【334281】2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅱ数学理
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ)数学理
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
(
)
A.
B.
C.
D.
解析:利用复数的除法的运算法则化简求解即可.
.
答案:D
2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A中元素的个数为( )
A.9
B.8
C.5
D.4
解析:分别令x=-1,0,1,进行求解即可.
当x=-1时,y2≤2,得y=-1,0,1;
当x=0时,y2≤3,得y=-1,0,1;
当x=1时,y2≤2,得y=-1,0,1;
即集合A中元素有9个.
答案:A
3.函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.
函数
,
则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A;
当x=1时,f(1)=e-
>0,排除D;
当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C.
答案:B
4.已知向量
,
满足|
|=1,
=-1,则
=(
)
A.4
B.3
C.2
D.0
解析:根据向量的数量积公式计算即可.
向量
,
满足|
|=1,
=-1,则
.
答案:B
5.双曲线
(a>0,b>0)的离心率为
,则其渐近线方程为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:根据双曲线离心率的定义求出a,c的关系,结合双曲线a,b,c的关系进行求解即可.
∵双曲线的离心率为
,
则
,
即双曲线的渐近线方程为
.
答案:A
6.在△ABC中,
,BC=1,AC=5,则AB=(
)
A.4
B.
C.
D.2
解析:利用二倍角公式求出C的余弦函数值,利用余弦定理转化求解即可.
在△ABC中,
,
,
BC=1,AC=5,
则
.
答案:A
7.为计算
,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入(
)
A.i=i+1
B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
解析:模拟程序框图的运行过程知,
该程序运行后输出的是
,
累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.
答案:B
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析:利用列举法先求出不超过30的所有素数,利用古典概型的概率公式进行计算即可.
在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,
从中选2个不同的数有
=45种,
和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,
则对应的概率
.
答案:C
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=
,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,
AA1=
,
∴A(1,0,0),D1(0,0,
),D(0,0,0),B1(1,1,
),
=(-1,0,
),
=(1,1,
),
设异面直线AD1与DB1所成角为θ,
则
,
∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
.
答案:C
10.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
解析:
,
由
,k∈Z,
得
,k∈Z,
取k=0,得f(x)的一个减区间为[
,
],
由f(x)在[-a,a]是减函数,
得
,∴a≤
.
则a的最大值是
.
答案:A
11.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50
B.0
C.2
D.50
解析:根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.
∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),
∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,
则f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
∵f(1)=2,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,
f(4)=f(0)=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)
=f(1)+f(2)=2+0=2.
答案:C
12.已知F1,F2是椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:求得直线AP的方程:根据题意求得P点坐标,代入直线方程,即可求得椭圆的离心率.
由题意可知:A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),
直线AP的方程为:y=
(x+a),
由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,
c),
代入直线AP:
,整理得:a=4c,
∴题意的离心率
.
答案:D
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
解析:欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
∵y=2ln(x+1),
∴y′=
,
当x=0时,y′=2,
∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
答案:y=2x
14.若x,y满足约束条件
,则z=x+y的最大值为
.
解析:由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
由x,y满足约束条件
作出可行域如图,
化目标函数z=x+y为y=-x+z,
由图可知,当直线y=-x+z过A时,z取得最大值,
由
,解得
,即A(5,4),
目标函数有最大值,为z=9.
答案:9
15.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= .
解析:把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=-1,可得结果.
sinα+cosβ=1,
两边平方可得:sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①,
cosα+sinβ=0,
两边平方可得:cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②,
由①+②得:2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,
∴2sin(α+β)=-1.
∴sin(α+β)=
.
答案:
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为
,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5
,则该圆锥的侧面积为
.
解析:利用已知条件求出圆锥的母线长,利用直线与平面所成角求解底面半径,然后求解圆锥的侧面积.
圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为
,可得
.
△SAB的面积为5
,
可得
,即
,即SA=4
.
SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为:
.
则该圆锥的侧面积:
.
答案:
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式.
解析:(1)根据a1=-7,S3=-15,可得a1=-7,3a1+3d=-15,求出等差数列{an}的公差,然后求出an即可.
答案:(1)∵等差数列{an}中,a1=-7,S3=-15,
∴a1=-7,3a1+3d=-15,解得a1=-7,d=2,
∴an=-7+2(n-1)=2n-9.
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解析:(2)由a1=-7,d=2,an=2n-9,得Sn=
(a1+an)=
(2n2-16n)=n2-8n=(n-4)2-16,由此可求出Sn以及Sn的最小值.
答案:(2)∵a1=-7,d=2,an=2n-9,
∴Sn=
(a1+an)=
(2n2-16n)=n2-8n=(n-4)2-16,
∴当n=4时,前n项的和Sn取得最小值为-16.
18.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:
=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.
解析:(1)根据模型①计算t=19时
的值,根据模型②计算t=9时
的值即可.
答案:(1)根据模型①:
=-30.4+13.5t,
计算t=19时,
=-30.4+13.5×19=226.1;
利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元;
根据模型②:
=99+17.5t,
计算t=9时,
=99+17.5×9=256.5;.
利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
解析:(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较,
即可得出模型②的预测值更可靠些.
答案:(2)模型②得到的预测值更可靠;
因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,
从2010年到2016年间递增的幅度较大些,
所以,利用模型②的预测值更可靠些.
19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程.
解析:(1)方法一:设直线AB的方程,代入抛物线方程,根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值,即可求得直线l的方程.
方法二:根据抛物线的焦点弦公式
,求得直线AB的倾斜角,即可求得直线l的斜率,求得直线l的方程.
答案:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;
设直线AB的方程为:y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
,整理得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=
,x1x2=1,
由|AB|=x1+x2+p=
+2=8,解得:k2=1,则k=1,
∴直线l的方程y=x-1.
方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式
,解得:sin2θ=
,
∵k>0,故sinθ=
∴θ=
,则直线的斜率k=1,
∴直线l的方程y=x-1.
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析:(2)根据过A,B分别向准线l作垂线,根据抛物线的定义即可求得半径,根据中点坐标公式,即可求得圆心,求得圆的方程.
答案:(2)过A,B分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=
(|AA1|+|BB1|),
由抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4,
以AB为直径的圆与x=-1相切,且该圆的圆心为AB的中点D,
由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4,
则D(3,2),
过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x-3)2+(y-2)2=16..
20.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC.
解析:(1)利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC,PO⊥OB即可.
答案:(1)证明:连接BO,
∵AB=BC=2
,O是AC的中点,
∴BO⊥AC,且BO=2,
又PA=PC=PB=AC=2,
∴PO⊥AC,PO=2
,
则PB2=PO2+BO2,
则PO⊥OB,
∵OB∩AC=O,
∴PO⊥平面ABC.
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
解析:(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量,利用向量法即可得到结论.
答案:(2)建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
A(0,-2,0),P(0,0,2
),C(0,2,0),B(2,0,0),
=(-2,2,0),
设
=(-2λ,2λ,0),0<λ<1,
则
=(-2λ,2λ,0)-(-2,-2,0)=(2-2λ,2λ+2,0),
则平面PAC的法向量为
=(1,0,0),
设平面MPA的法向量为
=(x,y,z),
则
=(0,-2,-2
),
则
,
,
令z=1,则y=
,x=
,
即
=(
,
,1),
∵二面角M-PA-C为30°,
∴
,
即
,
解得λ=
或λ=3(舍),
则平面MPA的法向量
=(2
,
,1),
=(0,2,-2
),
PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos<
,
>|
.
21.已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.
解析:(1)通过两次求导,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明.
答案:(1)证明:当a=1时,函数f(x)=ex-x2.
则f′(x)=ex-2x,
令g(x)=ex-2x,则g′(x)=ex-2,
令g′(x)=0,得x=ln2.
当x∈(0,ln2)时,g′(x)<0,当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)>0,
∴g(x)≥g(ln2)=eln2-2·ln2=2-2ln2>0,
∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1.
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
解析:(2)分离参数可得a=
在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=
的图象在(0,+∞)只有一个交点.结合图象即可求得a.
答案:(2)f(x)在(0,+∞)只有一个零点
方程ex-ax2=0在(0,+∞)只有一个根,
a=
在(0,+∞)只有一个根,
即函数y=a与G(x)=
的图象在(0,+∞)只有一个交点.
G′(x)=
,
当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0,
∴G(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,
当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞,
∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=
.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
,(θ为参数),直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程.
解析:(1)直接利用转换关系,把参数方程与直角坐标方程进行转化.
答案:(1)曲线C的参数方程为
(θ为参数),
转换为直角坐标方程为:
.
直线l的参数方程为
(t为参数).
转换为直角坐标方程为:sinαx-cosαy+2cosα-sinα=0.
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
解析:(2)利用直线和曲线的位置关系,在利用中点坐标求出结果.
答案:(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到:
,
整理得:(4cos2α+sin2α)t2+(8cosα+4sinα)t-8=0,
则:
,
由于(1,2)为中点坐标,
∴
=0,
则:8cosα+4sinα=0,
解得:tanα=-2,
即:直线l的斜率为-2.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.
解析:(1)去绝对值,化为分段函数,求出不等式的解集即可.
答案:(1)当a=1时,f(x)=5-|x+1|-|x-2|=
.
当x≤-1时,f(x)=2x+4≥0,解得-2≤x≤1,
当-1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即-1<x<2,
当x≥2时,f(x)=-2x+6≥0,解得2≤x≤3,
综上所述不等式f(x)≥0的解集为[-2,3].
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解析:(2)由题意可得|x+a|+|x-2|≥4,根据据绝对值的几何意义即可求出
答案:(2)∵f(x)≤1,
∴5-|x+a|-|x-2|≤1,
∴|x+a|+|x-2|≥4,
∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|≥|x+a+2-x|=|a+2|,
∴|a+2|≥4,
解得a≤-6或a≥2,
故a的取值范围(-∞,-6]∪[2,+∞).
- 1【334352】湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试卷
- 2【334353】江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试卷
- 3【334351】2024年上海市高考数学试卷
- 4【334350】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试上海卷
- 5【334349】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试全国新课标Ⅱ卷
- 6【334348】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试全国新课标Ⅰ卷
- 7【334347】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试北京卷
- 8【334346】2024年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学
- 9【334345】2024年普通高等学校招生全国统一考试天津卷
- 10【334344】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅱ卷
- 11【334341】2024年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学
- 12【334342】2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理
- 13【334343】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅰ卷
- 14【334340】2024年普通高等学校春季招生数学考试上海卷
- 15【334339】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
- 16【334338】2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
- 17【334337】2023年天津高考数学真题
- 18【334335】2023年高考全国乙卷数学文真题
- 19【334336】2023年上海市高考数学试卷
- 20【334334】2023年高考全国乙卷数学理真题
- 【334333】2023年高考全国甲卷数学文真题
- 【334332】2023年高考全国甲卷数学理真题
- 【334330】2022年浙江省高考数学试卷
- 【334331】2023年北京高考数学真题
- 【334329】2022年上海市高考数学试卷
- 【334328】2022年全国新高考I卷数学试卷
- 【334326】2022年全国高考乙卷数学文试卷
- 【334327】2022年全国新高考II卷数学试卷
- 【334325】2022年全国高考乙卷数学理试卷
- 【334323】2022年全国高考甲卷数学理试卷
- 【334324】2022年全国高考甲卷数学文试卷
- 【334322】2022年高考天津卷回忆版数学真题
- 【334321】2022年北京市高考数学试卷
- 【334320】2021年浙江省高考数学试卷
- 【334319】2021年天津高考数学试卷
- 【334318】2021年上海市高考数学试卷
- 【334317】2021年山东省春季高考数学真题
- 【334316】2021年全国新高考II卷数学试卷
- 【334315】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试卷
- 【334314】2021年全国高考乙卷数学文试卷