【334340】2024年普通高等学校春季招生数学考试上海卷
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学校:
姓名: 班级:
考号:
……………○……………内……………○……………装……………○……………订……………○……………线……………○………………
绝密★启用前
153580-卷5 2024年普通高等学校春季招生考试(上海卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。
1.函数
的定义域为 .
2.直线
的倾斜角为 .
3.若复数
满足
=i(i为虚数单位),则
= .
4.在
的二项展开式中
项的系数为 .
5.在△
中,若
,则
6.在等差数列
中
是数列
的前
项和,若
<0,则
的取值范围是 .
7.已知实数
满足
,则
的最小值为 .
8.在△
中
若以
为焦点,则过
点的双曲线的离心率
.
9.已知
则
的解集为 .
10.在棱柱
中,底面
为平行四边形
,且
·
-
·
=5,则异面直线
与
的夹角为 .
11.已知正方形展区
的边长为
距
的距离都为
距
的距离都为
若有一个圆形通道经过
两点,且与
只有一个交点,则圆形通道的周长为 km(π取
,结果保留两位小数).
12.已知
,若实数
满足{ai+aj|
<j≤4,i,j∈N}={bi+bj|
<j≤4,i,j∈N},则有序数组
有 个.
二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。
13.已知
>
,则下列不等式恒成立的是( )
A.
>
B.
>
C.
>
D.
>
14.空间中有两个不同的平面
,两条不同的直线
,则下列说法正确的是
若
,则
若
,则
若
∥
∥
∥
,则
∥
若
∥
∥
∥
,则
∥
15.有四个礼品盒,已知前三个礼品盒中分别只装了一支钢笔、一本书以及一个笔袋,第四个盒子中钢笔、书、笔袋都有
现随机抽取一个盒子,事件
为抽中的盒子里面有钢笔,事件
为抽中的盒子里面有书,事件
为抽中的盒子里面有笔袋
则下面正确的选项是( )
A.
与
互斥 B.
与
相互独立
C.
与
互斥 D.
与
独立
16.若函数
满足
,则称函数
为延展函数
已知延展函数
和
,满足当
时
给定以下两个命题:
①存在直线
与曲线
有无穷多个交点;
②存在直线
与曲线
有无穷多个交点
则正确的选项是
①是真命题,②是真命题
①是假命题,②是假命题
①是真命题,②是假命题
①是假命题,②是真命题
三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(14分)已知
>
(1)若
,当
π
时,求
的值域;
(2)已知
>
π
,且
的最小正周期为 π
,若
在 π
上有三个零点,求
的取值范围
18.(14分)如图
为圆锥的三条母线,且
(1)证明:
;
(2)若圆锥的侧面积为
π
为底面直径
,求二面角
的大小
19.(14分)共有136箱水果,其中一级果102箱,二级果34箱
(1)从中随机挑出两箱水果,求一级果、二级果各一箱的概率;
(2)用按比例分配的分层随机抽样方法,从上述136箱水果中抽出8箱水果,求一级果、二级果各几箱;
(3)抽出若干箱水果,其中,一级果120个,单果的平均质量为
克,方差为
;二级果48个,单果的平均质量为
克,方差为
,求168个水果质量的平均数与方差,并预估果园中水果的单果质量(结果保留两位小数).
20.(18分)在平面直角坐标系
中,已知点
为椭圆
:
+
=1上一点
分别为椭圆的左、右焦点
(1)若点
的横坐标为2,求|
|的值
(2)设
的上、下顶点分别为
,记△
的面积为
,△
的面积为
,若
,求|
|的取值范围
(3)若点
在
轴上方,设直线
与
交于点
,与
轴交于点
的延长线与
交于点
,在
轴下方是否存在点
,使得
+
+
=λ(
+
+
)(λ∈R)成立?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由
21.(18分)对于定义在R上的函数
,记集合M(a)=Ma={t|t=f(x)-f(a),x≥a},L(a)=La={t|t=f(x)-f(a),x≤a}.
(1)若
,求
和
;
(2)若
,求证:对任意
,都有
,且存在
,使得
;
(3)已知定义在R上的函数
有最小值,证明:“
是偶函数”的充要条件为“对任意
,都有
”
参考答案
一、填空题:本题共12小题,第1~6题每小题4分,第7~12题每小题5分,共54分。
1. (0,+∞)
∵
,∴
>0,故函数
的定义域为
2.
直线方程
可化为
,则直线的斜率
,则倾斜角
3.
∵
,∴
,∴
4. 15
展开式的通项为
,…,6,令
,得
,即
项的系数为
5.
在△
中,由正弦定理得
=
,即
=
,∴
=
=
6. (-∞,-4)
由等差数列的前
项和公式得
<0,解得
<-4,故
的取值范围是
7. 12
由基本不等式得
=12|
|,∵
,∴
,当且仅当
且
,即
或
时取等号(易错:注意验证是否能取到等号),故
的最小值为
8. 3
因为双曲线以
为焦点,且
,所以焦距
,即
因为双曲线过点
,且
>
,所以由双曲线的定义知
,所以
,故双曲线的离心率
=
9. (-∞,1]
由题意知
①当
时
可化为
,即
,解得
,所以
;
②当
<0时
可化为
,即
,因为
<0,所以不等式恒成立,所以
<
综上所述
的解集为
10.
arccos
=(
·
-
·
)+
·(
-
).
∵底面
是平行四边形,∴
=
,
=
,
∴
·
-
·
=0,∴
·
-
·
=
·(
-
)=
·
=|
||
|cos<
,
>
∵
,∴cos<
,
>=
,故<
,
>
11.
以
为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则
取线段
的中点为
,则
设圆形通道所在圆的圆心为
,显然圆心
在线段
的垂直平分线上
又直线
的斜率
,则线段
的垂直平分线
的斜率
,所以
的方程为
,即
因为圆
与
只有一个公共点,所以圆
与
相切,设圆
的半径为
km
,则圆心
因为|
|
,所以
,即
,解得
>1.2(舍去)或
,
故圆形通道的周长
π
12. 48
∵
,∴{ai+aj|
<j≤4,i,j∈N}={6,10,12,18,20,24}.不妨设
<
<
<
,则必有
<
<
<
<
和
<
<
<
<
,所以b1+b2=6,b1+b3=10,b2+b4=20,b3+b4=24(提示:判断出
的确定值,对未知项进行讨论).
①若
,则
;
②若
,则
综上,有序数组
共有2
=48个
二、选择题:本题共4小题,第13~14题每小题4分,第15~16题每小题5分,共18分。
13. B
对于A,若
>
,则
>
,即|
|>|
|,故A错误;
对于B,∵
>
,∴
>
,故B正确;
对于
,∵
>
,∴
>0,但
与
的符号不确定,则
与
的大小关系不确定,故C错误;
对于D,若
,则
,故D错误
故选
14. A
对于A,若
,则
∥
或
,又
,则
,故A正确;
对于B,若
,则
∥
或
,又
,则
与
斜交、垂直、平行等均有可能,故B错误;
对于C,若
∥
∥
,则
∥
或
,又
∥
,则
与
相交、平行、异面均有可能,故C错误;
对于D,若
∥
∥
,则
∥
或
,又
∥
,则
∥
或
,故D错误
故选
15. B
对于A,事件
和事件
可以同时发生,即抽中的是第四个礼盒,礼盒中既有钢笔,又有书,则
与
不互斥,故A错误;
对于B,由题知
,则
,则事件
与
相互独立,故B正确;
对于C,若抽中的是第四个礼盒,则事件
与事件
同时发生,故C错误;
对于D,由题知
,则
,则
与
不独立,故D错误
故选
16. D
因为
为延展函数,所以
,所以当
时
因为当
时
,所以当
时
,当
时
,…,当
时
,所以
是以1为周期的周期函数,值域为
同理,因为
为延展函数,所以当
时
因为当
时
,所以当
时
,当
时
,…,当
时
!
,当
时
!,当
时
对于①:如图1,直线
与曲线
有有限个交点,故①为假命题;
图1
对于②:如图2,存在直线
!
,即
!
!,此时直线
与函数
在(9,10)上的图像重合,所以有无穷个交点,故②为真命题
故选
图2
三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
(1)
(2)
(1)若
,则
,当
π
时
∈
,
所以sin
∈
,
所以函数
在
π
上的值域为
(2)由题意知
的最小正周期
π
,所以
,则
当
时
π
,所以
+
,
因为
在
π
上有三个零点,所以
,
所以-
+
<-
+
,
即
<
,即
的取值范围为
18.
(1)见解析
()π
(1)【证明】如图,取
的中点
,连接
因为
,所以
2分
又因为
平面
平面
,且
,
所以
平面
4分
因为
平面
,所以
5分
(2)【解】由(1)及题意知
两两垂直,如图,以
为坐标原点建立空间直角坐标系
因为圆锥的侧面积为
π
为底面直径
,所以底面半径为1,母线长为
,所以
=
7分
则P(0,0,
),B(1,0,0),A(0,1,0),C(-1,0,0),所以
=(0,1,-
),
=(1,0,-
),
=(-1,0,-
).
8分
设平面
的法向量为
,则
即
令
,则平面
的一个法向量为n=(
,
,1).
10分
设平面
的法向量为
,则
即
令
,则平面
的一个法向量为m=(-
,
,1).
12分
因为cos<
>=
=
=
,
13分
由图可知二面角
为钝角,
所以二面角
的大小为
π
19.
(1)
(2)6 2
()
1
克
(1)设事件
为恰好选到一级果、二级果各一箱,
则
=
,
所以一级果、二级果各一箱的概率为
(2)一级果箱数与二级果箱数之比为102∶34=3∶1,所以一级果抽取8×
=6(箱),二级果抽取8×
=2(箱).
(3)由题知一级果的单果平均质量
克,二级果单果的平均质量
克,
则168个水果质量的平均数
=
×(120
+48
)=
8分
一级果单果质量的方差
,二级果单果质量的方差
,
所以168个水果质量的方差
=
[
+(
-
)2]+
[
+(
-
)2]≈
,
预估单果质量为
=
=287.69(克).
所以这168个水果质量的平均数约为
,方差约为1
,预估单果质量为
克
20.
(1)
(2)
(3)存在,
(1)由题意可得
∵点
在椭圆
+
=1上,且点
的横坐标为2,
∴
+
=1,解得
±
,
即点
的坐标为
,
故|
|=
=
(2)由题意可知M1(0,
),M2(0,-
).设
,
则
|
|·|
|=2|
|
|
|·|
|=
|
|
∵
,∴2|
|≥
|
|,即
又∵
+
=1
,∴
,
∴
,解得
∵点
在椭圆上且不为椭圆的顶点,
∴0<
<2,∴
<
∵|
|=
=
=
,
<2,
∴
<
≤
,
即|
|的取值范围是
(3)假设存在满足题意的点
,设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>
>
<0).
∵
与
关于
轴对称,
∴
与
关于
轴对称,∴
,
∴
,
,
,
则
+
+
,
同理可得
+
+
,
∵
+
+
与
+
+
平行,
∴
,
整理得
,解得
设直线
的方程为x=my+2(m<0),与椭圆方程
+
=1联立得
+
=1,整理可得
,
>0,
则
又
,则
由
,解得
将
代入
+
=1,解得
,
所以在
轴下方存在点
,使得
+
+
=λ(
+
+
)成立
18分
21.
()
(2)见解析
(3)见解析
(1)【解】由题可得
,所以
,则
,当
时
,则
,
则
当
时
,则
(2)【证明】M(a)=Ma={t|t=f(x)-f(a),x≥a}={t|t=x3-3x2-(a3-3a2),x≥a},
设
,则
,
解
,得
或
当
变化时
与
的变化如表:
|
(-∞,0) |
0 |
(0,2) |
2 |
(2,+∞) |
|
正 |
0 |
负 |
0 |
正 |
|
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
①当
时
在
上单调递增,当
时
,则
,此时
②当0<
<2时
在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,当
时
,
此时
∵0<
<2,∴
>-4,
则
③当
时
在(-∞,0)上单调递增,(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
当
时
设
,由以上对
的分析知
在(-∞,0]上单调递增,
则
,
∴
,则
当
时
,即存在
,使得
综上可得,∀
,且存在
,使得
(3)【证明】必要性:
由题知M-c={t|t=f(x)-f(-c),x≥-c},Lc={t|t=f(x)-f(c),x≤c}.
∵
是偶函数,
∴
在
和
上的值域相等
当
时
∵
,∴
,必要性成立
充分性:
若对于任意正实数
,均有
,其中M-c={t|t=f(x)-f(-c),x≥-c},Lc={t|t=f(x)-f(c),x≤c}.
∵
有最小值,∴不妨设
若
,由于
任意,令
|
|,则
,
∴
的最小元素为
的最小元素为
又∵
,∴
对任意
|
|恒成立
当
|
|时
|
|,同理可得
对任意
|
|恒成立,则
当c∈(-|
|,|
|)时
的最小元素为f(|
|)-f(-c),
的最小元素为f(-|
|)-f(c),∵M-c=Lc,f(|
|)=f(-|
|),∴
同理,若
,则
对任意
恒成立
综上,对任意
,即
是偶函数,充分性成立
故“
是偶函数”的充要条件为“对任意
,都有
”
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