…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密·启用前
2023年天津高考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
四 |
总分 |
得分 |
|
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|
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、单选题 |
1.已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3.若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.函数
的图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知函数
的一条对称轴为直线
，一个周期为4，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知
为等比数列，
为数列
的前
项和，
，则
的值为（ ）
A．3
B．18
C．54
D．152
7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数
，下列说法正确的是（ ）
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
8.在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中一条渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
|
二、填空题 |
10.已知
是虚数单位，化简
的结果为_________．
11.在
的展开式中，
项的系数为_________．
12.过原点的一条直线与圆
相切，交曲线
于点
，若
，则
的值为_________．
13.若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为_________．
|
三、双空题 |
14.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为
．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为
．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
15.在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，则
的最大值为_________．
|
四、解答题 |
16.在
中，角
所对的边分別是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
．
17.三棱台
中，若
面
，
分别是
中点.
(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
18.设椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点
是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积的二倍，求直线
的方程．
19.已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及其前
项和．
20.已知函数
．
(1)求曲线
在
处切线的斜率；
(2)当
时，证明：
；
(3)证明：
．
参考答案
1.A
【解析】
对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
由
，而
，
所以
.
故选：A
2.B
【解析】
根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
3.D
【解析】
根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
由
在R上递增，则
，
由
在
上递增，则
.
所以
.
故选：D
4.D
【解析】
由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在
上的函数符号排除选项，即得答案.
由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C中
上函数值为正，排除；
故选：D
5.B
【解析】
由题意分别考查函数的最小正周期和函数在
处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中
，B选项中
，
C选项中
，D选项中
，
排除选项CD，
对于A选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
故选：B.
6.C
【解析】
由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得
的值.
由题意可得：当
时，
，即
， ①
当
时，
，即
， ②
联立①②可得
，则
.
故选：C.
7.C
【解析】
根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.
根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于
是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是
，D选项错误
故选：C
8.B
【解析】
分别过
作
,垂足分别为
.过
作
平面
，垂足为
，连接
,过
作
,垂足为
.先证
平面
，则可得到
，再证
.由三角形相似得到
，
，再由
即可求出体积比.
如图，分别过
作
,垂足分别为
.过
作
平面
，垂足为
，连接
,过
作
,垂足为
.
因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
.
又因为平面
平面
，
，
平面
，所以
平面
，且
.
在
中，因为
，所以
，所以
，
在
中，因为
，所以
，
所以
.
故选：B
9.D
【解析】
先由点到直线的距离公式求出
，设
，由
得到
，
.再由三角形的面积公式得到
，从而得到
，则可得到
，解出
，代入双曲线的方程即可得到答案.
如图，
因为
，不妨设渐近线方程为
，即
，
所以
，
所以
.
设
,则
，所以
，所以
.
因为
,所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以双曲线的方程为
故选：D
10.
##
【解析】
由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以
，然后计算其运算结果即可.
由题意可得
.
故答案为：
.
11.
【解析】
由二项式展开式的通项公式写出其通项公式
，令
确定
的值，然后计算
项的系数即可.
展开式的通项公式
，
令
可得，
，
则
项的系数为
.
故答案为：60.
12.
【解析】
根据圆
和曲线
关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
易知圆
和曲线
关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：
．
13.
【解析】
根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断
的取值范围．
（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
14.
##
【解析】
先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为
，所以总数为
，
所以甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件
，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件
，
黑球总共有
个，白球共有
个，
所以，
．
故答案为：
；
．
15.
【解析】
空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
16.(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出
，再由平方关系求出
，即可由两角差的正弦公式求出．
（1）由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
（2）由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
（舍去）．
（3）由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
故
．
17.(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
（1）先证明四边形
是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
（1）
连接
.由
分别是
的中点，根据中位线性质，
//
，且
，
由棱台性质，
//
，于是
//
，由
可知，四边形
是平行四边形，则
//
，
又
平面
，
平面
，于是
//平面
.
（2）过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
,连接
.
由
面
，
面
，故
，又
，
，
平面
，则
平面
.
由
平面
，故
，又
，
，
平面
，于是
平面
，
由
平面
，故
.于是平面
与平面
所成角即
.
又
，
，则
，故
，在
中，
，则
，
于是
（3）[方法一：几何法]
过
作
，垂足为
，作
，垂足为
，连接
，过
作
，垂足为
.
由题干数据可得，
，
，根据勾股定理，
，
由
平面
，
平面
，则
，又
，
，
平面
，于是
平面
.
又
平面
，则
，又
，
，
平面
，故
平面
.
在
中，
，
又
，故点
到平面
的距离是
到平面
的距离的两倍，
即点
到平面
的距离是
.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点
到平面
的距离为
.
，
.
由
，即
.
18.(1)椭圆的方程为
，离心率为
.
(2)
.
【解析】
（1）由
解得
，从而求出
，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线
的方程，与椭圆方程联立，消去
，再由韦达定理可得
，从而得到
点和
点坐标.由
得
，即可得到关于
的方程，解出
，代入直线
的方程即可得到答案.
（1）如图，
由题意得
，解得
，所以
，
所以椭圆的方程为
，离心率为
.
（2）由题意得，直线
斜率存在，由椭圆的方程为
可得
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，消去
整理得：
，
由韦达定理得
，所以
，
所以
，
.
所以
,
,
，
所以
，
所以
，即
，
解得
，所以直线
的方程为
.
19.(1)
，
；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
，前
项和为
.
【解析】
(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得
，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前
项和公式计算可得
.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当
时，
，
取
，当
时，
，取
，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前
项和公式即可计算其前
项和.
（1）由题意可得
，解得
，
则数列
的通项公式为
，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当
时，
，
取
，则
，即
，
当
时，
，
取
，此时
，
据此可得
，
综上可得：
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：
，
则数列
的公比
满足
，
当
时，
，所以
，
所以
，即
，
当
时，
，所以
，
所以数列的通项公式为
，
其前
项和为：
.
20.(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为
时
，构造
，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造
，
，作差法研究函数单调性可得
，再构造
且
，应用导数研究其单调性得到
恒成立，对
作放缩处理，结合累加得到
，即可证结论.
（1）
，则
，
所以
，故
处的切线斜率为
；
（2）要证
时
，即证
，
令
且
，则
，
所以
在
上递增，则
，即
.
所以
时
.
（3）设
，
，
则
，
由（2）知：
，则
，
所以
，故
在
上递减，故
；
下证
，
令
且
，则
，
当
时
，
递增，当
时
，
递减，
所以
，故在
上
恒成立，
则
，
所以
，
，…，
，
累加得：
，而
，
因为
，所以
，
则
，
所以
，故
；
综上，
，即
.
第