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2022年高考天津卷（回忆版）数学真题

题号	一	二	三	四	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、单选题

1.设全集 ，集合 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

2. “ 为整数”是“ 为整数”的（       ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不允分也不必要条件

3.函数 的图象为（       ）
A．
B．
C．
D．

4. 、 是双曲线 的两个焦点，抛物线 的准线 过双曲线的焦点 ，准线与渐近线交于点 ， ，则双曲线的标准方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

5.已知 ，关于该函数有下面四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的值域为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数有（       ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

6.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为_____________.

7.化简 ____________

8.如图是两个直三棱柱重叠后的图形，重叠后的底面为正方形，两个直三棱柱底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为_______________.

9.已知 是虚数单位，化简 的结果为_______．

10. 的展开式中的常数项为______.

11.若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则 的值为_____．

12.已知函数 ，若 至少有 个零点，则 的取值范围是______.

评卷人 得分

三、双空题

13.现有 张扑克牌（去掉大小王）；每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为____________；在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率是____________

14.在 中， ， 用 表示 则 ___________，若 ，求 的最大值为____________

评卷人 得分

四、解答题

15.在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知 .
(1)求 的大小；
(2)求 的值；
(3)求 的值.

16.直三棱柱 中， ， ， 为 中点， 为 中点， 为 中点．

(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 夹角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．

17.已知 是等差数列，其前n项和为 ； 是等比数列， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)求 ．

18.已知椭圆 的上顶点为 ，右顶点为 ，右焦点为 ， ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)已知直线 与椭圆有唯一公共点 ，直线 交 轴于点 （异于 ），若 ，且 的面积为 ，求椭圆的标准方程．

19.已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若曲线 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．

参考答案

1.D

【解析】
先求出 ，再根据交集的定义可求 .
，故 ，
故选：D.

2.A

【解析】
依据充分不必要条件的定义去判定“ 为整数”与“ 为整数”的逻辑关系即可.
由题意，若 为整数，则 为整数，故充分性成立；
当 时， 为整数，但 不为整数，故必要性不成立；
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
故选：A.

3.A

【解析】
分析函数 的定义域、奇偶性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
函数 的定义域为 ， ，
则函数 为奇函数，排除CD选项；
当 时， ，排除B选项.
故选：A.

4.C

【解析】
由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.

5.A

【解析】
根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为 ， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到，④不正确．
故选：A．

6. ##

【解析】
利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
因为 ，故 .
故答案为： .

7.2

【解析】
根据对数的性质可求代数式的值.
原式
，
故答案为：2.

8.27

【解析】
作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，
因为 ，所以 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 ,
在直棱柱 中， 平面BHC，则 ,
由 可得 平面 ，
设重叠后的EG与 交点为

则
则该几何体的体积为 .
故答案为：27.

9. ##

【解析】
根据复数代数形式的运算法则即可解出．
．
故答案为： ．

10.

【解析】
由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入即可得解.
由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .

11.

【解析】
计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，即可解得 的值.
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .

12.

【解析】
设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ，求出 的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合可求得实数 的取值范围.
设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：

此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：

由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .

13.         

【解析】
由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则 .
故答案为： ； .

14.         

【解析】
法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由 可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 与 相切时， 最大，即求出．
方法一：

， ，
，当且仅当 时取等号，而 ，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：

， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．

15.(1)
(2)
(3)

【解析】
（1）根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得： ．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以 ．
（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以 ， ，而 ，所以 ，故 ．

16.(1)证明见解析
(2)
(3)

【解析】
（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线 与平面 夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值.
（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，则 ，易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ， 平面 ，故 平面 .
（2）解： ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ， .因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）解： ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，则 ，因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .

17.(1)
(2)证明见解析
(3)

【解析】
（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，再结合错位相减法可得解.
（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，由 可得 （ 舍去），所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，而 显然成立，所以 ；
（3）因为 ，所以 ，设 所以 ，则 ，作差得 ，所以 ，所以 .

18.(1)
(2)

【解析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，由 可得出 ，求出点 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得 的值，即可得出椭圆的方程.
（1）解： ，离心率为 .
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为 ，易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，联立 得 ，由 ，① ， ，由 可得 ，②由 可得 ，③联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．

19.(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析

【解析】
（1）求出 可求切线方程；
（2）（i）当 时，曲线 和 有公共点即为 在 上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求 .
（ii）曲线 和 有公共点即 ，利用点到直线的距离得到 ，利用导数可证 ，从而可得不等式成立.
（1） ，故 ，而 ，曲线 在点 处的切线方程为 即 .
（2）（i）当 时， 因为曲线 和 有公共点，故 有解，设 ，故 ，故 在 上有解，设 ，故 在 上有零点，而 ，若 ，则 恒成立，此时 在 上无零点，若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数，而 ， ，故 在 上无零点，故 ，设 ，则 ，故 在 上为增函数，而 ， ，故 在 上存在唯一零点 ，且 时， ； 时， ；故 时， ； 时， ；所以 在 上为减函数，在 上为增函数，故 ，因为 在 上有零点，故 ，故 ，而 ，故 即 ，设 ，则 ，故 在 上为增函数，而 ，故 .（ii）因为曲线 和 有公共点，所以 有解 ，其中 ，若 ，则 ，该式不成立，故 .故 ，考虑直线 ， 表示原点与直线 上的动点 之间的距离，故 ，所以 ，下证：对任意 ，总有 ，证明：当 时，有 ，故 成立.当 时，即证 ，设 ，则 （不恒为零），故 在 上为减函数，故 即 成立.综上， 成立.下证：当 时， 恒成立， ，则 ，故 在 上为增函数，故 即 恒成立.下证： 在 上恒成立，即证： ，即证： ，即证： ，而 ，故 成立.故 ，即 成立.