2022年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．（4分）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2 　 　．

【答案】2﹣2i．

【考点】共轭复数；复数的运算．

【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．

【解答】解：z＝1+i，则 1﹣i，所以2 2﹣2i．故答案为：2﹣2i．

【难度】1

2．（4分）双曲线 y²＝1的实轴长为 　 　．

【答案】6

【考点】双曲线的几何特征．

【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．

【解答】解：由双曲线 y²＝1，可知：a＝3，所以双曲线的实轴长2a＝6．故答案为：6．

【难度】1

3．（4分）函数f（x）＝cos²x﹣sin²x+1的周期为 　 　．

【答案】π

【考点】三角函数的周期性．

【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得f（x）＝cos2x+1，从而根据周期公式即可求值．

【解答】解：f（x）＝cos²x﹣sin²x+1＝cos²x﹣sin²x+cos²x+sin²x＝2cos²x＝cos2x+1，T π．故答案为：π．

【难度】1

4．（4分）已知a∈R，行列式 的值与行列式 的值相等，则a＝　 　．

【答案】3．

【考点】行列式．

【分析】根据行列式所表示的值求解即可．

【解答】解：因为 2a﹣3， a，所以2a﹣3＝a，解得a＝3．故答案为：3．

【难度】1

5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 　 　．

【答案】24π．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】由底面积为9π解出底面半径R＝3，再代入侧面积公式求解即可．

【解答】解：因为圆柱的底面积为9π，即πR²＝9π，所以R＝3，所以S_侧＝2πRh＝24π．故答案为：24π．

【难度】1

6．（4分）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+2y的最小值 　 　．

【答案】 ．

【考点】简单线性规划．

【分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可．

【解答】解：如图所示： 由x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，可知行域为直线x﹣y＝0的左上方和x+y﹣1＝0的右上方的公共部分，联立 ，可得 ，即图中点A（ ， ），当目标函数z＝x+2y沿着与正方向向量 （1，2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数z＝x+2y过点A（ ， ）时，取最小值： 2 ．故答案为： ．

【难度】1

7．（5分）二项式（3+x）ⁿ的展开式中，x²项的系数是常数项的5倍，则n＝　 　．

【答案】10．

【考点】二项展开式的通项与项的系数．

【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．

【解答】解：∵二项式（3+x）ⁿ的展开式中，x²项的系数是常数项的5倍，即 3^n﹣2＝5 3ⁿ，即 5×9，∴n＝10，故答案为：10．

【难度】3

8．（5分）若函数f（x） ，为奇函数，求参数a的值为 　 　．

【答案】1．

【考点】分段函数的应用．

【分析】由题意，利用奇函数的定义可得 f（﹣x）＝﹣f（x），故有 f（﹣1）＝﹣f（1），由此求得a的值．

【解答】解：∵函数f（x） ，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a²﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1．当a＝0时，f（x） ，不是奇函数，故a≠0；当a＝1时，f（x） ，是奇函数，故满足条件，综上，a＝1，故答案为：1．

【难度】3

9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　 　．

【答案】 ．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．

【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有 种，而所有的抽取方法共有 种，故每一类都被抽到的概率为 ，故答案为： ．

【难度】3

10．（5分）已知等差数列{a_n}的公差不为零，S_n为其前n项和，若S₅＝0，则S_i（i＝1，2，…，100）中不同的数值有 　 　个．

【答案】98．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由等差数前n项和公式求出a₁＝﹣2d，从而S_n （n²﹣5n），由此能求出结果．

【解答】解：∵等差数列{a_n}的公差不为零，S_n为其前n项和，S₅＝0，∴ 0，解得a₁＝﹣2d，∴S_n＝na₁ 2nd （n²﹣5n），∵d≠0，∴S_i（i＝0，1，2⋯，100）中S₀＝S₅＝0，S₂＝S₃＝﹣3d，S₁＝S₄＝﹣2d，其余各项均不相等，∴S_i（i＝1，2⋯，100）中不同的数值有：101﹣3＝98．故答案为：98．

【难度】3

11．（5分）若平面向量| |＝| |＝| |＝λ，且满足 • 0， • 2， • 1，则λ＝　 　．

【答案】

【考点】平面向量数量积的性质及其运算．

【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．

【解答】解：由题意，有 • 0，则 ，设 θ， ⇒ ，则 得，tanθ ，由同角三角函数的基本关系得：cosθ ，则 | || |cosθ 2，λ² ，则 ．故答案为： ．

【难度】3

12．（5分）设函数f（x）满足 对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是A_f，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝A_f，则a的取值范围为 　 　．

【答案】[ ，+∞）．

【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．

【分析】由题可得 ，再根据 时不合题意，进而即得；或等价于 恒成立，即 恒成立，进而即得．

【解答】解：法一：令 ，解得 （负值舍去），当 时， ，当 时， ，且当 时，总存在 ，使得f（x₁）＝f（x₂），故 ，若 ，易得 ，所以 ，即实数a的取值范围为 ；法二：原命题等价于任意 ，所以 恒成立，即 恒成立，又a＞0，所以 ，即实数a的取值范围为 ．故答案为： ．

【难度】3

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.

13．（5分）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　）

A．{﹣2，﹣1，0，1}

B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}

【答案】B

【考点】交集及其运算．

【分析】根据集合的运算性质计算即可．

【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：B．

【难度】1

14．（5分）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　）

A．a+b＞2

B．a+b＜2

C． 2b＞2

D． 2b＜2

【答案】A

【考点】基本不等式及其应用．

【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．

【解答】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2 ，当且仅当a＝b时取等号，又a＞b＞0，所以a+b ，故A正确，B错误， 2 ，当且仅当 ，即a＝4b时取等号，故CD错误，故选：A．

【难度】1

15．（5分）如图正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB₁、CD的中点，连接A₁S，B₁D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A₁S、B₁D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D₁可视的为（　　）

A．点P

B．点B

C．点R

D．点Q

【答案】D

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】线段MN上不存在点在线段A₁S、B₁D上，即直线MN与线段A₁S、B₁D不相交，因此所求与D₁可视的点，即求哪条线段不与线段A₁S、B₁D相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．

【解答】解：线段MN上不存在点在线段A₁S、B₁D上，即直线MN与线段A₁S、B₁D不相交，因此所求与D₁可视的点，即求哪条线段不与线段A₁S、B₁D相交，对A选项，如图，连接A₁P、PS、D₁S，因为P、S分别为AB、CD的中点，∴易证A₁D₁∥PS，故A₁、D₁、P、S四点共面，∴D₁P与A₁S相交，∴A错误； 对B、C选项，如图，连接D₁B、DB，易证D₁、B₁、B、D四点共面，故D₁B、D₁R都与B₁D相交，∴B、C错误； 对D选项，连接D₁Q，由A选项分析知A₁、D₁、P、S四点共面记为平面A₁D₁PS，∵D₁∈平面A₁D₁PS，Q∉平面A₁D₁PS，且A₁S⊂平面A₁D₁PS，点D₁∉A₁S，∴D₁Q与A₁S为异面直线，同理由B，C选项的分析知D₁、B₁、B、D四点共面记为平面D₁B₁BD，∵D₁∈平面D₁B₁BD，Q∉平面D₁B₁BD，且B₁D⊂平面D₁B₁BD，点D₁∉B₁D，∴D₁Q与B₁D为异面直线，故D₁Q与A₁S，B₁D都没有公共点，∴D选项正确． 故选：D．

【难度】3

16．（5分）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）²+（y﹣k²）²＝4|k|，k∈Z}

①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；

②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　）

A．①成立②成立

B．①成立②不成立

C．①不成立②成立

D．①不成立②不成立

【答案】B

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．

【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）²+（y﹣k²）²＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）²+（y﹣k²）²＝4|k|，k∈Z}，表示圆心为（k，k²），半径为r＝2 的圆，圆的圆心在直线y＝x²上，半径r＝f（k）＝2 单调递增，相邻两个圆的圆心距d ，相邻两个圆的半径之和为l＝2 2 ，因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，若直线l斜率不存在，显然不成立，设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）²+（y﹣k²）²＝4|k|的焦点个数，d ，r ，给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，故直线l只与有限个圆相交，②错误．故选：B．

【难度】3

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．

（1）求三棱锥体积V_P﹣ABC；

（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．

【答案】（1）1；（2）arcsin ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．

【分析】（1）直接利用体积公式求解；

（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解．

【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，∴PO ，三棱锥体积V_P﹣ABC 1，（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则P（0，0， ），B（ ，0，0），C（0，1，0），M（ ， ，0）， （ ， ， ），平面PAC的法向量 （ ，0，0），设直线PM与平面PAC所成角为θ，则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ＝| | ，所以PM与面PAC所成角大小为arcsin ．

【难度】3

18．（14分）f（x）＝log₃（a+x）+log₃（6﹣x）．

（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．

（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．

【答案】（1）a＝﹣2，m＝1．（2）﹣3＜a＜0时，解集是（﹣a，3]；a＞0时，解集是[3，6）．

【考点】不等式恒成立的问题；对数函数的图象．

【分析】（1）写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和a的值．

（2）不等式化为log₃（a+x）+log₃（6﹣x）≤log₃（a+6﹣x）+log₃x，写出等价不等式组，求出解集即可．

【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log₃（a+x）+log₃（6﹣x），将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log₃（a+x）+log₃（6﹣x）﹣m的图像，由函数图像经过点（3，0）和（5，0），所以 ，解得a＝﹣2，m＝1．（2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log₃（a+x）+log₃（6﹣x）≤log₃（a+6﹣x）+log₃x，等价于 ，解得 ，当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．

【难度】3

19．（14分）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；

（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；

（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．

【答案】（1）∠POB的大小为arcsin ；（2）P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，S的最大值为28 ．

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】（1）在△OBC中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解；

（2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．

【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，由余弦定理可得OP²＝OB²+BC²﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（ ）＝196，所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得 ，所以 ，解得sin∠POB ，所以∠POB的大小为arcsin ；（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP，∵曲线CMD上任意一点到O距离相等，∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，∵P，Q关于OM对称，∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S_△QOM＝S_△POM＝α，则∠AOQ＝∠BOP＝S_△BOP ，则五边形面积S＝2（S_△AOQ+S_△QOM）＝2[ ]＝196sinα+140cosα＝28 sin（α+φ），其中tanφ ，当sin（α+φ）＝1时，S_{五边形MQABP}取最大值28 ，∴五边形MQABP面积S的最大值为28 ．

【难度】5

20．（16分）设有椭圆方程Γ： 1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4 0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F₁（ ，0）、F₂（ ，0）．

（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；

（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F₂，在△ABM中有一内角余弦值为 ，求b；

（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF₁|+|PF₂|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．

【答案】（1） ；（2） 或 ； ．

【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．

【分析】（1）由题意可得椭圆方程为 ，从而确定M点的纵坐标，进一步可得点M的坐标；

（2）由直线方程可知 ，分类讨论 和 两种情况确定b的值即可；

（3）设P（acosθ，bsinθ），利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得 ，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得 即可确定d的最小值．

【解答】解：（1）由题意可得 ， ，∵AM的中点在x轴上，∴M的纵坐标为 ，代入 得 ．（2）由直线方程可知 ，①若 ，则 ，即 ，∴ ，∴ ．②若 ，则 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴tan∠BAM＝7．即tan∠OAF₂＝7，∴ ，∴ ，综上 或 ．（3）设P（acosθ，bsinθ），由点到直线距离公式可得 ，很明显椭圆在直线的左下方，则 ，即 ，∵a²＝b²+2，∴ ，据此可得 ， ，整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即 ，从而 ．即d的最小值为 ．

【难度】5

21．（18分）数列{a_n}对任意n∈N^*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足a_n+1＝2a_n﹣a_i，a₁＝1，a₂＝3．

（1）求a₄可能值；

（2）命题p：若a₁，a₂，⋯，a₈成等差数列，则a₉＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；

（3）若a_2m＝3^m，（m∈N^*）成立，求数列{a_n}的通项公式．

【答案】（1）7或9；（2）证明见解析，逆命题q：若a₉＜30，则a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈为等差数列是假命题，理由见解析； ．

【考点】数列递推式．

【分析】（1）利用递推关系式可得a₃＝5，然后计算a₄的值即可；

（2）由题意可得 ，则a₉＝2a₈﹣a_i＜30，从而命题为真命题，给出反例可得命题q为假命题．

（3）由题意可得a_2m+2＝2a_2m+1﹣a_i（i≤2m），a_2m+1＝2a_2m﹣a_j（j≤2m﹣1），然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．

【解答】解：（1）a₃＝2a₂﹣a₁＝5，a₄＝2a₃﹣a₂＝7或a₄＝2a₃﹣a₁＝9．（2）∵a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈为等差数列，∴ ，a₉＝2a₈﹣a_i＝30﹣a_i＜30．逆命题q：若a₉＜30，则a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈为等差数列是假命题，举例：a₁＝1，a₂＝3，a₃＝5，a₄＝7，a₅＝9，a₆＝11，a₇＝13，a₈＝2a₇﹣a₅＝17，a₉＝2a₈﹣a₇＝21．（3）因为 ，∴ ，a_2m+1＝2a_2m﹣a_j（j≤2m﹣1），∴a_2m+2＝4a_2m﹣2a_j﹣a_i，∴ ，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明a_n+1＞a_n恒成立：当n＝1，a₂＞a₁明显成立，假设n＝k时命题成立，即a_k＞a_k﹣1＞a_k﹣1⋯＞＞a₂＞a₁＞0，则a_k+1﹣a_k＝2a_k﹣a_i﹣a_k＝a_k﹣a_i＞0，则a_k+1＞a_k，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1．若 j＝2 m﹣1，则a_2m＝2a_j+a_i＝2a_2m﹣1+a_i＞a_2m﹣1﹣a_i矛盾，2．若 j＝2 m﹣2，则 ，∴ ，∴i＝2m﹣2，此时 ，∴ ，3．若 j＜2 m﹣2，则 ，∴ ，∴j＝2m﹣1，∴a_2m+2＝2a_2m+1﹣a_2m﹣1（由（2）知对任意m成立），a₆＝2a₅﹣a₃，事实上：a₆＝2a₅﹣a₂矛盾．综上可得 ．

【难度】5