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153580-卷5 2024年普通高等学校春季招生考试(上海卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。

1．函数 的定义域为　　　　. 

2．直线 的倾斜角为　　　　. 

3．若复数 满足 =i(i为虚数单位),则 =　　　　. 

4．在 的二项展开式中 项的系数为　　　　. 

5．在△ 中,若 ,则 　　　　 　 

6．在等差数列 中 是数列 的前 项和,若 <0,则 的取值范围是　　　　. 

7．已知实数 满足 ,则 的最小值为　　　　. 

8．在△ 中 若以 为焦点,则过 点的双曲线的离心率 　　　　. 

9．已知 则 的解集为　　　　. 

10．在棱柱 中,底面 为平行四边形 ,且 · - · =5,则异面直线 与 的夹角为　　　　. 

11．已知正方形展区 的边长为 距 的距离都为 距 的距离都为 若有一个圆形通道经过 两点,且与 只有一个交点,则圆形通道的周长为　　　　km(π取 ,结果保留两位小数). 

12．已知 ,若实数 满足{a_i+a_j| <j≤4,i,j∈N}={b_i+b_j| <j≤4,i,j∈N},则有序数组 有　　　　个. 

二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。

13．已知 > ,则下列不等式恒成立的是（      ）

A． >  

B． >

C． >

D． >

14．空间中有两个不同的平面 ,两条不同的直线 ,则下列说法正确的是

若 ,则     

若 ,则

若 ∥ ∥ ∥ ,则 ∥     

若 ∥ ∥ ∥ ,则 ∥

15．有四个礼品盒,已知前三个礼品盒中分别只装了一支钢笔、一本书以及一个笔袋,第四个盒子中钢笔、书、笔袋都有 现随机抽取一个盒子,事件 为抽中的盒子里面有钢笔,事件 为抽中的盒子里面有书,事件 为抽中的盒子里面有笔袋 则下面正确的选项是（      ）

A． 与 互斥    　　　　B． 与 相互独立

C． 与 互斥  　　　　D． 与 独立

16．若函数 满足 ,则称函数 为延展函数

已知延展函数 和 ,满足当 时 给定以下两个命题:

①存在直线 与曲线 有无穷多个交点;

②存在直线 与曲线 有无穷多个交点

则正确的选项是

①是真命题,②是真命题    

①是假命题,②是假命题

①是真命题,②是假命题    

①是假命题,②是真命题

三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(14分)已知 >

(1)若 ,当 π 时,求 的值域;

(2)已知 > π ,且 的最小正周期为 π ,若 在 π 上有三个零点,求 的取值范围

18．(14分)如图 为圆锥的三条母线,且

(1)证明: ;

(2)若圆锥的侧面积为 π 为底面直径 ,求二面角 的大小

19．(14分)共有136箱水果,其中一级果102箱,二级果34箱

(1)从中随机挑出两箱水果,求一级果、二级果各一箱的概率;

(2)用按比例分配的分层随机抽样方法,从上述136箱水果中抽出8箱水果,求一级果、二级果各几箱;

(3)抽出若干箱水果,其中,一级果120个,单果的平均质量为 克,方差为 ;二级果48个,单果的平均质量为 克,方差为 ,求168个水果质量的平均数与方差,并预估果园中水果的单果质量(结果保留两位小数).

20．(18分)在平面直角坐标系 中,已知点 为椭圆 : + =1上一点 分别为椭圆的左、右焦点

(1)若点 的横坐标为2,求| |的值

(2)设 的上、下顶点分别为 ,记△ 的面积为 ,△ 的面积为 ,若 ,求| |的取值范围

(3)若点 在 轴上方,设直线 与 交于点 ,与 轴交于点 的延长线与 交于点 ,在 轴下方是否存在点 ,使得 + + =λ( + + )(λ∈R)成立?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由

21．(18分)对于定义在R上的函数 ,记集合M(a)=M_a={t|t=f(x)-f(a),x≥a},L(a)=L_a={t|t=f(x)-f(a),x≤a}.

(1)若 ,求 和 ;

(2)若 ,求证:对任意 ,都有 ,且存在 ,使得 ;

(3)已知定义在R上的函数 有最小值,证明:“ 是偶函数”的充要条件为“对任意 ,都有 ”

参考答案

一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。

1. (0,+∞)

∵ ,∴ >0,故函数 的定义域为

2.

直线方程 可化为 ,则直线的斜率 ,则倾斜角

3.

∵ ,∴ ,∴

4. 15

展开式的通项为 ,…,6,令 ,得 ,即 项的系数为

5.

在△ 中,由正弦定理得 = ,即 = ,∴ = =

6. (-∞,-4)

由等差数列的前 项和公式得 <0,解得 <-4,故 的取值范围是

7. 12

由基本不等式得 =12| |,∵ ,∴ ,当且仅当 且 ,即 或 时取等号(易错:注意验证是否能取到等号),故 的最小值为

8. 3

因为双曲线以 为焦点,且 ,所以焦距 ,即 因为双曲线过点 ,且 > ,所以由双曲线的定义知 ,所以 ,故双曲线的离心率 =

9. (-∞,1]

由题意知

①当 时 可化为 ,即 ,解得 ,所以 ;

②当 <0时 可化为 ,即 ,因为 <0,所以不等式恒成立,所以 <

综上所述 的解集为

10. arccos

=( · - · )+ ·( - ).

∵底面 是平行四边形,∴ = , = ,

∴ · - · =0,∴ · - · = ·( - )= · =| || |cos< , >

∵ ,∴cos< , >= ,故< , >

11.

以 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 取线段 的中点为 ,则 设圆形通道所在圆的圆心为 ,显然圆心 在线段 的垂直平分线上 又直线 的斜率 ,则线段 的垂直平分线 的斜率 ,所以 的方程为 ,即

因为圆 与 只有一个公共点,所以圆 与 相切,设圆 的半径为 km ,则圆心 因为| | ,所以 ,即 ,解得 >1.2(舍去)或 ,

故圆形通道的周长 π

12. 48

∵ ,∴{a_i+a_j| <j≤4,i,j∈N}={6,10,12,18,20,24}.不妨设 < < < ,则必有 < < < < 和 < < < < ,所以b₁+b₂=6,b₁+b₃=10,b₂+b₄=20,b₃+b₄=24(提示:判断出 的确定值,对未知项进行讨论).

①若 ,则 ;

②若 ,则

综上,有序数组 共有2 =48个

二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。

13. B

对于A,若 > ,则 > ,即| |>| |,故A错误;

对于B,∵ > ,∴ > ,故B正确;

对于 ,∵ > ,∴ >0,但 与 的符号不确定,则 与 的大小关系不确定,故C错误;

对于D,若 ,则 ,故D错误 故选

14. A

对于A,若 ,则 ∥ 或 ,又 ,则 ,故A正确;

对于B,若 ,则 ∥ 或 ,又 ,则 与 斜交、垂直、平行等均有可能,故B错误;

对于C,若 ∥ ∥ ,则 ∥ 或 ,又 ∥ ,则 与 相交、平行、异面均有可能,故C错误;

对于D,若 ∥ ∥ ,则 ∥ 或 ,又 ∥ ,则 ∥ 或 ,故D错误 故选

15. B

对于A,事件 和事件 可以同时发生,即抽中的是第四个礼盒,礼盒中既有钢笔,又有书,则 与 不互斥,故A错误;

对于B,由题知     ,则 ,则事件 与 相互独立,故B正确;

对于C,若抽中的是第四个礼盒,则事件 与事件 同时发生,故C错误;

对于D,由题知   ,则   ,则 与 不独立,故D错误 故选

16. D

因为 为延展函数,所以 ,所以当 时 因为当 时 ,所以当 时 ,当 时 ,…,当 时 ,所以 是以1为周期的周期函数,值域为 同理,因为 为延展函数,所以当 时 因为当 时 ,所以当 时 ,当 时 ,…,当 时 ! ,当 时 !,当 时

对于①:如图1,直线 与曲线 有有限个交点,故①为假命题;

图1

对于②:如图2,存在直线 ! ,即 ! !,此时直线 与函数 在(9,10)上的图像重合,所以有无穷个交点,故②为真命题 故选

图2

三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （1）    （2）

(1)若 ,则 ,当 π 时 ∈ ,

所以sin ∈ ,

所以函数 在 π 上的值域为

(2)由题意知 的最小正周期 π ,所以 ,则

当 时 π ,所以 + ,

因为 在 π 上有三个零点,所以 ,

所以- + <- + ,

即 < ,即 的取值范围为

18. （1）见解析    （）π

(1)【证明】如图,取 的中点 ,连接 因为 ,所以      2分

又因为 平面 平面 ,且 ,

所以 平面      4分

因为 平面 ,所以      5分

(2)【解】由(1)及题意知 两两垂直,如图,以 为坐标原点建立空间直角坐标系 因为圆锥的侧面积为 π 为底面直径 ,所以底面半径为1,母线长为 ,所以 =      7分

则P(0,0, ),B(1,0,0),A(0,1,0),C(-1,0,0),所以 =(0,1,- ), =(1,0,- ), =(-1,0,- ).     8分

设平面 的法向量为 ,则 即 令 ,则平面 的一个法向量为n=( , ,1).     10分

设平面 的法向量为 ,则 即 令 ,则平面 的一个法向量为m=(- , ,1).     12分

因为cos< >= = = ,     13分

由图可知二面角 为钝角,

所以二面角 的大小为 π

19. （1）          （2）6   2     （）     1     克

(1)设事件 为恰好选到一级果、二级果各一箱,

则 = ,

所以一级果、二级果各一箱的概率为

(2)一级果箱数与二级果箱数之比为102∶34=3∶1,所以一级果抽取8× =6(箱),二级果抽取8× =2(箱).

(3)由题知一级果的单果平均质量 克,二级果单果的平均质量 克,

则168个水果质量的平均数 = ×(120 +48 )=      8分

一级果单果质量的方差 ,二级果单果质量的方差 ,

所以168个水果质量的方差 = [ +( - )²]+ [ +( - )²]≈ ,

预估单果质量为 = =287.69(克).

所以这168个水果质量的平均数约为 ,方差约为1 ,预估单果质量为 克

20. （1）     （2）      （3）存在，

(1)由题意可得

∵点 在椭圆 + =1上,且点 的横坐标为2,

∴ + =1,解得 ± ,

即点 的坐标为 ,

故| |= =

(2)由题意可知M₁(0, ),M₂(0,- ).设 ,

则 | |·| |=2| | | |·| |= | |

∵ ,∴2| |≥ | |,即

又∵ + =1 ,∴ ,

∴ ,解得

∵点 在椭圆上且不为椭圆的顶点,

∴0< <2,∴ <

∵| |= = = , <2,

∴ < ≤ ,

即| |的取值范围是

(3)假设存在满足题意的点 ,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(y₁> > <0).

∵ 与 关于 轴对称,

∴ 与 关于 轴对称,∴ ,

∴ , , ,

则 + + ,

同理可得 + + ,

∵ + + 与 + + 平行,

∴ ,

整理得 ,解得

设直线 的方程为x=my+2(m<0),与椭圆方程 + =1联立得 + =1,整理可得 ,

>0,

则 又 ,则 由 ,解得 将 代入 + =1,解得 ,

所以在 轴下方存在点 ,使得 + + =λ( + + )成立      18分

21. （）          （2）见解析    （3）见解析

(1)【解】由题可得 ,所以 ,则 ,当 时 ,则 ,

则

当 时 ,则

(2)【证明】M(a)=M_a={t|t=f(x)-f(a),x≥a}={t|t=x³-3x²-(a³-3a²),x≥a},

设 ,则 ,

解 ,得 或

当 变化时 与 的变化如表:

	(-∞,0)	0	(0,2)	2	(2,+∞)
	正	0	负	0	正
	↗	极大值	↘	极小值	↗

①当 时 在 上单调递增,当 时 ,则 ,此时

②当0< <2时 在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,当 时 ,

此时

∵0< <2,∴ >-4,

则

③当 时 在(-∞,0)上单调递增,(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,

当 时

设 ,由以上对 的分析知 在(-∞,0]上单调递增,

则 ,

∴ ,则

当 时 ,即存在 ,使得

综上可得,∀ ,且存在 ,使得

(3)【证明】必要性:

由题知M_-c={t|t=f(x)-f(-c),x≥-c},L_c={t|t=f(x)-f(c),x≤c}.

∵ 是偶函数,

∴ 在 和 上的值域相等

当 时 ∵ ,∴ ,必要性成立

充分性:

若对于任意正实数 ,均有 ,其中M_-c={t|t=f(x)-f(-c),x≥-c},L_c={t|t=f(x)-f(c),x≤c}.

∵ 有最小值,∴不妨设

若 ,由于 任意,令 | |,则 ,

∴ 的最小元素为 的最小元素为

又∵ ,∴ 对任意 | |恒成立

当 | |时 | |,同理可得 对任意 | |恒成立,则

当c∈(-| |,| |)时 的最小元素为f(| |)-f(-c),

的最小元素为f(-| |)-f(c),∵M_-c=L_c,f(| |)=f(-| |),∴

同理,若 ,则 对任意 恒成立

综上,对任意 ,即 是偶函数,充分性成立

故“ 是偶函数”的充要条件为“对任意 ,都有 ”