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2021年全国高考乙卷数学（文）试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.设 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

3.已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和
B． 和2
C． 和
D． 和2

5.若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A．18
B．10
C．6
D．4

6. （ ）
A．
B．
C．
D．

7.在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8.下列函数中最小值为4的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10.在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．

11.设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

12.设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.已知向量 ，若 ，则 _________．

14.双曲线 的右焦点到直线 的距离为________．

15.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________．

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

评卷人 得分

三、解答题

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ．

（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．

19.设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．

20.已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.

21.已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．

22.在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1．
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

23.已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．

参考答案

1.A

【解析】
首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
由题意可得： ，则 .
故选：A.

2.C

【解析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
由题意可得： .
故选：C.

3.A

【解析】
由正弦函数的有界性确定命题 的真假性，由指数函数的知识确定命题 的真假性，由此确定正确选项.
由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．

4.C

【解析】
利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
由题， ，所以 的最小正周期为 ，最大值为 .
故选：C．

5.C

【解析】
由题意作出可行域，变换目标函数为 ，数形结合即可得解.
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .
故选：C.

6.D

【解析】
由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解.
由题意，
.
故选：D.

7.B

【解析】
根据几何概型的概率公式即可求出.
设 “区间 随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为 ，
“取到的数小于 ”， 对应集合为： ，区间长度为 ，
所以 ．
故选：B．

8.C

【解析】
根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出 不符合题意， 符合题意．
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符合题意．
故选：C．

9.B

【解析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B

10.D

【解析】
平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.

如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D

11.A

【解析】
设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．

12.D

【解析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：

由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：

由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D

13.

【解析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .

14.

【解析】
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：

15.

【解析】
由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .

16.③④（答案不唯一）

【解析】
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .
故答案为：③④.

17.（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【解析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

18.（1）证明见解析；（2） ．

【解析】
（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ；
（2）由（1）可知， ，由平面知识可知， ，由相似比可求出 ，再根据四棱锥 的体积公式即可求出．
（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，
从而 ，设 ， ，
则 ，即 ，解得 ，所以 ．
因为 底面 ，
故四棱锥 的体积为 ．

19.（1） ， ；（2）证明见解析.

【解析】
利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
(点晴)
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.

20.（1） ；（2）最大值为 .

【解析】
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设 ，由平面向量的知识可得 ，进而可得 ，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .

21.(1)答案见解析；(2) 和 .

【解析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 ， 上
单调递增，在 上单调递减.
(2)由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
切线方程为： ,
与 联立得 ，
化简得 ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是 的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得 ,
，
综上，曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 .

22.（1） ，（ 为参数）；（2） 或 .

【解析】
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以 的参数方程为 ，（ 为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于1可得 ，
解得 ，所以切线方程为 或 ，
将 ， 代入化简得
或
(点晴)
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

23.（1） .（2） .

【解析】
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围.
（1）当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或 ，
所以 的解集为 .

（2）依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号， ,
故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .