…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密·启用前
2021年天津高考数学试卷
题号 |
一 |
二 |
三 |
四 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
|
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、选择题 |
1.设集合
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知
，则“
”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不允分也不必要条件
3.函数
的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取
部，统计其评分数据，将所得
个评分数据分为
组：
、
、
、
，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间
内的影视作品数量是（
）
A．
B．
C．
D．
5.设
，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥的高之比为
，则这两个圆锥的体积之和为（
）
A．
B．
C．
D．
7.若
，则
（
）
A．
B．
C．1
D．
8.已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若
．则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
9.设
，函数
，若
在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
|
二、填空题 |
10.
是虚数单位，复数
_____________．
11.在
的展开式中，
的系数是__________．
12.若斜率为
的直线与
轴交于点
，与圆
相切于点
，则
____________．
13.若
，则
的最小值为____________．
|
三、双空题 |
14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
和
，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，
且交AB于点E．
且交AC于点F,则
的值为____________；
的最小值为____________．
|
四、解答题 |
16.在
，角
所对的边分别为
，已知
，
．
（I）求a的值；
（II）求
的值；
（III）求
的值．
17.如图，在棱长为2的正方体
中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．
（III）求二面角
的正弦值．
18.已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，离心率为
，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线
与椭圆有唯一的公共点
，与
轴的正半轴交于点
，过
与
垂直的直线交
轴于点
．若
，求直线
的方程．
19.已知
是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
是公比大于0的等比数列，
．
（I）求
和
的通项公式；
（II）记
，
（i）证明
是等比数列；
（ii）证明
20.已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b的取值范围．
参考答案
1.C
【解析】
根据交集并集的定义即可求出.
，
，
.
故选：C.
2.A
【解析】
由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
由题意，若
，则
，故充分性成立；
若
，则
或
，推不出
，故必要性不成立；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
3.B
【解析】
由函数为偶函数可排除AC，再由当
时，
，排除D，即可得解.
设
，则函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，所以函数
为偶函数，排除AC；
当
时，
，所以
，排除D.
故选：B.
4.D
【解析】
利用频率分布直方图可计算出评分在区间
内的影视作品数量.
由频率分布直方图可知，评分在区间
内的影视作品数量为
.
故选：D.
5.D
【解析】
根据指数函数和对数函数的性质求出
的范围即可求解.
，
，
，
，
，
，
.
故选：D.
6.B
【解析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点
，
设圆锥
和圆锥
的高之比为
，即
，
设球的半径为
，则
，可得
，所以，
，
所以，
，
，
，则
，所以，
，
又因为
，所以，
，
所以，
，
，
因此，这两个圆锥的体积之和为
.
故选：B.
7.C
【解析】
由已知表示出
，再由换底公式可求.
，
，
.
故选：C.
8.A
【解析】
设公共焦点为
，进而可得准线为
，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得
，再由双曲线离心率公式即可得解.
设双曲线
与抛物线
的公共焦点为
，
则抛物线
的准线为
，
令
，则
，解得
，所以
,
又因为双曲线的渐近线方程为
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以双曲线的离心率
.
故选：A.
9.A
【解析】
由
最多有2个根，可得
至少有4个根，分别讨论当
和
时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
最多有2个根，所以
至少有4个根，
由
可得
，
由
可得
，
（1）
时，当
时，
有4个零点，即
；
当
，
有5个零点，即
；
当
，
有6个零点，即
；
（2）当
时，
，
，
当
时，
，
无零点；
当
时，
，
有1个零点；
当
时，令
，则
，此时
有2个零点；
所以若
时，
有1个零点.
综上，要使
在区间
内恰有6个零点，则应满足
或
或
，
则可解得a的取值范围是
.
10.
【解析】
利用复数的除法化简可得结果.
.
故答案为：
.
11.160
【解析】
求出二项式的展开式通项，令
的指数为6即可求出.
的展开式的通项为
，
令
，解得
，
所以
的系数是
.
故答案为：160.
12.
【解析】
设直线
的方程为
，则点
，利用直线
与圆
相切求出
的值，求出
，利用勾股定理可求得
.
设直线
的方程为
，则点
，
由于直线
与圆
相切，且圆心为
，半径为
，
则
，解得
或
，所以
，
因为
，故
.
故答案为：
.
13.
【解析】
两次利用基本不等式即可求出.
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
14.
【解析】
根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
由题可得一次活动中，甲获胜的概率为
；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为
.
故答案为：
；
.
15.
1
【解析】
设
，由
可求出；将
化为关于
的关系式即可求出最值.
设
，
，
为边长为1的等边三角形，
，
，
，
为边长为
的等边三角形，
，
，
，
，
所以当
时，
的最小值为
.
故答案为：1；
.
16.（I）
；（II）
；（III）
【解析】
（I）由正弦定理可得
，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出
的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
（I）因为
，由正弦定理可得
，
，
；
（II）由余弦定理可得
；
（III）
，
，
，
，
所以
.
17.（I）证明见解析；（II）
；（III）
.
【解析】
（I）建立空间直角坐标系，求出
及平面
的一个法向量
，证明
，即可得证；
（II）求出
，由
运算即可得解；
（III）求得平面
的一个法向量
，由
结合同角三角函数的平方关系即可得解.
（I）以
为原点，
分别为
轴，建立如图空间直角坐标系，
则
,
,
,
,
,
,
，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以
，
，
所以
,
,
,
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
因为
，所以
，
因为
平面
，所以
平面
；
（II）由（1）得，
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
；
（III）由正方体的特征可得，平面
的一个法向量为
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
18.（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求出
的值，结合
的值可得出
的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点
，分析出直线
的方程为
，求出点
的坐标，根据
可得出
，求出
、
的值，即可得出直线
的方程.
（1）易知点
、
，故
，
因为椭圆的离心率为
，故
，
，
因此，椭圆的方程为
；
（2）设点
为椭圆
上一点，
先证明直线
的方程为
，
联立
，消去
并整理得
，
，
因此，椭圆
在点
处的切线方程为
.
在直线
的方程中，令
，可得
，由题意可知
，即点
，
直线
的斜率为
，所以，直线
的方程为
，
在直线
的方程中，令
，可得
，即点
，
因为
，则
，即
，整理可得
，
所以，
，因为
，
，故
，
，
所以，直线
的方程为
，即
.
19.（I）
，
；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
（I）由等差数列的求和公式运算可得
的通项，由等比数列的通项公式运算可得
的通项公式；
（II）（i）运算可得
，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得
，进而可得
，结合错位相减法即可得证.
（I）因为
是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以
，所以
，
所以
；
设等比数列
的公比为
，
所以
，解得
（负值舍去），
所以
；
（II）（i）由题意，
，
所以
，
所以
，且
，
所以数列
是等比数列；
（ii）由题意知，
，
所以
，
所以
，
设
，
则
，
两式相减得
，
所以
，
所以
.
20.（I）
；（II）证明见解析；（III）
【解析】
（I）求出
在
处的导数，即切线斜率，求出
，即可求出切线方程；
（II）令
，可得
，则可化为证明
与
仅有一个交点，利用导数求出
的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令
，题目等价于存在
，使得
，即
，利用导数即可求出
的最小值.
（I）
，则
，
又
，则切线方程为
；
（II）令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
，当
时，
，画出
大致图像如下：
所以当
时，
与
仅有一个交点，令
，则
，且
，
当
时，
，则
，
单调递增，
当
时，
，则
，
单调递减，
为
的极大值点，故
存在唯一的极值点；
（III）由（II）知
，此时
，
所以
，
令
，
若存在a，使得
对任意
成立，等价于存在
，使得
，即
，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，故
，
所以实数b的取值范围
.
第