【334319】2021年天津高考数学试卷

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密·启用前

2021年天津高考数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.设集合 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不允分也不必要条件

3.函数 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分数据，将所得 个评分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间 内的影视作品数量是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

7.若 ，则 （ ）
A．
B．
C．1
D．

8.已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

9.设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 是虚数单位，复数 _____________．

11.在 的展开式中， 的系数是__________．

12.若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．

13.若 ，则 的最小值为____________．

14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．

15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．

16.在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．

17.如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．

18.已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．

19.已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明

20.已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．

参考答案

1.C

【解析】
根据交集并集的定义即可求出.
，
， .
故选：C.

2.A

【解析】
由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.

3.B

【解析】
由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.

4.D

【解析】
利用频率分布直方图可计算出评分在区间 内的影视作品数量.
由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量为 .
故选：D.

5.D

【解析】
根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
， ，
， ，
， ，
.
故选：D.

6.B

【解析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，

设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，
所以， ， ，
，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.

7.C

【解析】
由已知表示出 ，再由换底公式可求.
， ，
.
故选：C.

8.A

【解析】
设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 ，再由双曲线离心率公式即可得解.
设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.

9.A

【解析】
由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .

10.

【解析】
利用复数的除法化简可得结果.
.
故答案为： .

11.160

【解析】
求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.

12.

【解析】
设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，求出 ，利用勾股定理可求得 .
设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .

13.

【解析】
两次利用基本不等式即可求出.
，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .

14.         

【解析】
根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 .
故答案为： ； .

15.     1    

【解析】
设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即可求出最值.
设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，

，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .

16.（I） ；（II） ；（III）

【解析】
（I）由正弦定理可得 ，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .

17.（I）证明见解析；（II） ；（III） .

【解析】
（I）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的一个法向量 ，证明 ，即可得证；
（II）求出 ，由 运算即可得解；
（III）求得平面 的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的平方关系即可得解.
（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .

18.（1） ；（2） .

【解析】
（1）求出 的值，结合 的值可得出 的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点 ，分析出直线 的方程为 ，求出点 的坐标，根据 可得出 ，求出 、 的值，即可得出直线 的方程.
（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .

在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .

19.（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】
（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .

20.（I） ；（II）证明见解析；（III）

【解析】
（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用导数求出 的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，即 ，利用导数即可求出 的最小值.
（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：

所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .