绝密·启用前

2023年高考全国乙卷数学(理)真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、单选题

1.设 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

2.设集合 ，集合 ， ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（       ）
   
A．24
B．26
C．28
D．30

4.已知 是偶函数，则 （       ）
A．
B．
C．1
D．2

5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（       ）
A．
B．
C．
D．

6.已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（       ）
A．30种
B．60种
C．120种
D．240种

8.已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， ，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（       ）
A．
B．
C．
D．

9.已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（       ）
A．
B．
C．
D．

10.已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则 （       ）
A．－1
B．
C．0
D．

11.设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（       ）
A．
B．
C．
D．

12.已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（       ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为______.

14.若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______.

15.已知 为等比数列， ， ，则 ______.

16.设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是______.

评卷人 得分

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ， ．试验结果如下：

试验序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

18.在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.

19.如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
   
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.

20.已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．

21.已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.

22.在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ： （ 为参数， ）.
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)若直线 既与 没有公共点，也与 没有公共点，求 的取值范围.

23.已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)在直角坐标系 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.

参考答案

1.B

【解析】
由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
由题意可得 ，
则 .
故选：B.

2.A

【解析】
由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.

3.D

【解析】
由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.
如图所示，在长方体 中， ， ，
点 为所在棱上靠近点 的三等分点， 为所在棱的中点，
则三视图所对应的几何体为长方体 去掉长方体 之后所得的几何体，
   
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，
其表面积为： .
故选：D.

4.D

【解析】
根据偶函数的定义运算求解.
因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.

5.C

【解析】
根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
因为区域 表示以 圆心，外圆半径 ，内圆半径 的圆环，
则直线 的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ，
结合对称性可得所求概率 .
故选：C.
       

6.D

【解析】
根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.

7.C

【解析】
相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.

8.B

【解析】
根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
在 中， ，而 ，取 中点 ，连接 ，有 ，如图，

， ，由 的面积为 ，得 ，
解得 ，于是 ，
所以圆锥的体积 .
故选：B

9.C

【解析】
根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
取 的中点 ，连接 ，因为 是等腰直角三角形，且 为斜边，则有 ，
又 是等边三角形，则 ，从而 为二面角 的平面角，即 ，
      
显然 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
因此平面 平面 ，显然平面 平面 ，
直线 平面 ，则直线 在平面 内的射影为直线 ，
从而 为直线 与平面 所成的角，令 ，则 ，在 中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 是锐角， ，
所以直线 与平面 所成的角的正切为 .
故选：C

10.B

【解析】
根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又 ，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B

11.D

【解析】
根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.

12.A

【解析】
由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或 然后结合三角函数的性质即可确定 的最大值.
如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
   
当点 位于直线 异侧时，设 ，
则：





，则
当 时， 有最大值 .
   
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：





，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.

13.

【解析】
由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 ，最后利用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .

14.8

【解析】
作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
作出可行域如下图所示：
，移项得 ，
联立有 ，解得 ，
设 ，显然平移直线 使其经过点 ，此时截距 最小，则 最大，
代入得 ，
故答案为：8.
   

15.

【解析】
根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最后得 .
设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .

16.

【解析】
原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数 的取值范围.
由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .

17.(1) ， ；
(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】
（1）直接利用平均数公式即可计算出 ，再得到所有的 值，最后计算出方差即可；
（2）根据公式计算出 的值，和 比较大小即可.
（1） ，
，
，
的值分别为: ，
故
（2）由（1）知: ， ，故有 ,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.(1) ；
(2) .

【解析】
(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得 ，最后由同角三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
（1）由余弦定理可得：

，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .

19.(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) .

【解析】
（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，所以由 求出 点坐标，再求出平面 与平面BEF的法向量 ，由 即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
（1）连接 ，设 ，则 ， ， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
   
于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，

设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，

设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面BEF；
   
（3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ，
由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，
即有 ，又 ，即有 ，
，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，
从而 ， ，
在 中， ，
于是 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
      
法二：平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故二面角 的正弦值为 .

20.(1)
(2)证明见详解

【解析】
（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）设直线 的方程，进而可求点 的坐标，结合韦达定理验证 为定值即可.
（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，
则

，
所以线段 的中点是定点 .
   

21.(1) ；
(2)存在 满足题意，理由见解析.
(3) .

【解析】
(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 ，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 ， 和 三中情况即可求得实数 的取值范围.
（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，

当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故 ，即 (取等条件为 )，
所以 ，
，且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以


，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .

22.(1)
(2)

【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意 的取值范围；
（2）根据曲线 的方程，结合图形通过平移直线 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
（1）因为 ，即 ，可得 ，
整理得 ，表示以 为圆心，半径为1的圆，
又因为 ，
且 ，则 ，则 ，
故 .
（2）因为 （ 为参数， ），
整理得 ，表示圆心为 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线 过 ，则 ，解得 ；
若直线 ，即 与 相切，则 ，解得 ，
若直线 与 均没有公共点，则 或 ，
即实数 的取值范围 .
   

23.(1) ；
(2)8.

【解析】
（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
（1）依题意， ，
不等式 化为： 或 或 ，
解 ，得无解；解 ，得 ，解 ，得 ，因此 ，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影 ，
   
由 ，解得 ，由 , 解得 ，又 ，
所以 的面积 .