【334353】江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试卷

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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绝密·启用前

江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.已知集合 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

2.若数组 和 满足 ，则实数 等于（ ）
A．-3
B．-2
C．
D．

3.若复数 满足 ，则 的虚部等于（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4

4.逻辑表达式 等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5.已知 的展开式中 的系数为40，则 等于（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

6.已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．2
D．

7.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

8.下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）

A．14条
B．12条
C．9条
D．7条

9.若函数 的最小正周期为 ，则它的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．

10.已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足 则 的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．4

11.下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是___________.

12.已知等比数列 的公比为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值是___________.

13.已知 ，且 ，则 的值是_________.

14.以抛物线 的焦点为圆心，且与直线 ( 为参数）相切的圆的标准方程是____________.

15.已知函数 ，若其图像上存在互异的三个点 ， ， ，使得 ，则实数 的取值范围是__________.

16.已知函数 的定义域是 .
（1）求实数 的取值范围;
（2）解关于 的不等式 .

17.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ( ，且 ).又直线 恒过定点A，且点A在函数 的图像上.
(1) 求实数 的值；
(2) 求 的值；
(3) 求函数 的解析式.

18.已知关于 的二次函数 .
（1）若 ， ，求事件 在 上是增函数}的概率;
（2）若 ， ，求事件 “方程 没有实数根”的概率.

19.已知向量 ， ，设函数 .
（1）求函数 的最大值;
（2）在锐角 中，三个角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，求 的面积.

20.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年产量 吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

21.已知数列 满足 ，且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前 项和 .

22.某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m²，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m²，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.

23.已知椭圆 的离心率为 .
（1）证明： ；
（2）若点 在椭圆 的内部，过点 的直线 交椭圆 于 、 两点， 为线段 的中点，且 .
①求直线 的方程；
②求椭圆 的标准方程.

参考答案

1.B

【解析】
根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.
因为 ，若 ，经验证不满足题意；
若 ，经验证满足题意.
所以 .
故选：B.

2.C

【解析】
数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等.
因为 ， ，
所以 .
由 ，得 ， .
故选：C.

3.C

【解析】
利用复数的运算性质，化简得出 .
若复数 满足 ，则
，
所以 的虚部等于 .
故选：C.

4.D

【解析】
从集合角度去理解逻辑表达式
如图， 类似于 ，则 类似于

故选：D.

5.A

【解析】
写出x²项，进一步即可解出.
，所以 .
故选：A.

6.D

【解析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
双曲线的渐近线为 ，易知 与直线 平行，
所以 .
故选：D.

7.C

【解析】
根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.
根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有 ， .
该圆锥的底面积与侧面积比值为 .
故选：C.

8.B

【解析】
根据分步乘法计算原理即可求解.
由图可知，由① ④有3条路径，由④ ⑥有2条路径，由⑥ ⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从① ⑧共有 条路径.
故选：B

9.A

【解析】
由 ，可得 ，所以 ，令 ，得 ，从而可得到本题答案.
由题，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 的对称轴为 ，
当 时， ，
所以函数 的一条对称轴为 .
故选：A

10.B

【解析】
由奇函数 是定义在 上的单调函数， ，可得 ，即 ，所以 ，化简后利用基本不等式可求得结果
解：因为 ，所以 ，
因为奇函数 是定义在 上的单调函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以


，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 .
故选：B

11.2

【解析】
程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.
初始值： ，
当 时， ，进入循环；
当 时， ，进入循环；
当 时， ，终止循环，输出 的值为 .
故答案为：2.

12.4

【解析】
根据三数成等差数列列等式，再将 ， 用含 和 的式子表示，代入等式求解.
因为 为等比数列，且公比为 ，
所以 ， 且 ， .
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
有 ， ，
解得 .
故答案为： .

13.

【解析】
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .

14.

【解析】
将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案.
解：将抛物线方程化为标准方程得 ，所以焦点坐标为 ，
将直线的参数方程化为普通方程得 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以所求圆的方程为 .
故答案为：

15.

【解析】
先画出函数 的图象，转化为函数 与函数 的图象有三个不同的交点，再画函数 的图象，观察交点的个数，从而求得 的取值范围．
解：画出函数 的图象如下图，

由题意得函数图象上存在互异的三个点，且 ，
则可看做函数 与函数 的图象有三个不同的交点，
由图知，当 或 时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则 的取值范围为 ．
故答案为： ．

16.（1） ；（2） .

【解析】
（1）本题可根据对数函数的性质得出 恒成立，然后通过 即可得出结果；
（2）本题首先可根据 得出 ，然后通过计算即可得出结果.
（1）因为函数 的定义域是 ，
所以 恒成立，
则 ，解得 ， 的取值范围为 .
（2） ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .

17.(1) ；(2) ；(3) .

【解析】
(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出 的值；
(2) 利用偶函数的性质，求 ，进而可求出 的值；
(3) 利用偶函数的性质求出 时， 的表达式.
(1) 由直线 过定点可得： ，
由 ，解得 ，
所以直线 过定点 .
又因为 时， ，
所以 ，
有 ， .
(2) ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 .
(3) 由(1)知，当 时， .
当 时， ， ，
又 为偶函数，所以 ，
综上可知， .

18.（1） ；（2） .

【解析】
（1）根据题意有： ，且对称轴 ，求出基本事件总数，再求出满足事件 的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；
（2）方程 无实根，则 ， ， ， ，且 ，画出图形，由测度比是面积比得答案．
（1）根据题意有： ，且对称轴 ．
基本事件总数为 ，
满足事件 的事件数为 ， ， ， ， 共有5个，
（A） ；
（2）方程 无实根，则 ，
，
又 ， ， ， ， ，
如图，

．

19.（1） ；（2） .

【解析】
（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得 ，进而可得 的最大值；
（2）由锐角 ，推出 ，再结合 （B） ，求得 ，由正弦定理知 ，再利用余弦定理求出 ， ，最后由三角形面积公式得解．
（1）因为 ， ，
所以函数


∴当 时，
（2）∵ 为锐角三角形， .
又


即

20.（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.

【解析】
（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
（1） ，

当且仅当 时，即 取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又 ，∴当 时， .
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.

21.（1）见解析；（2） ；（3）

【解析】
（1）计算得到 ，得到答案.
（2） ，得到数列通项公式.
（3）根据分组求和法计算得到答案.
（1）由 ，得 ，∴ ，又 ，
∴ 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2） ，∴ .
（3） .

22.甲2块，乙1块，8 m².

【解析】
设需要甲种原料 张，乙种原料 张，则所用原料的总面积 ，由题意列出关于 ， 的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
设需要甲种原料 张，乙种原料 张，
则 ，
所用原料的总面积 ．
由约束条件作出可行域如图，

联立 ，解得 ， ，即 ，
由 ，得 ，由图可知，当直线 过 时，
取得最小值为 ．
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为 m²．

23.（1）证明见解析；（2）① ；② .

【解析】
（1）由 可证得结论成立；
（2）①设点 、 ，利用点差法可求得直线 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，由 可得出 ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于 的等式，可求出 的值，即可得出椭圆 的方程.
（1） ， ，因此， ；
（2）①由（1）知，椭圆 的方程为 ，即 ，
当 在椭圆 的内部时， ，可得 .
设点 、 ，则 ，所以， ，
由已知可得 ，两式作差得 ，
所以 ，
所以，直线 方程为 ，即 .
所以，直线 的方程为 ；
②联立 ，消去 可得 .
，
由韦达定理可得 ， ，
又 ，而 ， ，

，
解得 合乎题意，故 ，
因此，椭圆 的方程为 .