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湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.已知集合 ， ，且 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.函数 的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．

3.函数 的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.为了得到函数 的图象，只需要 将的图象（ ）
A．向上平移 个单位
B．向左平移 个单位
C．向下平移 个单位
D．向右平移 个单位

5.点 到直线 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.不等式 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D． 或

7.“x=1”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8.若 ， 则（ ）
A．
B．
C．
D．

9.设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则

10.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为（ ）

A．1000
B．40
C．27
D．20

评卷人 得分

二、填空题

11.已知 ，且 为第四象限角，则 ____________

12.已知向量 ， ，则 ___________

13. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）

14.过圆 的圆心且与直线 垂直的直线方程为___________

15.已知函数 为奇函数， .若 ，则 ____________

评卷人 得分

三、解答题

16.已知各项为正数的等比数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .

17.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用 表示取到的豆沙粽的个数，求 的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.

18.已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.

19.如图，四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 平面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明： 平面ACE；
（2）设 ， ，直线PB与平面ABCD所成的角为 ，求四棱锥 的体积.

20.已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 相交于 两点，求 的值.

21.如图，在 中， ，点D在BC边上，且 ， ，

（1）求AC的长；
（2）求 的值.

22.某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶

车辆型号	载客量（人/辆）	租金（元/辆）
A	60	3600
B	36	2400

学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值.

参考答案

1.A

【解析】
直接进行交集运算即可求解.
因为集合 ，
所以 ，
故选：A.

2.B

【解析】
根据对数函数的真数大于 即可求解.
由题意可得： ，解得： ，
所以函数 的定义域为 ，
故选：B.

3.C

【解析】
求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.
函数 的对称轴为 ，开口向上，
所以函数 的单调递减区间是 ，
故选：C.

4.B

【解析】
根据“左+右-”的平移规律判断选项.
根据平移规律可知， 只需向左平移 个单位得到 .
故选：B

5.D

【解析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
点 到直线 的距离为 ，
故选：D.

6.C

【解析】
根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.
由 可得： ，解得： ，
所以原不等式的解集为： ，
故选：C.

7.A

【解析】
将 代入 可判断充分性,求解方程 可判断必要性,即可得到结果.
将 代入 中可得 ,即“ ”是“ ”的充分条件；
由 可得 ,即 或 ,所以“ ”不是“ ”的必要条件,
故选:A

8.A

【解析】
根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.
A.根据不等式的性质可知，A正确；
B.若 ， ， ，可知B不正确；
C.若 ， ， ，故C不正确；
D. 若 ， ， ，故D不正确.
故选：A

9.D

【解析】
根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项.
对于A：若 ， ，则 或 ，故选项A不正确；
对于B：如图平面 为平面 ，平面 为平面 ，直线 为 ，直线 为 ，满足 ， ， ，但 与 相交，故选项B不正确；

对于C：如图在正方体 中，平面 为平面 ，平面 为平面 ，直线 为 ，直线 为 ，满足 ， ， ，则 ，故选项C不正确；

对于D：若 ， ，可得 或 ，若 ，因为 ，由面面垂直的判定定理可得 ；若 ，可过 作平面与 相交，则交线在平面 内，且交线与 平行，由 可得交线与 垂直，由面面垂直的判定定理可得 ，故选项D正确；
故选：D.

10.D

【解析】
根据高中生的总人数乘以抽样比 可得所抽的高中生人数，再由近视率为 即可求解.
由图（1）知高中生的总人数为 人，
所以应抽取的高中生为 人，
抽取的高中生中，近视人数约为 人，
故选：D

11.

【解析】
首先求 的值，再求 .
，且 为第四象限角，
，
.
故答案为：

12.

【解析】
利用向量模的坐标表示，即可求解.
，所以 .
故答案为：

13.15

【解析】
写出二项展开式的通项，由 的指数为0求得 值，则答案可求．
解：由 ．
取 ，得 ．
展开式中常数项为 ．
故答案为：15．

14.

【解析】
根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为 求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.
由 可得 ，
所以圆心为 ，
由 可得 ，所以直线 的斜率为 ，
所以与直线 垂直的直线的斜率为 ，
所以所求直线的方程为： ，即 ，
故答案为： .

15. .

【解析】
由 ， 得 ，由 为奇函数得 ，可求得 ，再利用 得到答案.
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 为奇函数，
所以 ，由 ，得 ，
因为 ，所以 .
故答案为：6.

16.（1） ；（2）

【解析】
（1）根据条件求出 即可；
（2） ，然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
（1） 且 ， ，

（2）

17.（1）分布列见解析；（2） .

【解析】
（1）首先求随机变量 ，再利用古典概型求概率；
（2）根据（1）的结果求概率.
（1）由条件可知 ，
， ， ，
所以 的分布列，如下表，

（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率 .

18.（1）答案见解析；（2）

【解析】
（1）根据指数函数的图象特点作出 的图象，再根据一次函数的特点作出 的图象即可；
（2）当 时，解不等式 ，当 ，解不等式 即可求解.
（1）函数 的图象如图所示：

（2） ，
当 时， ，可得： ，
当 ， ，可得： ，
所以 的解集为： ，
所以 的取值范围为 .

19.（1）证明见解析；（2） .

【解析】
(1) 连接 交 于点 ，连接 ，由三角形的中位线定理可知 ，结合线面平行的判定定理可证明 平面 .
(2)由题意可知 ，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.
（1）连接 交 于点 ，连接 . 在 中，因为 ，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）因为 平面ABCD，所以 就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以四棱锥 的体积 ，
所以四棱锥 的体积为 .

20.（1） ；（2） .

【解析】
（1）根据题意得 ， ，再结合 即可求得答案；
（2）联立直线、椭圆方程可得 两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.
（1）椭圆 经过点 ，所以 ，
因为离心率为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由 得 ，解得 ，
所以 ，或 ，
可得 ， ，或者 ， ，
所以 .

21.（1） （2）

【解析】
（1）由已知利用余弦定理直接求解．
（2）利用 ，结合两角差的正弦公式即可得解．
（1） ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
（2） ，所以 ，又由题意可得 ，

22.A型车和B型车分别为 和 辆时，租金最少，租金的最小值是 元.

【解析】
首先设A型车和B型车分别为 辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决.
设A型车和B型车分别为 辆，则租金为 ，依题意， 需满足 ，即 ,如图，作出可行域，
令 ，目标函数变形为 ，即 ，当直线平移至点 时，目标函数取得最小值，
，解得： ， ，此时 元.
所以A型车和B型车分别为 和 辆时，租金最少，租金的最小值是 元.