
;
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值
18．(17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为
,乙每次投中的概率为
,各次投中与否相互独立
(1)若
,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;
(2)假设0<
<
为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
19．(17分)已知双曲线
:x2-y2=m(m>0),点
在
上
为常数,0<
<
按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…),过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
,令
为
关于
轴的对称点
记
的坐标为
(1)若
,求
;
(2)证明:数列
是公比为
的等比数列;
(3)设
为△
的面积,证明:对任意正整数
参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. C
由
,得|
|=
=
故选C．
2. B
对于命题
,当
时,|
|=0<1,所以
是假命题,
3. B
因为
,所以
,即
．
又|a+2b|=2,所以(|a+2b|)2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=a2+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=
,|b|=
,故选B．
4. C
对于
A,
根据频数分布表可知,
,
所以亩产量的中位数不小于
,
故
A
错误；
对于B，亩产量不低于
的频数为
，
所以低于
的稻田占比为
，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为
，最小为
，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为
，故D错误.
故选C.
5. A
设
,则
,线段
的中点
的坐标为
因为点
在曲线
:x2+y2=16(y>0)上,所以
+
=16(y0>0).设点
的坐标为
,则
,即
,代入
+
=16(y0>0)得,x'2+(2y')2=16(y'>0),所以
+
=1(y'>0),即点
的轨迹方程为
+
=1(y>0),故选A．
6. D
解法一:∵
,曲线
与
在(-1,1)上恰有一个交点,令
,∴
在(-1,1)上恰有一个零点
又易知
为(-1,1)上的偶函数,∴
,即
,∴
故选D．
解法二:当
=-1时,
(
)-
(
)=-
-2,当
∈(-1,1)时,
(
)-
(
)<0,∴曲线
=
(
)与
=
(
)在(-1,1)上没有交点,故A错误
当
时
,当
时,
<
<0,∴
<0,∴曲线
与
在(-1,1)上没有交点,故B错误
当
时
,令
,则
为偶函数,且在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增
又
<
1>
1>0,由函数零点存在定理可知
在(-1,0)和(0,1)上各有1个零点,即曲线
与
在(-1,1)上有2个交点,故C错误
当
时
令
,则
为偶函数,且在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增
又
,∴曲线
与
在(-1,1)上只有1个交点,故D正确
故选D．
解法三:∵
(
)=
(
+1)
-1,
(
)
+2
,曲线
=
(
)与
=
(
)在(-1,1)上恰有一个交点,令
(
)=
(
)-
(
)=
+
-1,∴
(
)在(-1,1)上恰有一个零点
(
)=2
,令
(
)=2
,则
(
)=2
,当
≥-
时,
(
)>0在(-1,1)上恒成立,则
(
)在(-1,1)上单调递增
又
(0)=0,∴当
∈(-1,0)时,
(
)单调递减;当
∈(0,1)时,
(
)单调递增,∴
(
)在
=0处取得极小值也是最小值,∴
(0)=0,即
-2=0,∴
=2
-1<-
,下面分析
=-1时曲线
=
(
)与曲线
=
(
)的交点情况
当
=-1时,
(
)-
(
)=-
-2,当
∈(-1,1)时,
(
)-
(
)<0,∴曲线
=
(
)与
=
(
)在(-1,1)上没有交点
结合选项可知,D正确
故选D．
7. B
设正三棱台
的高为
∵
，
，∴
，
∵正三棱台
的体积
(S△ABC+
)h=
×(9
)h=
，∴
如图，设
和
的中心分别为
，
，连接
，，
，作
平面
交平面
于点
，由几何体
为正三棱台可知，点
在
上，且四边形
为矩形，其中
即为直线
与平面
所成的角
由
，
，可得
，
(提示:边长为
的正三角形的中心到各顶点的距离为
a)，∴
，∴
故选B．
8. C
可看作
与
在定义域
内同正同负,因此两函数图像与
轴的交点重合
(提示:将
看成直线与曲线的相交问题,判断出在
轴上的交点重合),如图所示
令
,得
,即
,此时可以将
看成一条直线
可看成直线
上的点
到原点的距离的平方,因而可知其最小值为原点到直线的距离的平方,所以所求最小值为
=
另解:
+
≥
,所以
的最小值为
,故选C．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9. BC
对于A,令
,则
π
,解得
,令
,则
π
,解得
+
,因此
与
无相同零点,故A错误;对于
与
的最大值都为1,故B正确;对于
与
的最小正周期都是
π
,故C正确;对于D,令
π
,得
+
,令
=
π
,得
π
,故
与
的图像无相同的对称轴,故D错误
故选BC．
10. ABD
∵
,∴准线
为直线
,∵☉
圆心为
,半径为1,作出抛物线与☉
如图所示
∴
与☉
相切,故A正确
当
三点共线时,∵
,∴
点坐标为(4,4),∵|
|=4,|
|=1,∴|
|=
=
,故B正确
当|
|=2时
点坐标为(1,2)或
当
点坐标为(1,2)时,点
坐标为(-1,2),|
|=
=
=|
|,而|
|=2,|
|
|
|
|
|
,此时
与
不垂直;当
点坐标为(1,-2)时
点坐标为(-1,-2),|
|=
=
=|
|,而|
|=2,则|
|
|
|
|
|
,此时
与
也不垂直,故C错误
对于D,设点
的横坐标为m(m>0),则点
坐标为(m,2
)或(m,-2
),|
|
当
点坐标为(m,2
)时,|
|=
,∵|
|=|
|,∴|
|
|
|
,即
,化简得
=0,解得
+4
-4
当
点坐标为(m,-2
)时,|
|=
,同理,由|
|=|
|,得
+15=0,解得
=
<0,或
=
<0,,不符合题意,因此满足|
|=|
|的点
有且仅有2个,故D正确
故选ABD．
11. AD
,则
选项,当
>1时
的零点为
,则
>
当
<0时
>0,当0<
<
时
<0,当
>
时
>0,则
在(-∞,0)上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,则
是
的极大值点
是
的极小值点,又
>
<0,且
<
>0,所以
有三个零点
正确;B选项,当
<0时,易知
在
上单调递增,在
上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以
是
的极小值点
错误;C选项,若
是曲线
的对称轴,则
,即
,即
,不存在
使等式恒成立,故不存在
,使得直线
为曲线
的对称轴
错误;D选项,若
为曲线
的对称中心,则
,即
,整理得
,解得
,所以存在
,使得点
为曲线
的对称中心
正确
故选AD．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12. 95
设等差数列
的公差为
,
∵
,
∴
解得
∴
,
∴
=
13.
∵tan
+1,
∴
=
=-2
∵ π
<
< π
,
ππ
<
< π
,
∴ ππ
<
< ππ
,
∴
<
∵
∴
14. 24 112
共选4个方格:选第1个方格,在16个方格中任选1个,有16种选法;
选第2个方格,需在除去所选第1个方格所在行、列的方格(共9个)中任选1个,有9种选法;
选第3个方格,需在除去所选的第1和第2个方格所在行、列的方格(共4个)中任选1个,有4种选法;
选第4个方格,需在除去所选的第1、第2和第3个方格所在行、列的方格(共1个)中任选1个,有1种选法
对于选好的4个方格无顺序限制,所以不同的选法有
=24(种).
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
（1）
（2）2+
+3
(1)由sin
cos
,得2
=2,
所以sin
由
π
,得
∈
,所以
=
,
所以
(2)由
为三角形内角,得sin
因为
,
所以由正弦定理得
sin
,
所以
sin
,即
sin
,所以cos
,所以
因为
,所以由正弦定理,得
sin
由
,得
,所以sin
=
×
+
×
=
,
所以由正弦定理,得
=
=
+
,
所以△
的周长为
+
+
=2+
+3
16.
（）
（2）(1,+∞)
(1)当
时
,则
,所以
又
,所以曲线
在点
处的切线方程为
,即
(2)f(x)=ex-ax-a3,则
,当
时
>0,则
在R上单调递增,无极值点,所以
>
令
<0,得
<ln
,令
>0,得
>ln
,
所以
在(-∞,ln
a)上单调递减,在(ln
a,+∞)上单调递增,
所以
是
的极小值点,极小值为f(ln
a)=eln
a-aln
,则问题转化为解不等式
<
又
>0,所以不等式可化为
>
令
,则
>0恒成立,
所以
在(0,+∞)上单调递增
又
,所以不等式
<0的解集为(1,+∞),所以
的取值范围是
17.
（1）见解析
（2）
(1)【证明】∵
,
=
,
=
,
∴
在△
中,由余弦定理得
×
=4,
则
,
∴在△
中
,
∴
又∵△
沿
翻折至△
,∴
又∵
平面
,∴
平面
．
又∵
平面
,
∴ ．
(2)【解】由(1)知
,
又∵
,∴
∥
∵
平面
,∴
平面
．
又∵
平面
,∴
．
在Rt△
中
=
又∵
,∴
,
∴ ．
∴以
为原点
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,2
),F(2,0,0),D(0,3
,0),B(4,2
,0),C(3,3
,0),∴
=(-2,0,2
),
=(-4,-2
,2
),
=(-3,0,0),
=(0,-3
,2
).
设平面
的法向量为
,
则
即
令
,则n=(
,-1,1).
设平面
的法向量为
,
则
即
令
,则
设平面
与平面
所成的二面角的平面角为
,
则|cos
|=|cos<
>|=
=
,
∴sin
=
18.
（）
（）
甲
甲
(1)甲参加第一阶段比赛,则该队进入第二阶段的概率
第二阶段乙进行投篮,则乙至少投中一次的概率
,
故甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率
(2)(ⅰ)若甲、乙所在队的比赛成绩为15分,则第二阶段的3次投篮全中
当甲参加第一阶段比赛时,甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为
,
当乙参加第一阶段比赛时,甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为
,
则
因为
>
>0,所以
>0,所以
>0,即
>
,
故应该由甲参加第一阶段比赛
(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,则设该队比赛成绩为
分
的所有可能取值为0,5,10,15,进入第二阶段的概率为
,未进入第二阶段的概率为
,
则
,
,
,
,
则
若乙参加第一阶段比赛,则设该队的比赛成绩为
分,
同理可得
,
则
,
因为
>
>0,所以
>
<
<0,
所以
>0,即
>
故应该由甲参加第一阶段的比赛
19.
（）
（2）见解析
（3）见解析
(1)【解】因为点
在
:x2-y2=m(m>0)上,
所以
过点
且斜率
的直线方程为
由
解得
或
所以
,
所以
(2)【证明】因为点
关于
轴的对称点是
,点
在同一条斜率为
的直线上,
所以
并且
①
因为点
都在双曲线
上,所以
两式相减,得
②
由①②得
④-③,得
,
整理得
=
又
,所以
是公比为
的等比数列
(3)【证明】因为△
和△
有公共边
,所以若点
和
到直线
的距离相等,则
此时,直线
和
的斜率存在且相等,四边形
是梯形,大致图形如图所示
以下证明:直线
和
的斜率相等
记
,则由0<
<1得
>
由(2)及
,得
又因为
-
=9,
所以
,
所以
由(2)知
,考虑直线
斜率的倒数
=
=1-
=1-
,
直线
斜率的倒数
=
=1-
=1-
,
因此
=
从而直线
与
平行,
所以
=
,证明完毕