2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.行列式 的值为____.

解析：行列式 =4×5﹣2×1=18.

答案：18

2.双曲线 的渐近线方程为____.

解析：∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x轴上

而双曲线 的渐近线方程为

∴双曲线 的渐近线方程为

答案：

3.在(1+x)⁷的二项展开式中，x²项的系数为____(结果用数值表示).

解析：二项式(1+x)⁷展开式的通项公式为

，

令r=2，得展开式中x²的系数为 =21.

答案：21

4.设常数a∈R，函数f(x)=1og₂(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则a=____.

解析：∵常数a∈R，函数f(x)=1og₂(x+a).

f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，

∴函数f(x)=1og₂(x+a)的图象经过点(1，3)，

∴log₂(1+a)=3，

解得a=7.

答案：7

5.已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位)，则|z|=____.

解析：由(1+i)z=1﹣7i，

得 ，

则 .

答案：5

6.记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=0，a₆+a₇=14，则S₇=____.

解析：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=0，a₆+a₇=14，

∴ ，

解得a₁=﹣4，d=2，

∴S₇=7a₁+ =﹣28+42=14.

答案：14

7.已知α∈{﹣2，﹣1， ，1，2，3}，若幂函数f(x)=x^α为奇函数，且在(0，+∞)上递减，则α=____.

解析：∵α∈{﹣2，﹣1， ，1，2，3}，

幂函数f(x)=x^α为奇函数，且在(0，+∞)上递减，

∴a是奇数，且a＜0，

∴a=﹣1.

答案：﹣1

8.在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，0)、B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且 ，则 的最小值为____.

解析：根据题意，设E(0，a)，F(0，b)；

∴ ；

∴a=b+2，或b=a+2；

且 ；

∴ ；

当a=b+2时， ；

∵b²+2b﹣2的最小值为 ；

∴ 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时， 的最小值为﹣3.

答案：﹣3

9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是____(结果用最简分数表示).

解析：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，

从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，

所有的事件总数为： =10，

这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，

所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是： .

答案：

10.设等比数列{a_n}的通项公式为a_n=q^n﹣1(n∈N^*)，前n项和为S_n.若 ，则q=____.

解析：等比数列{a_n}的通项公式为a_n=q^n-1(n∈N*)，可得a₁=1，

因为 ，所以数列的公比不是1，

，a_n+1=qⁿ.

可得 ，

可得q=3.

答案：3

11.已知常数a＞0，函数 的图象经过点P(p， )，Q(q， ).若2^p+q=36pq，则a=____.

解析：函数 的图象经过点P(p， )，Q(q， ).

则： ，

整理得： ，

解得：2^p+q=a²pq，

由于：2^p+q=36pq，

所以：a²=36，

由于a＞0，

故：a=6.

答案：6

12.已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=1，x₁x₂+y₁y₂= ，则 的最大值为____.

解析：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

=(x₁，y₁)， =(x₂，y₂)，

由x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=1，x₁x₂+y₁y₂= ，

可得A，B两点在圆x²+y²=1上，

且 =1×1×cos∠AOB= ，

即有∠AOB=60°，

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d₁与d₂之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：x+y+t=0，(t＞0)，

由圆心O到直线AB的距离 ，

可得 =1，解得t= ，

即有两平行线的距离为 ，

即 的最大值为 .

答案：

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.设P是椭圆 上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )

A.

B.

C.

D.

解析：椭圆 的焦点坐标在x轴，a= ，

P是椭圆 上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a= .

答案：C

14.已知a∈R，则“a＞1”是“ ＜1”的( )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

解析：a∈R，则“a＞1”⇒“ ＜1”，

“ ＜1”⇒“a＞1或a＜0”，

∴“a＞1”是“ ＜1”的充分非必要条件.

答案：A

15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )

A.4

B.8

C.12

D.16

解析：根据正六边形的性质，则D₁﹣A₁ABB₁，D₁﹣A₁AFF₁满足题意，而C₁，E₁，C，D，E，和D₁一样，有2×6=12，

当A₁ACC₁为底面矩形，有2个满足题意，

当A₁AEE₁为底面矩形，有2个满足题意，

故有12+2+2=16

答案：D

16.设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( )

A.

B.

C.

D.0

解析：设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，

若f(x)的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，

故f(1)= .

答案：B

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

(2)设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.

解析：(1)由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.

(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.

答案：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，

∴圆锥的体积 .

(2)∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，

M为线段AB的中点，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，

建立空间直角坐标系，

P(0，0，4)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，

M(1，1，0)，O(0，0，0)，

=(1，1，﹣4)， =(0，2，0)，

设异面直线PM与OB所成的角为θ，

则 .

∴θ=arccos .

∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos .

18.设常数a∈R，函数f(x)=asin2x+2cos²x.

(1)若f(x)为偶函数，求a的值；

(2)若 ，求方程f(x)=1﹣ 在区间[﹣π，π]上的解.

解析：(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，

(2)先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出.

答案：(1)∵f(x)=asin2x+2cos²x，

∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos²x，

∵f(x)为偶函数，

∴f(﹣x)=f(x)，

∴﹣asin2x+2cos²x=asin2x+2cos²x，

∴2asin2x=0，

∴a=0；

(2)∵ ，

∴ ，

∴a= ，

∴f(x)= sin2x+2cos²x= sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1，

∵f(x)=1﹣ ，

∴2sin(2x+ )+1=1﹣ ，

∴ ，

∴ ，或 ，k∈Z，

∴x= ，或x= +kπ，k∈Z，

∵x∈[﹣π，π]，

∴x= 或x= 或x=

19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

(单位：分钟)，

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.

解析：(1)由题意知求出f(x)＞40时x的取值范围即可；

(2)分段求出g(x)的解析式，判断g(x)的单调性，再说明其实际意义.

答案：(1)由题意知，当30＜x＜100时，

f(x)=2x+ ﹣90＞40，

即x²﹣65x+900＞0，

解得x＜20或x＞45，

∴x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

(2)当0＜x≤30时，

g(x)=30·x%+40(1﹣x%)=40﹣ ；

当30＜x＜100时，

g(x)=(2x+ ﹣90)·x%+40(1﹣x%)= ；

∴ ；

当0＜x＜32.5时，g(x)单调递减；

当32.5＜x＜100时，g(x)单调递增；

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；

有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.

20.设常数t＞2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2，0)，直线l：x=t，曲线Γ：y²=8x(0≤x≤t，y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.

(1)用t表示点B到点F的距离；

(2)设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

(3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

解析：(1)方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；

方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；

(2)根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；

(3)设P及E点坐标，根据直线k_PF·k_FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据 ，求得E点坐标，则 ，即可求得P点坐标.

答案：(1)方法一：由题意可知：设B(t， t)，

则 ，

∴|BF|=t+2；

方法二：由题意可知：设B(t， t)，

由抛物线的性质可知：|BF|=t+ =t+2，∴|BF|=t+2；

(2)F(2，0)，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，

∴|AQ|= ，∴Q(3， )，设OQ的中点D，

D( )，

则直线PF方程：y=﹣ (x﹣2)，

联立 ，整理得：3x²﹣20x+12=0，

解得：x= ，x=6(舍去)，

∴△AQP的面积S= ；

(3)存在，设 ，则 ，

直线QF方程为y= (x﹣2)，∴y_Q= (8﹣2)= ，Q(8， )，

根据 ，则E( )，

∴ ，解得：y²= ，

∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P( ).

21.给定无穷数列{a_n}，若无穷数列{b_n}满足：对任意n∈N^*，都有|b_n﹣a_n|≤1，则称{b_n}与{a_n}“接近”.

(1)设{a_n}是首项为1，公比为 的等比数列，b_n=a_n+1+1，n∈N^*，判断数列{b_n}是否与{a_n}接近，并说明理由；

(2)设数列{a_n}的前四项为：a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，{b_n}是一个与{a_n}接近的数列，记集合M={x|x=b_i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；

(3)已知{a_n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b_n}满足：{b_n}与{a_n}接近，且在b₂﹣b₁，b₃﹣b₂，…，b₂₀₁﹣b₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围.

解析：(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；

(2)由新定义可得a_n﹣1≤b_n≤a_n+1，求得b_i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；

(3)运用等差数列的通项公式可得a_n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围.

答案：(1)数列{b_n}与{a_n}接近.

理由：{a_n}是首项为1，公比为 的等比数列，

可得a_n= ，b_n=a_n+1+1= +1，

则|b_n﹣a_n|= ＜1，n∈N^*，

可得数列{b_n}与{a_n}接近；

(2){b_n}是一个与{a_n}接近的数列，

可得a_n﹣1≤b_n≤a_n+1，

数列{a_n}的前四项为：a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，

可得b₁∈[0，2]，b₂∈[1，3]，b₃∈[3，5]，b₄∈[7，9]，

可能b₁与b₂相等，b₂与b₃相等，但b₁与b₃不相等，b₄与b₃不相等，

集合M={x|x=b_i，i=1，2，3，4}，

M中元素的个数m=3或4；

(3){a_n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b_n}满足：{b_n}与{a_n}接近，

可得a_n=a₁+(n﹣1)d，

①若d＞0，取b_n=a_n，可得b_n+1﹣b_n=a_n+1﹣a_n=d＞0，

则b₂﹣b₁，b₃﹣b₂，…，b₂₀₁﹣b₂₀₀中有200个正数，符合题意；

②若d=0，取b_n=a₁﹣ ，则|b_n﹣a_n|=|a₁﹣ ﹣a₁|= ＜1，n∈N^*，

可得b_n+1﹣b_n= ＞0，

则b₂﹣b₁，b₃﹣b₂，…，b₂₀₁﹣b₂₀₀中有200个正数，符合题意；

③若﹣2＜d＜0，可令b_2n﹣1=a_2n﹣1﹣1，b_2n=a_2n+1，

则b_2n﹣b_2n﹣1=a_2n+1﹣(a_2n﹣1﹣1)=2+d＞0，

则b₂﹣b₁，b₃﹣b₂，…，b₂₀₁﹣b₂₀₀中恰有100个正数，符合题意；

④若d≤﹣2，若存在数列{b_n}满足：{b_n}与{a_n}接近，

即为a_n﹣1≤b_n≤a_n+1，a_n+1﹣1≤b_n+1≤a_n+1+1，

可得b_n+1﹣b_n≤a_n+1+1﹣(a_n﹣1)=2+d≤0，

b₂﹣b₁，b₃﹣b₂，…，b₂₀₁﹣b₂₀₀中无正数，不符合题意.

综上可得，d的范围是(﹣2，+∞).