2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ)数学理

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. ( )

A.

B.

C.

D.

解析：利用复数的除法的运算法则化简求解即可.

.

答案：D

2.已知集合A={(x，y)|x²+y²≤3，x∈Z，y∈Z)，则A中元素的个数为( )

A.9

B.8

C.5

D.4

解析：分别令x=-1，0，1，进行求解即可.

当x=-1时，y²≤2，得y=-1，0，1；

当x=0时，y²≤3，得y=-1，0，1；

当x=1时，y²≤2，得y=-1，0，1；

即集合A中元素有9个.

答案：A

3.函数 的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

解析：判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.

函数 ，

则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A；

当x=1时，f(1)=e- ＞0，排除D；

当x→+∞时，f(x)→+∞，排除C.

答案：B

4.已知向量 ， 满足| |=1， =-1，则 =( )

A.4

B.3

C.2

D.0

解析：根据向量的数量积公式计算即可.

向量 ， 满足| |=1， =-1，则 .

答案：B

5.双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )

A.

B.

C.

D.

解析：根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可.

∵双曲线的离心率为 ，

则 ，

即双曲线的渐近线方程为 .

答案：A

6.在△ABC中， ，BC=1，AC=5，则AB=( )

A.4

B.

C.

D.2

解析：利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可.

在△ABC中， ， ，

BC=1，AC=5，

则 .

答案：A

7.为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=i+3

D.i=i+4

解析：模拟程序框图的运行过程知，

该程序运行后输出的是

，

累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2.

答案：B

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )

A.

B.

C.

D.

解析：利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可.

在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，

从中选2个不同的数有 =45种，

和等于30的有(7，23)，(11，19)，(13，17)，共3种，

则对应的概率 .

答案：C

9.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁= ，则异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，

∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，

AA₁= ，

∴A(1，0，0)，D₁(0，0， )，D(0，0，0)，B₁(1，1， )，

=(-1，0， )， =(1，1， )，

设异面直线AD₁与DB₁所成角为θ，

则 ，

∴异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为 .

答案：C

10.若f(x)=cosx-sinx在[-a，a]是减函数，则a的最大值是( )

A.

B.

C.

D.π

解析： ，

由 ，k∈Z，

得 ，k∈Z，

取k=0，得f(x)的一个减区间为[ ， ]，

由f(x)在[-a，a]是减函数，

得 ，∴a≤ .

则a的最大值是 .

答案：A

11.已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )

A.-50

B.0

C.2

D.50

解析：根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.

∵f(x)是奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，

∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1)，f(0)=0，

则f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

即函数f(x)是周期为4的周期函数，

∵f(1)=2，

∴f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2，

f(4)=f(0)=0，

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0，

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2.

答案：C

12.已知F₁，F₂是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上，△PF₁F₂为等腰三角形，∠F₁F₂P=120°，则C的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

解析：求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率.

由题意可知：A(-a，0)，F₁(-c，0)，F₂(c，0)，

直线AP的方程为：y= (x+a)，

由∠F₁F₂P=120°，|PF₂|=|F₁F₂|=2c，则P(2c， c)，

代入直线AP： ，整理得：a=4c，

∴题意的离心率 .

答案：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=2ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为 .

解析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.

∵y=2ln(x+1)，

∴y′= ，

当x=0时，y′=2，

∴曲线y=2ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x.

答案：y=2x

14.若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 .

解析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.

由x，y满足约束条件 作出可行域如图，

化目标函数z=x+y为y=-x+z，

由图可知，当直线y=-x+z过A时，z取得最大值，

由 ，解得 ，即A(5，4)，

目标函数有最大值，为z=9.

答案：9

15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)= .

解析：把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=-1，可得结果.

sinα+cosβ=1，

两边平方可得：sin²α+2sinαcosβ+cos²β=1，①，

cosα+sinβ=0，

两边平方可得：cos²α+2cosαsinβ+sin²β=0，②，

由①+②得：2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1，即2+2sin(α+β)=1，

∴2sin(α+β)=-1.

∴sin(α+β)= .

答案：

16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5 ，则该圆锥的侧面积为 .

解析：利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积.

圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，可得 .

△SAB的面积为5 ，

可得 ，即 ，即SA=4 .

SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为： .

则该圆锥的侧面积： .

答案：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₃=-15.

(1)求{a_n}的通项公式.

解析：(1)根据a₁=-7，S₃=-15，可得a₁=-7，3a₁+3d=-15，求出等差数列{a_n}的公差，然后求出a_n即可.

答案：(1)∵等差数列{a_n}中，a₁=-7，S₃=-15，

∴a₁=-7，3a₁+3d=-15，解得a₁=-7，d=2，

∴a_n=-7+2(n-1)=2n-9.

(2)求S_n，并求S_n的最小值.

解析：(2)由a₁=-7，d=2，a_n=2n-9，得S_n= (a₁+a_n)= (2n²-16n)=n²-8n=(n-4)²-16，由此可求出S_n以及S_n的最小值.

答案：(2)∵a₁=-7，d=2，a_n=2n-9，

∴S_n= (a₁+a_n)= (2n²-16n)=n²-8n=(n-4)²-16，

∴当n=4时，前n项的和S_n取得最小值为-16.

18.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①： =-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②： =99+17.5t.

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.

解析：(1)根据模型①计算t=19时 的值，根据模型②计算t=9时 的值即可.

答案：(1)根据模型①： =-30.4+13.5t，

计算t=19时， =-30.4+13.5×19=226.1；

利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；

根据模型②： =99+17.5t，

计算t=9时， =99+17.5×9=256.5；.

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解析：(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，

即可得出模型②的预测值更可靠些.

答案：(2)模型②得到的预测值更可靠；

因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，

从2010年到2016年间递增的幅度较大些，

所以，利用模型②的预测值更可靠些.

19.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.

(1)求l的方程.

解析：(1)方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程.

方法二：根据抛物线的焦点弦公式 ，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程.

答案：(1)方法一：抛物线C：y²=4x的焦点为F(1，0)，当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；

设直线AB的方程为：y=k(x-1)，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则 ，整理得：k²x²-2(k²+2)x+k²=0，则x₁+x₂= ，x₁x₂=1，

由|AB|=x₁+x₂+p= +2=8，解得：k²=1，则k=1，

∴直线l的方程y=x-1.

方法二：抛物线C：y²=4x的焦点为F(1，0)，设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式 ，解得：sin²θ= ，

∵k＞0，故sinθ=

∴θ= ，则直线的斜率k=1，

∴直线l的方程y=x-1.

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.

解析：(2)根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程.

答案：(2)过A，B分别向准线x=-1作垂线，垂足分别为A₁，B₁，设AB的中点为D，过D作DD₁⊥准线l，垂足为D，则|DD₁|= (|AA₁|+|BB₁|)，

由抛物线的定义可知：|AA₁|=|AF|，|BB₁|=|BF|，则r=|DD₁|=4，

以AB为直径的圆与x=-1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，

由(1)可知：x₁+x₂=6，y₁+y₂=x₁+x₂-2=4，

则D(3，2)，

过点A，B且与C的准线相切的圆的方程(x-3)²+(y-2)²=16..

20.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.

(1)证明：PO⊥平面ABC.

解析：(1)利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可.

答案：(1)证明：连接BO，

∵AB=BC=2 ，O是AC的中点，

∴BO⊥AC，且BO=2，

又PA=PC=PB=AC=2，

∴PO⊥AC，PO=2 ，

则PB²=PO²+BO²，

则PO⊥OB，

∵OB∩AC=O，

∴PO⊥平面ABC.

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

解析：(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论.

答案：(2)建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

A(0，-2，0)，P(0，0，2 )，C(0，2，0)，B(2，0，0)，

=(-2，2，0)，

设 =(-2λ，2λ，0)，0＜λ＜1，

则 =(-2λ，2λ，0)-(-2，-2，0)=(2-2λ，2λ+2，0)，

则平面PAC的法向量为 =(1，0，0)，

设平面MPA的法向量为 =(x，y，z)，

则 =(0，-2，-2 )，

则 ， ，

令z=1，则y= ，x= ，

即 =( ， ，1)，

∵二面角M-PA-C为30°，

∴ ，

即 ，

解得λ= 或λ=3(舍)，

则平面MPA的法向量 =(2 ， ，1)，

=(0，2，-2 )，

PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜ ， ＞| .

21.已知函数f(x)=e^x-ax².

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1.

解析：(1)通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明.

答案：(1)证明：当a=1时，函数f(x)=e^x-x².

则f′(x)=e^x-2x，

令g(x)=e^x-2x，则g′(x)=e^x-2，

令g′(x)=0，得x=ln2.

当x∈(0，ln2)时，g′(x)＜0，当x∈(ln2，+∞)时，g′(x)＞0，

∴g(x)≥g(ln2)=e^ln2-2·ln2=2-2ln2＞0，

∴f(x)在[0，+∞)单调递增，∴f(x)≥f(0)=1.

(2)若f(x)在(0，+∞)只有一个零点，求a.

解析：(2)分离参数可得a= 在(0，+∞)只有一个根，即函数y=a与G(x)= 的图象在(0，+∞)只有一个交点.结合图象即可求得a.

答案：(2)f(x)在(0，+∞)只有一个零点 方程ex-ax²=0在(0，+∞)只有一个根，

a= 在(0，+∞)只有一个根，

即函数y=a与G(x)= 的图象在(0，+∞)只有一个交点.

G′(x)= ，

当x∈(0，2)时，G′(x)＜0，当∈(2，+∞)时，G′(x)＞0，

∴G(x)在(0，2)递减，在(2，+∞)递增，

当→0时，G(x)→+∞，当→+∞时，G(x)→+∞，

∴f(x)在(0，+∞)只有一个零点时，a=G(2)= .

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，(θ为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程.

解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程与直角坐标方程进行转化.

答案：(1)曲线C的参数方程为 (θ为参数)，

转换为直角坐标方程为： .

直线l的参数方程为 (t为参数).

转换为直角坐标方程为：sinαx-cosαy+2cosα-sinα=0.

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.

解析：(2)利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果.

答案：(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： ，

整理得：(4cos²α+sin²α)t²+(8cosα+4sinα)t-8=0，

则： ，

由于(1，2)为中点坐标，

∴ =0，

则：8cosα+4sinα=0，

解得：tanα=-2，

即：直线l的斜率为-2.

[选修4-5：不等式选讲]

23.设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集.

解析：(1)去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可.

答案：(1)当a=1时，f(x)=5-|x+1|-|x-2|= .

当x≤-1时，f(x)=2x+4≥0，解得-2≤x≤1，

当-1＜x＜2时，f(x)=2≥0恒成立，即-1＜x＜2，

当x≥2时，f(x)=-2x+6≥0，解得2≤x≤3，

综上所述不等式f(x)≥0的解集为[-2，3].

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.

解析：(2)由题意可得|x+a|+|x-2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出

答案：(2)∵f(x)≤1，

∴5-|x+a|-|x-2|≤1，

∴|x+a|+|x-2|≥4，

∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|≥|x+a+2-x|=|a+2|，

∴|a+2|≥4，

解得a≤-6或a≥2，

故a的取值范围(-∞，-6]∪[2，+∞).