2023年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为 　 　．

【答案】（1，3）

【考点】绝对值不等式．

【分析】原不等式可化为﹣1＜x﹣2＜1，从而求出x的范围．

【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．

【难度】1

2．（4分）已知向量 （﹣2，3）， （1，2），则 • 　 　．

【答案】4．

【考点】平面向量的数量积运算．

【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．

【解答】解：∵向量 （﹣2，3）， （1，2），∴ • 2×1+3×2＝4．故答案为：4．

【难度】1

3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S_n，则S₆＝　 　．

【答案】189．

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】直接利用等比数列的前n项和公式求解．

【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S₆ 189．故答案为：189．

【难度】1

4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝　 　．

【答案】

【考点】二倍角的三角函数．

【分析】直接利用正切函数的二倍角公式求解．

【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α ．故答案为： ．

【难度】1

5．（4分）已知函数f（x） ，则函数f（x）的值域为 　 　．

【答案】[1，+∞）．

【考点】函数的值域．

【分析】分段求出f（x）的值域，再取并集即可．

【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2^x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．

【难度】1

6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　 　．

【答案】 ．

【考点】复数的运算．

【分析】根据复数的基本运算，即可求解．

【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i| ．故答案为： ．

【难度】1

7．（5分）已知圆x²+y²﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　 　．

【答案】﹣3．

【考点】圆的一般方程．

【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．

【解答】解：圆x²+y²﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）²+y²＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．

【难度】3

8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　 　．

【答案】 ．

【考点】余弦定理．

【分析】先利用余弦定理求出cosA，再利用同角三角函数间的基本关系求解．

【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cosA ，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA ．故答案为： ．

【难度】3

9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为 　 　．

【答案】946（亿元）．

【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．

【分析】设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，由题意可得 ，可求出x+y的值，从而求出该地一年的GDP．

【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴ ，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．

【难度】3

10．（5分）已知（1+2023x）¹⁰⁰+（2023﹣x）¹⁰⁰＝a₀+a₁x+a₂x²+⋯+a₉₉x⁹⁹+a₁₀₀x¹⁰⁰，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a_k＜0，则k的最大值为 　 　．

【答案】49．

【考点】二项式定理．

【分析】由二项展开式的通项可得a_k [2023^k+2023^100﹣k•（﹣1）^k]，若a_k＜0，则k为奇数，所以a_k （2023^k﹣2023^100﹣k），即2023^k﹣2023^100﹣k＜0，从而求出k的取值范围，得到k的最大值．

【解答】解：二项式（1+2023x）¹⁰⁰的通项为 •2023^r•x^r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）¹⁰⁰的通项为 •2023^100﹣r•（﹣1）^r•x^r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a_k [2023^k+2023^100﹣k•（﹣1）^k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a_k＜0，则k为奇数，此时a_k （2023^k﹣2023^100﹣k），∴2023^k﹣2023^100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．

【难度】3

11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　 　．

【答案】arccos ．

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．

【解答】解：斜坡的长度为l ，上坡所消耗的总体力y （1.025﹣cosθ） ，函数的导数y′ ，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ ，θ＝arccos ，由f′（x）＞0时cosθ ，即arccos θ 时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ ，即0＜θ＜arccos 时，函数单调递减，即θ＝arccos ，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos ．

【难度】3

12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 　 　种．

【答案】9．

【考点】棱锥的结构特征．

【分析】根据正四棱锥的性质，分类讨论，即可求解．

【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E， 当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．

【难度】3

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（　　）

A．{1}

B．{2}

C．{3}

D．{1，2，3}

【答案】A

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．

【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．

【难度】1

14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（　　）

A．身高越大，体重越大

B．身高越大，体重越小

C．身高和体重成正相关

D．身高和体重成负相关

【答案】C

【考点】散点图．

【分析】根据散点图的分布情况，即可得解．

【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．

【难度】1

15．（5分）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为s_a，在[2a，3a]的最小值为t_a，则下列情况不可能的是（　　）

A．s_a＞0，t_a＞0

B．s_a＜0，t_a＜0

C．s_a＞0，t_a＜0

D．s_a＜0，t_a＞0

【答案】D

【考点】三角函数的最值；正弦函数的图象．

【分析】由题意可知a＞0，对a分别求值，排除ABC，即可得答案．

【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同． 取a ，则[a，2a]＝[ ]，区间[2a，3a]＝[ ]，可知s_a＞0，t_a＞0，故A可能；取a ，则[a，2a]＝[ ， ]，区间[2a，3a]＝[ ， ]，可知s_a＞0，t_a＜0，故C可能；取a ，则[a，2a]＝[ ， ]，区间[2a，3a]＝[ ， ]，可知s_a＜0，t_a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s_a＜0，t_a＞0．故选：D．

【难度】3

16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　）

A．①成立，②成立

B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立

D．①不成立，②不成立

【答案】B

【考点】曲线与方程．

【分析】根据定义结合图象，验证|MP|•|MQ|＝1是否恒成立即可．

【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|_max→+∞，|PM|_min＝0，当|PM|＝0时，Q点不存在；当|PM|_min＝n，0＜n≤1时，|QM| ，但当|PM| ，此时|QM| n，这与|PM|_min＝n矛盾，故②错误．故选：B．

【难度】3

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．

（1）证明：直线A₁B∥平面DCC₁D₁；

（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A₁﹣BD﹣A的大小．

【答案】（1）证明见解答；（2）arctan ．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．

【分析】（1）先证明平面A₁ABB₁∥平面DCC₁D₁，再根据面面平行的性质，即可证明；

（2）先根据体积建立方程求出A₁A＝4，再利用三垂线定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即可求解．

【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA₁∥DD₁，且AB∩AA₁＝A，∴可得平面A₁ABB₁∥平面DCC₁D₁，又直线A₁B⊂平面A₁ABB₁，∴直线A₁B∥平面DCC₁D₁；（2）设AA₁＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为 36，∴h＝4，∵A₁A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A₁E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A₁E，故∠A₁EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD ，∴AE ，又A₁A＝h＝4，∴tan∠A₁EA ，∴二面角A₁﹣BD﹣A的大小为arctan ．

【难度】3

18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x） ．

（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；

（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．

【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（ ， ）∪（ ，+∞）．

【考点】函数的奇偶性；函数的图象与图象的变换．

【分析】（1）a＝0时，求出函数f（x）的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．

（2）根据函数过点（1，3），求出c的值，然后根据f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．

【解答】解：（1）若a＝0，则f（x） x 1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x 是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x 1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1） 3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x） ，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x） 0，得x²+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x²+（3a+1）x+1，则 ，得 ，得 ，即a ，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x²+（3a+1）x+1＝0的根，则a²﹣（3a+1）a+1＝0，即2a²+a﹣1＝0，得a 或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a 且a 且a≠﹣1，即（ ， ）∪（ ，+∞）．

【难度】3

19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3

（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；

（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．

【答案】（1）P（A） ，P（B） ．P（B|A） ．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．

【分析】（1）根据概率公式分别进行计算即可．

（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定X对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可．

【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A） ，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B） ．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB） ，则P（B|A） ．∵P（A）P（B） ，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P ，外观和内饰都异色的概率P ，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1 ，∵ ，∴P（X＝150） ，P（X＝300） ，P（X＝600） ，则X的分布列为：

X	150	300	600
P

则EX＝150 300 600 277（元）．

【难度】5

20．（18分）已知抛物线Γ：y²＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．

（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；

（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；

（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1） ；（2） ；（3）（0，2]．

【考点】直线与抛物线的综合．

【分析】（1）根据题意可得点A的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得a的值；

（2）易知A（4，4），设B（b，0），由AB的中点在抛物线上，可得b的值，进而得到直线AB的方程，再由点到直线的距离公式得解；

（3）设 ，表示出直线AP的方程，进一步表示出点Q的坐标，再根据|HQ|＞4恒成立，结合基本不等式即可得到a的范围．

【解答】解：（1）抛物线Γ：y²＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a²＝4×2＝8（a＞0），解得 ；（2）当a＝4时，点A的横坐标为 ，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为 ，由题意可得 ，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则 ，由点斜式可得，直线AB的方程为 ，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为 ；（3）如图， 设 ，则 ，故直线AP的方程为 ，令x＝﹣3，可得 ，即 ，则 ，依题意， 恒成立，又 ，则最小值为 ，即 ，即 ，则a²+12＞a²+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时， ，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．

【难度】5

21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a₁，过点（a₁，f（a₁））作函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a₂），若a₂＞0，则过点（a₂，f（a₂））作函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a₃），以此类推a₃，a₄，…，直至a_m≤0停止，由这些项构成数列{a_n}．

（1）设a_m（m≥2）属于数列{a_n}，证明：a_m＝lna_m﹣1﹣1；

（2）试比较a_m与a_m﹣1﹣2的大小关系；

（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a₁、a₂、a₃、…、a_k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明过程见解答；（2）a_m≤a_m﹣1﹣2；（3）k＝3．

【考点】数列与函数的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）对函数f（x）求导，利用导数的几何意义，可得过点（a_m﹣1，f（a_m﹣1））的切线方程，再结合题意即可得证；

（2）由不等式lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）即可得出结论；

（3）易知公差d＝a_n﹣a_n﹣1＝lna_n﹣1﹣a_n﹣1﹣1，2≤n≤k，考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，利用导数可知g（x）的单调性情况，进而得到至多存在两个a_n﹣1，使得g（a_n﹣1）＝d，由此可知k＝3，再验证即可．

【解答】解：（1）证明： ，则过点（a_m﹣1，f（a_m﹣1））的切线的斜率为 ，由点斜式可得，此时切线方程为 ，即 ，令x＝0，可得y＝lna_m﹣1﹣1，根据题意可知，a_m＝lna_m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则 ，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a_m＝lna_m﹣1﹣1≤a_m﹣1﹣1﹣1＝a_m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a_n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a_n﹣a_n﹣1＝lna_n﹣1﹣a_n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则 ，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a_n﹣1，使得g（a_n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a₁）＝g（a₂）＝g（a₃）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e^1.1）＝ln0.1﹣2.2+e^1.1+1＝e^1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e²）＝﹣3+e²＞0，则存在 ，使得h（x₀）＝0，于是取a₁＝x₀，a₂＝lna₁﹣1，a₃＝lna₂﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．

【难度】5