【334346】2024年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学

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153724-2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学-网络收集版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合 ， ， 则 （      ）

A． B． C． D．

2．设 ， 则“ ”是“ ”的（      ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．下列图中，相关性系数最大的是（      ）

A． B．

C． D．

4．下列函数是偶函数的是（      ）

A． B． C． D．

5．若 ，， ，则 ，， 的大小关系为（      ）

A． B． C． D．

6．若 为两条不同的直线 ， 为一个平面，则下列结论中正确的是（      ）

A．若 ， ， 则 B．若 ， 则

C．若 ， 则 D．若 ， 则 与 相交

7．已知函数 π 的最小正周期为 π ．则函数在 ππ 的最小值是（      ）

A． B． C．0D．

8．双曲线 ， 的左、右焦点分别为 、 是双曲线右支上一点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（      ）

A． B． C． D．

9．一个五面体 ．已知 ， 且两两之间距离为1．并已知 ，， ．则该五面体的体积为（      ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10．已知 是虚数单位，复数       ．

11．在 的展开式中，常数项为      ．

12． 的圆心与抛物线 的焦点 重合 ， 为两曲线的交点，则原点到直线 的距离为      ．

13．有 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加 甲选到 的概率为　　　　;(2)已知乙选了 活动,他再选择 活动的概率为　　　　

14．在边长为3的正方形 中， 为线段 的三等分点， ，则           ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为          .

15．若函数 有唯一零点，则 的取值范围为      ．

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．在 中 ，，， ．

(1)求 ；

(2)求 ；

(3)求 ．

17．已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面 ， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．

(1)求证 平面 ；

(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；

(3)求点 到平面 的距离．

18．已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ， 下顶点为 ， 是线段 的中点，其中 ．

(1)求椭圆方程．

(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ， ．在 轴上是否存在点 使得 恒成立．若存在求出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

19．已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．

(1)求数列 前 项和 ；

(2)设 ， ， 其中 是大于1的正整数．

（ⅰ）当 时，求证： ；

（ⅱ）求 ．

20．设函数 ．

(1)求 图象上点 处的切线方程；

(2)若 在 时恒成立，求 的值；

(3)若 ，证明 ．

参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. B

因为集合 ， ，

所以 ，

故选：B

2. C

根据立方的性质和指数函数的性质 ， 和 都当且仅当 ， 所以二者互为充要条件.

故选：C.

3. A

观察4幅图可知 ， 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关 ， 值相比于其他3图更接近1.

故选：A

4. B

对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故A错误；

对B，设 ，函数定义域为 ，

且 ，则 为偶函数，故B正确；

对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；

对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，

则 ，则 不是偶函数，故D错误.

故选：B.

5. B

因为 在 上递增，且 ，

所以 ，

所以 ，即 ，

因为 在 上递增，且 ，

所以 ，即 ，

所以 ，

故选：B

6. C

对于A，若 ， ， 则 平行或异面，故A错误.

对于B，若 ， 则 平行或异面或相交，故B错误.

对于 ，， 过 作平面 ， 使得 ，

因为 ， 故 ， 而 ， 故 ， 故 ， 故C正确.

对于D，若 ， 则 与 相交或异面，故D错误.

故选：C.

7. A

ππ， 由 ππ 得 ，

即 ， 当 ππ 时 ，ππ，

画出 图象，如下图，

由图可知 ， 在 ππ 上递减，

所以，当 π 时 ，π

故选：A

8. C

如下图：由题可知，点 必落在第四象限 ，， 设 ，

， 由 ， 求得 ，

因为 ， 所以 ， 求得 ， 即 ，

， 由正弦定理可得： ，

则由 得 ，

由 得 ，

则 ，

由双曲线第一定义可得： ， ，

所以双曲线的方程为 .

故选：C

9. C

用一个完全相同的五面体 （顶点与五面体 一一对应）与该五面体相嵌，使得 ； ; 重合，

因为 ， 且两两之间距离为1． ，

则形成的新组合体为一个三棱柱，

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为 ，

.

故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.

.

故答案为： .

11. 20

因为 的展开式的通项为 ，

令 ，可得 ，

所以常数项为 .

12. /

圆 的圆心为 ， 故 即 ，

由 可得 ， 故 或 （舍），

故 ， 故直线 即 或 ，

故原点到直线 的距离为 ，

故答案为：

13. 　

命题点：组合、条件概率的计算

甲从五种活动中选三个,全部的情况有 种,选到 的情况有 种,∴甲选到 的概率为 设乙选到 的概率为 ,乙选到 的概率为 ,则 ,∴P(B|A)=

14. ；

因为 为线段 的三等分点，所以 ，

因为 ，则 ，

由题意可知： ，

因为 为线段 上的动点，设 ，

则 ，

又因为 为 中点，则 ，

可得

因为 ，可知：当 时， 取到最小值为 .

故答案为： ； .

15.

令 ， 即 ，

由题可得 ，

当 时 ，， 有 ， 则 ， 不符合要求，舍去；

当 时，则 ，

即函数 与函数 有唯一交点，

由 ， 可得 或 ，

当 时，则 ， 则 ，

即 ， 整理得 ，

当 时，即 ， 即 ，

当 ， 或 （正值舍去），

当 时 ， 或 ， 有两解，舍去，

即当 时 ， 在 时有唯一解，

则当 时 ， 在 时需无解，

当 ， 且 时，

由函数 关于 对称，令 ， 可得 或 ，

且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，

令 ， 即 ，

故 时 ， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，

由 的渐近线方程为 ，

即 部分的渐近线方程为 ， 其斜率为 ，

又 ， 即 在 时的斜率 ，

令 ， 可得 或 （舍去），

且函数 在 上单调递增，

故有 ， 解得 ， 故 符合要求；

当 时，则 ，

即函数 与函数 有唯一交点，

由 ， 可得 或 ，

当 时，则 ， 则 ，

即 ， 整理得 ，

当 时，即 ， 即 ，

当 ， （负值舍去）或 ，

当 时 ， 或 ， 有两解，舍去，

即当 时 ， 在 时有唯一解，

则当 时 ， 在 时需无解，

当 ， 且 时，

由函数 关于 对称，令 ， 可得 或 ，

且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，

同理可得： 时 ， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，

部分的渐近线方程为 ， 其斜率为 ，

又 ， 即 在 时的斜率 ，

令 ， 可得 或 （舍去），

且函数 在 上单调递减，

故有 ， 解得 ， 故 符合要求；

综上所述 ， .

故答案为： .

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. (1) (2) (3)

（1）设 ， ， 则根据余弦定理得 ，

即 ， 解得 （负舍）；

则 .

（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，

再根据正弦定理得 ， 即 ， 解得 ，

法二：由余弦定理得 ，

因为 π， 则

（3）法一：因为 ， 且 π， 所以 π，

由（2）法一知 ，

因为 ， 则 ， 所以 ，

则 ，

.

法二： ，

则 ，

因为 为三角形内角，所以 ，

所以

17. (1)证明见解析(2) (3)

（1）取 中点 ，连接 ， ，

由 是 的中点，故 ，且 ，

由 是 的中点，故 ，且 ，

则有 、 ，

故四边形 是平行四边形，故 ，

又 平面 ， 平面 ，

故 平面 ；

（2）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有 、 、 、 、 、 ，

则有 、 、 ，

设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，

则有 ， ，

分别取 ，则有 、 、 ， ，

即 、 ，

则 ，

故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；

（3）由 ，平面 的法向量为 ，

则有 ，

即点 到平面 的距离为 .

18. (1) (2)存在 ， 使得 恒成立.

（1）因为椭圆的离心率为 ， 故 ， ， 其中 为半焦距，

所以 ， 故 ，

故 ， 所以 ， ， 故椭圆方程为： .

（2）

若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，

设 ，

由 可得 ，

故 且

而 ，

故

，

因为 恒成立，故 ， 解得 .

若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，

此时需 ， 两者结合可得 .

综上，存在 ， 使得 恒成立.

19. (1) (2)①证明见详解；②

（1）设等比数列 的公比为 ，

因为 ， 即 ，

可得 ， 整理得 ， 解得 或 （舍去），

所以 .

（）（） 由（1）可知 ， 且 ，

当 时，则 ， 即

可知 ，

，

可得 ，

当且仅当 时，等号成立，

所以 ；

（） 由（1）可知： ，

若 ， 则 ；

若 ， 则 ，

当 时 ，， 可知 为等差数列，

可得 ，

所以 ，

且 ， 符合上式，综上所述： .

20. (1) (2)2 (3)证明过程见解析

（1）由于 ，故 .

所以 ， ，所以所求的切线经过 ，且斜率为 ，故其方程为 .

（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 .

所以 在 上递减，在 上递增，这就说明 ，即 ，且等号成立当且仅当 .

设 ，则

.

当 时， 的取值范围是 ，所以命题等价于对任意 ，都有 .

一方面，若对任意 ，都有 ，则对 有

，

取 ，得 ，故 .

再取 ，得 ，所以 .

另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件.

综合以上两个方面，知 的值是2.

（3）先证明一个结论：对 ，有 .

证明：前面已经证明不等式 ，故 ，

且 ，

所以 ，即 .

由 ，可知当 时 ，当 时 .

所以 在 上递减，在 上递增.

不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明该题结论.

情况一：当 时，有 ，结论成立；

情况二：当 时，有 .

对任意的 ，设 ，则 .

由于 单调递增，且有

，

且当 ， 时，由 可知

.

所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时 .

故 在 上单调递减，在 上单调递增.

①当 时，有 ；

②当 时，由于 ，故我们可以取 .

从而当 时，由 ，可得

.

再根据 在 上递减，即知对 都有 ；

综合①②可知对任意 ，都有 ，即 .

根据 和 的任意性，取 ， ，就得到 .

所以 .

情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，可得 ， .

而根据 的单调性，知 或 .

故一定有 成立.

综上，结论成立.