【334311】2021年全国高考甲卷数学理试卷

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密·启用前

2021年全国高考甲卷数学（理）试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.设集合 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：


根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6

5.已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ）

A．346
B．373
C．446
D．473

9.若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12.设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

13.曲线 在点 处的切线方程为__________．

14.已知向量 ．若 ，则 ________．

15.已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．

16.已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为________．

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

18.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

19.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．

（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?

20.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．

21.已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．

22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点．

23.已知函数 ．

（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．

参考答案

1.B

【解析】
根据交集定义运算即可
因为 ，所以 ,
故选：B.

2.C

【解析】
根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 ,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.

3.B

【解析】
由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
，
.
故选：B.

4.C

【解析】
根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.

5.A

【解析】
根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A

6.D

【解析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D

7.B

【解析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．

8.B

【解析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．

过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
而 ，
所以
所以 ．
故选：B．

9.A

【解析】
由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.

10.C

【解析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.

11.A

【解析】
由题可得 为等腰直角三角形，得出 外接圆的半径，则可求得 到平面 的距离，进而求得体积.
， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .
故选：A.

12.D

【解析】
通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．



所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．

13.

【解析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．

14. .

【解析】
利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
,
，解得 ,
故答案为： .

15.

【解析】
根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形 面积等于 ，即可求解.
因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .

16.2

【解析】
先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最小正整数为2.
故答案为：2.

17.（1）75%；60%；
（2）能.

【解析】
根据给出公式计算即可
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .
（2） ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.答案见解析

【解析】
选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等差数列可证 ；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证 是等差数列.
选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.

19.（1）见解析；（2）

【解析】
通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．
因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．

所以 ，
．
由题设 （ ）．
（1）因为 ，
所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，
此时 ．

20.（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析

【解析】
（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出 坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜率存在，由 三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由 与圆 相切，得出 与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，即可得出结论.
（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：

，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.

21.（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .

【解析】
（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究 的单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是 ，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .

22.（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点.

【解析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入可得；
（2）设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.

23.（1）图像见解析；（2）

【解析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时 的值可求.
（1）可得 ，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .