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2021年全国高考乙卷数学（理）试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.设 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.已知集合 ， ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

3.已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种
B．120种
C．240种
D．480种

7.把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

8.在区间 与 中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）

A． 表高
B． 表高
C． 表距
D． 表距

10.设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．

11.设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12.设 ， ， ．则（ ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦距为_________．

14.已知向量 ，若 ，则 __________．

15.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________．

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

评卷人 得分

三、解答题

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， 为 的中点，且 ．

（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．

19.记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．

20.设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．

21.已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．

22.在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1．
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

23.已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．

参考答案

1.C

【解析】
设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数 .
设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.

2.C

【解析】
分析可得 ，由此可得出结论.
任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.

3.A

【解析】
由正弦函数的有界性确定命题 的真假性，由指数函数的知识确定命题 的真假性，由此确定正确选项.
由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．

4.B

【解析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B

5.D

【解析】
平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.

如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D

6.C

【解析】
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案，
故选：C.

7.B

【解析】
解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达式.
解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.

8.B

【解析】
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为 ，设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，分别求出 对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
如图所示：
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为 ，其面积为 ．
设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，即图中的阴影部分，其面积为 ，所以 ．
故选：B.

9.A

【解析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
如图所示：

由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.

10.D

【解析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：

由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：

由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D

11.C

【解析】
设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．

12.B

【解析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当0＜x＜2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x＞0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b＜c;
综上， ,
故选：B.

13.4

【解析】
将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由关系式求得 ，即可求解.
由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中 ，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.

14.

【解析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．

15.

【解析】
由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .

16.③④（答案不唯一）

【解析】
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .
故答案为：③④.

17.（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【解析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

18.（1） ；（2）

【解析】
（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，由已知条件得出 ，求出 的值，即可得出 的长；
（2）求出平面 、 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
（1） 平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，

设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
（2）设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .

19.（1）证明见解析；（2） .

【解析】
（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得 ,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
（1）由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .

20.（1） ；（2）证明见详解

【解析】
（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ；
（2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证 ，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解
（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，假设 能取到，则 ，故 ；
当 时， ， 单增，假设 能取到，则 ，故 ；
综上所述， 在 恒成立

21.（1） ；（2） .

【解析】
（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
（1）抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .

22.（1） ，（ 为参数）；（2） 或 .

【解析】
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以 的参数方程为 ，（ 为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于1可得 ，
解得 ，所以切线方程为 或 ，
将 ， 代入化简得
或
(点晴)
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

23.（1） .（2） .

【解析】
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围.
（1）当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或 ，
所以 的解集为 .

（2）依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号， ,
故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .