…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密·启用前
2022年全国高考甲卷数学(文)试卷
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
|
一、单选题 |
1.设集合
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.若
.则
( )
A.
B.
C.
D.
4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为( )
A.8
B.12
C.16
D.20
5.将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.函数
在区间
的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8.当
时,函数
取得最大值
,则
( )
A.
B.
C.
D.1
9.在长方体
中,已知
与平面
和平面
所成的角均为
,则( )
A.
B.AB与平面
所成的角为
C.
D.
与平面
所成的角为
10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为
,侧面积分别为
和
,体积分别为
和
.若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
11.已知椭圆
的离心率为
,
分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若
,则C的方程为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知
,则( )
A.
B.
C.
D.
|
二、填空题 |
13.已知向量
.若
,则
______________.
14.设点M在直线
上,点
和
均在
上,则
的方程为______________.
15.记双曲线
的离心率为e,写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值______________.
16.已知
中,点D在边BC上,
.当
取得最小值时,
________.
|
三、解答题 |
17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:
|
准点班次数 |
未准点班次数 |
A |
240 |
20 |
B |
210 |
30 |
(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
附:
,
|
0.100 |
0.050 |
0.010 |
|
2.706 |
3.841 |
6.635 |
18.记
为数列
的前n项和.已知
.
(1)证明:
是等差数列;
(2)若
成等比数列,求
的最小值.
19.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面
是边长为8(单位:
)的正方形,
均为正三角形,且它们所在的平面都与平面
垂直.
(1)证明:
平面
;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
20.已知函数
,曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线.
(1)若
,求a;
(2)求a的取值范围.
21.设抛物线
的焦点为F,点
,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,
.
(1)求C的方程;
(2)设直线
与C的另一个交点分别为A,B,记直线
的倾斜角分别为
.当
取得最大值时,求直线AB的方程.
22.在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(t为参数),曲线
的参数方程为
(s为参数).
(1)写出
的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,求
与
交点的直角坐标,及
与
交点的直角坐标.
23.已知a,b,c均为正数,且
,证明:
(1)
;
(2)若
,则
.
参考答案
1.A
【解析】
根据集合的交集运算即可解出.
因为
,
,所以
.
故选:A.
2.B
【解析】
由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差的概念,逐项判断即可得解.
讲座前中位数为
,所以
错;
讲座后问卷答题的正确率只有一个是
个
,剩下全部大于等于
,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
,所以B对;
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错;
讲座后问卷答题的正确率的极差为
,
讲座前问卷答题的正确率的极差为
,所以
错.
故选:B.
3.D
【解析】
根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.
因为
,所以
,所以
.
故选:D.
4.B
【解析】
由三视图还原几何体,再由棱柱的体积公式即可得解.
由三视图还原几何体,如图,
则该直四棱柱的体积
.
故选:B.
5.C
【解析】
先由平移求出曲线
的解析式,再结合对称性得
,即可求出
的最小值.
由题意知:曲线
为
,又
关于
轴对称,则
,
解得
,又
,故当
时,
的最小值为
.
故选:C.
6.C
【解析】
先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4的倍数的情况,由古典概型求概率即可.
从6张卡片中无放回抽取2张,共有
15种情况,
其中数字之积为4的倍数的有
6种情况,故概率为
.
故选:C.
7.A
【解析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
令
,
则
,
所以
为奇函数,排除BD;
又当
时,
,所以
,排除C.
故选:A.
8.B
【解析】
根据题意可知
,
即可解得
,再根据
即可解出.
因为函数
定义域为
,所以依题可知,
,
,而
,所以
,即
,所以
,因此函数
在
上递增,在
上递减,
时取最大值,满足题意,即有
.
故选:B.
9.D
【解析】
根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.
如图所示:
不妨设
,依题以及长方体的结构特征可知,
与平面
所成角为
,
与平面
所成角为
,所以
,即
,
,解得
.
对于A,
,
,
,A错误;
对于B,过
作
于
,易知
平面
,所以
与平面
所成角为
,因为
,所以
,B错误;
对于C,
,
,
,C错误;
对于D,
与平面
所成角为
,
,而
,所以
.D正确.
故选:D.
10.C
【解析】
设母线长为
,甲圆锥底面半径为
,乙圆锥底面圆半径为
,根据圆锥的侧面积公式可得
,再结合圆心角之和可将
分别用
表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥的高,再根据圆锥的体积公式即可得解.
解:设母线长为
,甲圆锥底面半径为
,乙圆锥底面圆半径为
,
则
,
所以
,
又
,
则
,
所以
,
所以甲圆锥的高
,
乙圆锥的高
,
所以
.
故选:C.
11.B
【解析】
根据离心率及
,解得关于
的等量关系式,即可得解.
解:因为离心率
,解得
,
,
分别为C的左右顶点,则
,
B为上顶点,所以
.
所以
,因为
所以
,将
代入,解得
,
故椭圆的方程为
.
故选:B.
12.A
【解析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
,再利用基本不等式,换底公式可得
,
,然后由指数函数的单调性即可解出.
由
可得
,而
,所以
,即
,所以
.
又
,所以
,即
,
所以
.综上,
.
故选:A.
13.
##
【解析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
由题意知:
,解得
.
故答案为:
.
14.
【解析】
设出点M的坐标,利用
和
均在
上,求得圆心及半径,即可得圆的方程.
解:∵点M在直线
上,
∴设点M为
,又因为点
和
均在
上,
∴点M到两点的距离相等且为半径R,
∴
,
,解得
,
∴
,
,
的方程为
.
故答案为:
15.2(满足
皆可)
【解析】
根据题干信息,只需双曲线渐近线
中
即可求得满足要求的e值.
解:
,所以C的渐近线方程为
,
结合渐近线的特点,只需
,即
,
可满足条件“直线
与C无公共点”
所以
,
又因为
,所以
,
故答案为:2(满足
皆可)
16.
##
【解析】
设
,利用余弦定理表示出
后,结合基本不等式即可得解.
设
,
则在
中,
,
在
中,
,
所以
,
当且仅当
即
时,等号成立,
所以当
取最小值时,
.
故答案为:
.
17.(1)A,B两家公司长途客车准点的概率分别为
,
(2)有
【解析】
(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;
(2)根据表格中数据及公式计算
,再利用临界值表比较即可得结论.
(1)
根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,
设A家公司长途客车准点事件为M,
则
;
B共有班次240次,准点班次有210次,
设B家公司长途客车准点事件为N,
则
.
A家公司长途客车准点的概率为
;
B家公司长途客车准点的概率为
.
(2)
列联表
|
准点班次数 |
未准点班次数 |
合计 |
A |
240 |
20 |
260 |
B |
210 |
30 |
240 |
合计 |
450 |
50 |
500 |
=
,
根据临界值表可知,有
的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
18.(1)证明见解析;
(2)
.
【解析】
(1)依题意可得
,根据
,作差即可得到
,从而得证;
(2)由(1)及等比中项的性质求出
,即可得到
的通项公式与前
项和,再根据二次函数的性质计算可得.
(1)
解:因为
,即
①,
当
时,
②,
①
②得,
,
即
,
即
,所以
,
且
,
所以
是以
为公差的等差数列.
(2)
解:由(1)可得
,
,
,
又
,
,
成等比数列,所以
,
即
,解得
,
所以
,所以
,
所以,当
或
时
.
19.(1)证明见解析;
(2)
.
【解析】
(1)分别取
的中点
,连接
,由平面知识可知
,
,依题从而可证
平面
,
平面
,根据线面垂直的性质定理可知
,即可知四边形
为平行四边形,于是
,最后根据线面平行的判定定理即可证出;
(2)再分别取
中点
,由(1)知,该几何体的体积等于长方体
的体积加上四棱锥
体积的
倍,即可解出.
(1)
如图所示:
,
分别取
的中点
,连接
,因为
为全等的正三角形,所以
,
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
,同理可得
平面
,根据线面垂直的性质定理可知
,而
,所以四边形
为平行四边形,所以
,又
平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)
如图所示:
,
分别取
中点
,由(1)知,
且
,同理有,
,
,
,由平面知识可知,
,
,
,所以该几何体的体积等于长方体
的体积加上四棱锥
体积的
倍.
因为
,
,点
到平面
的距离即为点
到直线
的距离
,
,所以该几何体的体积
.
20.(1)3
(2)
【解析】
(1)先由
上的切点求出切线方程,设出
上的切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出
即可;
(2)设出
上的切点坐标,分别由
和
及切点表示出切线方程,由切线重合表示出
,构造函数,求导求出函数值域,即可求得
的取值范围.
(1)
由题意知,
,
,
,则
在点
处的切线方程为
,
即
,设该切线与
切于点
,
,则
,解得
,则
,解得
;
(2)
,则
在点
处的切线方程为
,整理得
,
设该切线与
切于点
,
,则
,则切线方程为
,整理得
,
则
,整理得
,
令
,则
,令
,解得
或
,
令
,解得
或
,则
变化时,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
则
的值域为
,故
的取值范围为
.
21.(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)由抛物线的定义可得
,即可得解;
(2)设点的坐标及直线
,由韦达定理及斜率公式可得
,再由差角的正切公式及基本不等式可得
,设直线
,结合韦达定理可解.
(1)
抛物线的准线为
,当
与x轴垂直时,点M的横坐标为p,
此时
,所以
,
所以抛物线C的方程为
;
(2)
设
,直线
,
由
可得
,
,
由斜率公式可得
,
,
直线
,代入抛物线方程可得
,
,所以
,同理可得
,
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为
,
所以
,
若要使
最大,则
,
设
,则
,
当且仅当
即
时,等号成立,
所以当
最大时,
,设直线
,
代入抛物线方程可得
,
,所以
,
所以直线
.
22.(1)
;
(2)
的交点坐标为
,
,
的交点坐标为
,
.
【解析】
(1)消去
,即可得到
的普通方程;
(2)将曲线
的方程化成普通方程,联立求解即解出.
(1)
因为
,
,所以
,即
的普通方程为
.
(2)
因为
,所以
,即
的普通方程为
,
由
,即
的普通方程为
.
联立
,解得:
或
,即交点坐标为
,
;
联立
,解得:
或
,即交点坐标为
,
.
23.(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)根据
,利用柯西不等式即可得证;
(2)由(1)结合已知可得
,即可得到
,再根据权方和不等式即可得证.
(1)
证明:由柯西不等式有
,
所以
,
当且仅当
时,取等号,
所以
;
(2)
证明:因为
,
,
,
,由(1)得
,
即
,所以
,
由权方和不等式知
,
当且仅当
,即
,
时取等号,
所以
.
第