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2021年山东省春季高考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.假设集合 ， ，那么 等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.函数 的定义域为（ ）
A． 且
B．
C． 且
D．

4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分没必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也没必要条件

5.在等比数列 中， ， ，则 等于（ ）
A．
B．5
C．
D．9

6.如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么 能够表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.终边在 轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．

8.关于函数 ，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点

9.某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10
B．20
C．60
D．100

10.如下图，直线 的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.关于命题 ， ，假设“ 为假命题”，且 为真命题，那么（ ）
A． ， 都是真命题
B． ， 都是假命题
C． ， 一个是真命题一个是假命题
D．无法判定

12.已知函数 是奇函数，当 时， ，那么 的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．3

13.已知点 在函数 的图象上，点 的坐标是 ，那么 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

14.关于 ， 的方程 ，给出以下命题；
①当 时，方程表示双曲线；②当 时，方程表示抛物线；③当 时，方程表示椭圆；④当 时，方程表示等轴双曲线；⑤当 时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

15. 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0
B．
C．
D．32

16.不等式组 表示的区域（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．

17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

18.已知向量 ， ，那么 等于（ ）
A．
B．
C．1
D．0

19.已知 ， 表示平面， ， 表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A．假设 ， ，那么
B．假设 ， ， ，那么
C．假设 ， ，那么
D．假设 ， ， ， ，那么

20.已知 是双曲线 （ ， ）的左焦点，点 在双曲线上，直线 与 轴垂直，且 ，那么双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．2
D．3

评卷人 得分

二、填空题

21.直棱柱的底面是边长为 的菱形，侧棱长为 ，那么直棱柱的侧面积是______．

22.在△ 中， ， ， ， 等于______．

23.打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．

24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆 的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．

25.集合 ， ， 都是非空集合，现规定如下运算： 且 ．假设集合 ， ， ，其中实数 ， ， ， ， ， 满足：（1） ， ； ；（2） ；（3） ．计算 ____________________________________．

评卷人 得分

三、解答题

26.某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．

27.已知函数 ， ， ，函数的部份图象如下图，求

（1）函数的最小正周期 及 的值：
（2）函数的单调递增区间．

28.已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值是16，
（1）求实数 的值；
（2）假设函数 的定义域是 ，求不等式 的实数 的取值范围．

29.如下图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 平面 ， ， ．

（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求证： ．

30.已知抛物线的顶点是坐标原点 ，焦点 在 轴的正半轴上， 是抛物线上的点，点 到焦点 的距离为1，且到 轴的距离是 ．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线 通过点 ，与抛物线相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程．

参考答案

1.B

【解析】
直接根据交集的定义求解即可.
， ，
.
故选：B.

2.B

【解析】
应用公式法解绝对值不等式，即可求解集.
由 得： ，解得 .
∴解集为 .
故选：B

3.A

【解析】
根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
由函数解析式有意义可得
且
所以函数的定义域是 且 ，
故选：A.

4.C

【解析】
由直线与圆相切的等价条件，易判断
由于“圆心到直线的距离等于圆的半径” “直线与圆相切”，因此充分性成立；
“直线与圆相切” “圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；
可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件
故选：C

5.D

【解析】
由等比数列的项求公比，进而求 即可.
由题设， ，
∴ ．
故选：D

6.B

【解析】
由向量的线性运算，可得解
由题意， ．
故选：B

7.A

【解析】
利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
终边在 轴正半轴上的角的集合是
故选：A

8.C

【解析】
根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.
，最大值是1，A正确；
对称轴是直线 ，B正确；
单调递减区间是 ，故C错误；
令 的 ，故 在函数图象上，故D正确，
故选：C

9.A

【解析】
根据组合的定义计算即可.
从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有 种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）
故选：A

10.D

【解析】
由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线 与 轴交点为 求解.
由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率 ，
所以直线 与 轴的交点为 ，
所以直线的点斜式方程可得 ： ，
即 ．
故选：D

11.C

【解析】
根据逻辑联合词“或”，“且”连接的命题的真假性，容易判断出 ， 的真假性.
由 是假命题可知 ， 至少有一个假命题，由 是真命题可知 ， 至少有一个真命题，∴ ， 一个是真命题一个是假命题.
故选：C

12.A

【解析】
根据奇函数的性质即可求解.
函数 是奇函数，当 时， ，
.
故选：A.

13.D

【解析】
根据 在函数 的图象上代入可得 ，再利用向量的模长公式求解即可.
∵点 在函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ 点坐标为 ， ， ．
故选：D

14.B

【解析】
根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可.
当 时，方程表示双曲线；
当 时，方程表示两条垂直于 轴的直线；
当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，方程表示圆；
当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B

15.D

【解析】
根据 的二项展开式系数之和为 求解即可
的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D

16.D

【解析】
用特殊点 进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.
将点 代入 不成立，则点 不在不等式 所表示的平面区域内，
将点 代入 不成立，则点 不在不等式 所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；
不包括边界，用虚线表示， 包括边界，用实线表示，
故选：D.

17.D

【解析】
应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
甲、乙两位同窗选取景点的种数为 ，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为 ．
故选：D

18.A

【解析】
利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
， ，
.
故选：A.

19.C

【解析】
根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D
选项A：假设 ， ，那么 或 在 内，故选项A错误；
选项B：假设 ， ， ，那么 或 与 异面，故选项B错误；
选项D：假设 ， ， ， ，且 、 相交才能判定 ，故选项C错误；
选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．
故选：C

20.A

【解析】
易得 的坐标为 ，设 点坐标为 ，求得 ，由 可得 ，
然后由a，b，c的关系求得 ，最后求得离心率即可.
的坐标为 ，设 点坐标为 ，
易得 ，解得 ，
因为直线 与 轴垂直，且 ，
所以可得 ，则 ，即 ，
所以 ，离心率为 ．
故选：A.

21.

【解析】
直棱柱的四个侧面都是长为 ，宽为 的矩形，依此计算侧面积即可.
直棱柱的四个侧面都是长为 ，宽为 的矩形，该直棱柱的侧面积为四个矩形面积之和，
所以直棱柱的侧面积是 .
故答案为： .

22.

【解析】
由和角正弦公式求 函数值，再应用正弦定理求 即可.
，
由正弦定理可知， ，
∴ .
故答案为：

23.42

【解析】
由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可.
从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10，
第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是 .
故答案为：42

24.

【解析】
由于 是圆，可得 ，通过圆心和半径计算 ，即得解
由于 是圆，
即：圆
其中圆心为 ，半径为4
那么椭圆的长轴长为8，即 ， ， ，
那么短轴长为
故答案为：

25. 或

【解析】
由题设条件求 ， ， ， ， ， 的大小关系，再根据集合运算新定义求 即可.
，得 ； ，得 ；
∴ ， ；同理 ，
∴ ．由(1)(3)可得 ．
∴ ， ， ．
或 ．
故答案为： 或

26.18

【解析】
根据已知条件，利用等差数列的前n项和公式求第一排的演员数量即可.
由题意，各排人数组成等差数列 ，
设第一排人数是 ，公差 ，前5项和 ，
由 知： ，解得 ．
∴第一排应安排18名演员.

27.（1）最小正周期 ； ；（2） ， ．

【解析】
（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点 可求出 ；
（2）令 可解出单调递增区间.
（1）函数的最小正周期 ，
因为函数的图象过点 ，因此 ，即 ，又因为 ，因此 ．
（2）因为函数 的单调递增区间是 ， ．
因此 ，解得 ，
因此函数的单调递增区间是 ，

28.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）当 时，由函数 在区间 上是减函数求解；，当 时，函数 在区间 上是增函数求解；
（2）根据 的定义域是 ，由 恒成立求解．
（1）当 时，函数 在区间 上是减函数，
因此当 时，函数 取得最大值16，即 ，
因此 ．
当 时，函数 在区间 上是增函数，
当 时，函数 取得最大值16，即 ，
因此 ．
（2）因为 的定义域是 ，
即 恒成立．
则方程 的判别式 ，即 ，
解得 ，
又因为 或 ，因此 ．
代入不等式得 ，即 ，
解得 ，
因此实数 的取值范围是 ．

29.（1） ；（2）证明见解析．

【解析】
(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.
(考查内容)异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
(解)（1）因为 ，因此 即为 与 所成的角，在 中， ，
又在正方形 中 ，因此 ，
因此 与 所成角的余弦值是 ．
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，在正方形 中， ，
因此 平面 ，又因为 平面 ，因此 ．

30.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）根据抛物线的定义，结合 到焦点、 轴的距离求 ，写出抛物线方程.
（2）直线 的斜率不存在易得 与 不垂直与题设矛盾，设直线 方程联立抛物线方程，应用韦达定理求 ， ，进而求 ，由题设向量垂直的坐标表示有 求直线方程即可.
（1）由己知，可设抛物线的方程为 ，又 到焦点 的距离是1，
∴点 到准线的距离是1，又 到 轴的距离是 ，
∴ ，解得 ，则抛物线方程是 ．
（2）假设直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，与 联立可得交点 、 的坐标分别为 ， ，易得 ，可知直线 与直线 不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线 的斜率存在．设直线 为 ，整理得 ，
设 ， ，联立直线 与抛物线的方程得 ，
消去 ，并整理得 ，于是 ， ，
∴ ，
又 ，因此 ，即 ，
∴ ，解得 或 ．
当 时，直线 的方程是 ，不满足 ，舍去．
当 时，直线 的方程是 ，即 ，
∴直线 的方程是 ．