绝密·启用前

2022年全国新高考I卷数学试卷

题号	一	二	三	四	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、单选题

1.若集合 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

2.若 ，则 （       ）
A．
B．
C．1
D．2

3.在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（ ）（       ）
A．
B．
C．
D．

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（       ）
A．
B．
C．
D．

6.记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （       ）
A．1
B．
C．
D．3

7.设 ，则（       ）
A．
B．
C．
D．

8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、多选题

9.已知正方体 ，则（       ）
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为

10.已知函数 ，则（       ）
A． 有两个极值点
B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线

11.已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（       ）
A．C的准线为
B．直线AB与C相切
C．
D．

12.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（       ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

三、填空题

13. 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．

14.写出与圆 和 都相切的一条直线的方程________________．

15.若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

16.已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．

评卷人 得分

四、解答题

17.记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．

18.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．

19.如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．

(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

	不够良好	良好
病例组	40	60
对照组	10	90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

21.已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．

22.已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

参考答案

1.D

【解析】
求出集合 后可求 .
，故 ，
故选：D

2.D

【解析】
利用复数的除法可求 ，从而可求 .
由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D

3.B

【解析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．

4.C

【解析】
根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 ．
棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴
．

故选：C．

5.D

【解析】
由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.

6.A

【解析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A

7.C

【解析】
构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.

8.C

【解析】
设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.

9.ABD

【解析】
数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；

连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.
故选：ABD

10.AC

【解析】
利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 是极值点，故A正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，
故D错误.
故选：AC.

11.BCD

【解析】
求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD

12.BC

【解析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故A错误.
故选：BC.

13.-28

【解析】
可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28

14. 或 或

【解析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .

15.

【解析】
设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：

16.13

【解析】
利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为 .
故答案为：13.

17.(1)
(2)见解析

【解析】
（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得 ，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
(1)
∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
(2)

∴

18.(1) ；
(2) ．

【解析】
（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成 ，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因为 ，即 ，
而 ，所以 ；
(2)
由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ．
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．

19.(1)
(2)

【解析】
（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
(1)
在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
(2)
取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .

20.(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；

【解析】
(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求 .
(1)
由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)
(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以

21.(1) ；
(2) ．

【解析】
（1）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线l的斜率存在，设 ， ，再根据 ，即可解出l的斜率；
（2）根据直线 的斜率之和为0可知直线 的倾斜角互补，再根据 即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程求出点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，即可得出 的面积．
(1)
因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
(2)
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 ，
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．

22.(1)
(2)见解析

【解析】
（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数 ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
(1)
的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
(2)
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个零点，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无零点，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的零点 ，
此时 有两个不同的零点 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .