【334324】2022年全国高考甲卷数学文试卷

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密·启用前

2022年全国高考甲卷数学（文）试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.设集合 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（       ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若 ．则 （       ）
A．
B．
C．
D．

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）

A．8
B．12
C．16
D．20

5.将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（       ）
A．
B．
C．
D．

7.函数 在区间 的图象大致为（       ）
A．
B．
C．
D．

8.当 时，函数 取得最大值 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．1

9.在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（       ）
A．
B．AB与平面 所成的角为
C．
D． 与平面 所成的角为

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

11.已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

12.已知 ，则（       ）
A．
B．
C．
D．

13.已知向量 ．若 ，则 ______________．

14.设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________．

15.记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值______________．

16.已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， ________．

17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ，

18.记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．

19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．

(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

20.已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．

21.设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．

22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．

23.已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．

参考答案

1.A

【解析】
根据集合的交集运算即可解出．
因为 ， ，所以 ．
故选：A.

2.B

【解析】
由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.

3.D

【解析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.

4.B

【解析】
由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积 .
故选：B.

5.C

【解析】
先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则 ，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.

6.C

【解析】
先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
从6张卡片中无放回抽取2张，共有 15种情况，
其中数字之积为4的倍数的有 6种情况，故概率为 .
故选：C.

7.A

【解析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.

8.B

【解析】
根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.

9.D

【解析】
根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
如图所示：

不妨设 ，依题以及长方体的结构特征可知， 与平面 所成角为 ， 与平面 所成角为 ，所以 ，即 ， ，解得 ．
对于A， ， ， ，A错误；
对于B，过 作 于 ，易知 平面 ，所以 与平面 所成角为 ，因为 ，所以 ，B错误；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， 与平面 所成角为 ， ，而 ，所以 ．D正确．
故选：D．

10.C

【解析】
设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥的侧面积公式可得 ，再结合圆心角之和可将 分别用 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.

11.B

【解析】
根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.

12.A

【解析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
由 可得 ，而 ，所以 ，即 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 ．综上， ．
故选：A.

13. ##

【解析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
由题意知： ，解得 .
故答案为： .

14.

【解析】
设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
解：∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：

15.2（满足 皆可）

【解析】
根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）

16. ##

【解析】
设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .

17.(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为 ，
(2)有

【解析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算 ，再利用临界值表比较即可得结论.
(1)
根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则 ；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则 .
A家公司长途客车准点的概率为 ；
B家公司长途客车准点的概率为 .
(2)
列联表

= ，
根据临界值表可知，有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.

18.(1)证明见解析；
(2) ．

【解析】
（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的性质计算可得．
(1)
解：因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．

19.(1)证明见解析；
(2) ．

【解析】
（1）分别取 的中点 ，连接 ，由平面知识可知 ， ，依题从而可证 平面 ， 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，即可知四边形 为平行四边形，于是 ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取 中点 ，由（1）知，该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍，即可解出．
(1)
如图所示： ，
分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)
如图所示： ，
分别取 中点 ，由（1）知， 且 ，同理有， ， ， ，由平面知识可知， ， ， ，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍．
因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ， ，所以该几何体的体积 ．

20.(1)3
(2)

【解析】
（1）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出 即可；
（2）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得 的取值范围.
(1)
由题意知， ， ， ，则 在点 处的切线方程为 ，
即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则 ，解得 ；
(2)
，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：

则 的值域为 ，故 的取值范围为 .

21.(1) ；
(2) .

【解析】
（1）由抛物线的定义可得 ，即可得解；
（2）设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理可解.
(1)
抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
(2)
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .

22.(1) ；
(2) 的交点坐标为 ， ， 的交点坐标为 ， ．

【解析】
(1)消去 ，即可得到 的普通方程；
(2)将曲线 的方程化成普通方程，联立求解即解出．
(1)
因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为 ．
(2)
因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ．

23.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）根据 ，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证.
(1)
证明：由柯西不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
所以 ；
(2)
证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .