【334337】2023年天津高考数学真题

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密·启用前

2023年天津高考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.已知集合 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

2.“ ”是“ ”的（       ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

3.若 ，则 的大小关系为（       ）
A．
B．
C．
D．

4.函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（       ）
       
A．
B．
C．
D．

5.已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为（       ）
A．
B．
C．
D．

6.已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为（       ）
A．3
B．18
C．54
D．152

7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法正确的是（       ）
   
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是

8.在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（       ）
A．
B．
C．
D．

9.双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

10.已知 是虚数单位，化简 的结果为_________．

11.在 的展开式中， 项的系数为_________．

12.过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，若 ，则 的值为_________．

13.若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为_________．

14.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．

15.在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设 ，则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为_________．

16.在 中，角 所对的边分別是 ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 ．

17.三棱台 中，若 面 ， 分别是 中点.
   
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．

18.设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积的二倍，求直线 的方程．

19.已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及其前 项和．

20.已知函数 ．
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)当 时，证明： ；
(3)证明： ．

参考答案

1.A

【解析】
对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
由 ，而 ，
所以 .
故选：A

2.B

【解析】
根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B

3.D

【解析】
根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D

4.D

【解析】
由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的函数符号排除选项，即得答案.
由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D

5.B

【解析】
由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.

6.C

【解析】
由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得 的值.
由题意可得：当 时， ，即 ，       ①
当 时， ，即 ，             ②
联立①②可得 ，则 .
故选：C.

7.C

【解析】
根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.
根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是 ，D选项错误
故选：C

8.B

【解析】
分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ,过 作 ,垂足为 .先证 平面 ，则可得到 ，再证 .由三角形相似得到 ， ，再由 即可求出体积比.
如图，分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ,过 作 ,垂足为 .
   
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
又因为平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ，且 .
在 中，因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B

9.D

【解析】
先由点到直线的距离公式求出 ，设 ，由 得到 ， .再由三角形的面积公式得到 ，从而得到 ，则可得到 ，解出 ，代入双曲线的方程即可得到答案.
如图，
   
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D

10. ##

【解析】
由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以 ，然后计算其运算结果即可.
由题意可得 .
故答案为： .

11.

【解析】
由二项式展开式的通项公式写出其通项公式 ，令 确定 的值，然后计算 项的系数即可.
展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.

12.

【解析】
根据圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．

13.

【解析】
根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．

14.          ##

【解析】
先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，
所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，
所以， ．
故答案为： ； ．

15.         

【解析】
空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
   

16.(1)
(2)
(3)

【解析】
（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出 ，再由平方关系求出 ，即可由两角差的正弦公式求出．
（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
故 ．

17.(1)证明见解析
(2)
(3)

【解析】
（1）先证明四边形 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
（1）    
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则 // ，
又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 .
（2）过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 .
由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，则 平面 .
由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是 平面 ，
由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 .
又 ， ，则 ，故 ，在 中， ，则 ，
于是
   
（3）[方法一：几何法]
   
过 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 .
由题干数据可得， ， ，根据勾股定理， ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，于是 平面 .
又 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，故 平面 .
在 中， ，
又 ，故点 到平面 的距离是 到平面 的距离的两倍，
即点 到平面 的距离是 .
[方法二：等体积法]
   
辅助线同方法一.
设点 到平面 的距离为 .
，
.
由 ，即 .

18.(1)椭圆的方程为 ，离心率为 .
(2) .

【解析】
（1）由 解得 ，从而求出 ，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线 的方程，与椭圆方程联立，消去 ，再由韦达定理可得 ，从而得到 点和 点坐标.由 得 ，即可得到关于 的方程，解出 ，代入直线 的方程即可得到答案.
（1）如图，
   
由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .

19.(1) ， ；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .

【解析】
(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 ，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 项和公式计算可得 .
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当 时， ，
取 ，当 时， ，取 ，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 项和公式即可计算其前 项和.
（1）由题意可得 ，解得 ，
则数列 的通项公式为 ，
求和得

.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，
据此可得 ，
综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
则数列 的公比 满足 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ，
其前 项和为： .

20.(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【解析】
（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为 时 ，构造 ，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造 ， ，作差法研究函数单调性可得 ，再构造 且 ，应用导数研究其单调性得到 恒成立，对 作放缩处理，结合累加得到 ，即可证结论.
（1） ，则 ，
所以 ，故 处的切线斜率为 ；
（2）要证 时 ，即证 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，即 .
所以 时 .
（3）设 ， ，
则 ，
由（2）知： ，则 ，
所以 ，故 在 上递减，故 ；
下证 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以 ，故在 上 恒成立，
则 ，
所以 ， ，…， ，
累加得： ，而 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，故 ；
综上， ，即 .