…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密·启用前
江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试卷
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.已知集合
，
，若
，则
的值是（
）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
2.若数组
和
满足
，则实数
等于（
）
A．-3
B．-2
C．
D．
3.若复数
满足
，则
的虚部等于（
）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
4.逻辑表达式
等于（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知
的展开式中
的系数为40，则
等于（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
6.已知双曲线
的一条渐近线与直线
平行，则该双曲线的离心率是（
）
A．
B．
C．2
D．
7.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（
）
A．
B．
C．
D．
8.下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（
）
A．14条
B．12条
C．9条
D．7条
9.若函数
的最小正周期为
，则它的一条对称轴是（
）
A．
B．
C．
D．
10.已知奇函数
是定义在
上的单调函数，若正实数
，
满足
则
的最小值是（
）
A．
B．
C．2
D．4
|
二、填空题 |
11.下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是___________.
12.已知等比数列
的公比为
，且
，
，
成等差数列，则
的值是___________.
13.已知
，且
，则
的值是_________.
14.以抛物线
的焦点为圆心，且与直线
(
为参数）相切的圆的标准方程是____________.
15.已知函数
，若其图像上存在互异的三个点
，
，
，使得
，则实数
的取值范围是__________.
|
三、解答题 |
16.已知函数
的定义域是
.
（1）求实数
的取值范围;
（2）解关于
的不等式
.
17.已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
(
，且
).又直线
恒过定点A，且点A在函数
的图像上.
(1)
求实数
的值；
(2)
求
的值；
(3)
求函数
的解析式.
18.已知关于
的二次函数
.
（1）若
，
，求事件
在
上是增函数}的概率;
（2）若
，
，求事件
“方程
没有实数根”的概率.
19.已知向量
，
，设函数
.
（1）求函数
的最大值;
（2）在锐角
中，三个角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，
，求
的面积.
20.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本
万元与年产量
吨之间的函数关系可以近似地表示为
，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
21.已知数列
满足
，且
.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）求数列
的通项公式；
（3）求数列
的前
项和
.
22.某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.
23.已知椭圆
的离心率为
.
（1）证明：
；
（2）若点
在椭圆
的内部，过点
的直线
交椭圆
于
、
两点，
为线段
的中点，且
.
①求直线
的方程；
②求椭圆
的标准方程.
参考答案
1.B
【解析】
根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.
因为
，若
，经验证不满足题意；
若
，经验证满足题意.
所以
.
故选：B.
2.C
【解析】
数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等.
因为
，
，
所以
.
由
，得
，
.
故选：C.
3.C
【解析】
利用复数的运算性质，化简得出
.
若复数
满足
，则
，
所以
的虚部等于
.
故选：C.
4.D
【解析】
从集合角度去理解逻辑表达式
如图，
类似于
，则
类似于
故选：D.
5.A
【解析】
写出x2项，进一步即可解出.
，所以
.
故选：A.
6.D
【解析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
双曲线的渐近线为
，易知
与直线
平行，
所以
.
故选：D.
7.C
【解析】
根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.
根据题意作图，
设圆锥的底面圆半径为
，高为
，母线长为
.
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有
，
.
该圆锥的底面积与侧面积比值为
.
故选：C.
8.B
【解析】
根据分步乘法计算原理即可求解.
由图可知，由①
④有3条路径，由④
⑥有2条路径，由⑥
⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①
⑧共有
条路径.
故选：B
9.A
【解析】
由
，可得
，所以
，令
，得
，从而可得到本题答案.
由题，得
，所以
，
令
，得
，
所以
的对称轴为
，
当
时，
，
所以函数
的一条对称轴为
.
故选：A
10.B
【解析】
由奇函数
是定义在
上的单调函数，
，可得
，即
，所以
，化简后利用基本不等式可求得结果
解：因为
，所以
，
因为奇函数
是定义在
上的单调函数，
所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是
.
故选：B
11.2
【解析】
程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.
初始值：
，
当
时，
，进入循环；
当
时，
，进入循环；
当
时，
，终止循环，输出
的值为
.
故答案为：2.
12.4
【解析】
根据三数成等差数列列等式，再将
，
用含
和
的式子表示，代入等式求解.
因为
为等比数列，且公比为
，
所以
，
且
，
.
因为
，
，
成等差数列，
所以
，
有
，
，
解得
.
故答案为：
.
13.
【解析】
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
，因为
，所以
，所以
，所以
，所以
.
故答案为：
.
14.
【解析】
将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案.
解：将抛物线方程化为标准方程得
，所以焦点坐标为
，
将直线的参数方程化为普通方程得
，
所以点
到直线
的距离为
，
所以所求圆的方程为
.
故答案为：
15.
【解析】
先画出函数
的图象，转化为函数
与函数
的图象有三个不同的交点，再画函数
的图象，观察交点的个数，从而求得
的取值范围．
解：画出函数
的图象如下图，
由题意得函数图象上存在互异的三个点，且
，
则可看做函数
与函数
的图象有三个不同的交点，
由图知，当
或
时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则
的取值范围为
．
故答案为：
．
16.（1）
；（2）
.
【解析】
（1）本题可根据对数函数的性质得出
恒成立，然后通过
即可得出结果；
（2）本题首先可根据
得出
，然后通过计算即可得出结果.
（1）因为函数
的定义域是
，
所以
恒成立，
则
，解得
，
的取值范围为
.
（2）
，即
，
因为
，所以
，即
，解得
，
故不等式
的解集为
.
17.(1)
；(2)
；(3)
.
【解析】
(1)
求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出
的值；
(2)
利用偶函数的性质，求
，进而可求出
的值；
(3)
利用偶函数的性质求出
时，
的表达式.
(1)
由直线
过定点可得：
，
由
，解得
，
所以直线
过定点
.
又因为
时，
，
所以
，
有
，
.
(2)
，
因为
为偶函数，所以
，
所以
.
(3)
由(1)知，当
时，
.
当
时，
，
，
又
为偶函数，所以
，
综上可知，
.
18.（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据题意有：
，且对称轴
，求出基本事件总数，再求出满足事件
的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；
（2）方程
无实根，则
，
，
，
，且
，画出图形，由测度比是面积比得答案．
（1）根据题意有：
，且对称轴
．
基本事件总数为
，
满足事件
的事件数为
，
，
，
，
共有5个，
（A）
；
（2）方程
无实根，则
，
，
又
，
，
，
，
，
如图，
．
19.（1）
；（2）
.
【解析】
（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得
，进而可得
的最大值；
（2）由锐角
，推出
，再结合
（B）
，求得
，由正弦定理知
，再利用余弦定理求出
，
，最后由三角形面积公式得解．
（1）因为
，
，
所以函数
∴当
时，
（2）∵
为锐角三角形，
.
又
即
20.（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【解析】
（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
（1）
，
当且仅当
时，即
取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又
，∴当
时，
.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
21.（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
（1）计算得到
，得到答案.
（2）
，得到数列通项公式.
（3）根据分组求和法计算得到答案.
（1）由
，得
，∴
，又
，
∴
是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）
，∴
.
（3）
.
22.甲2块，乙1块，8
m2.
【解析】
设需要甲种原料
张，乙种原料
张，则所用原料的总面积
，由题意列出关于
，
的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
设需要甲种原料
张，乙种原料
张，
则
，
所用原料的总面积
．
由约束条件作出可行域如图，
联立
，解得
，
，即
，
由
，得
，由图可知，当直线
过
时，
取得最小值为
．
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为
m2．
23.（1）证明见解析；（2）①
；②
.
【解析】
（1）由
可证得结论成立；
（2）①设点
、
，利用点差法可求得直线
的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线
的方程与椭圆
的方程联立，列出韦达定理，由
可得出
，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于
的等式，可求出
的值，即可得出椭圆
的方程.
（1）
，
，因此，
；
（2）①由（1）知，椭圆
的方程为
，即
，
当
在椭圆
的内部时，
，可得
.
设点
、
，则
，所以，
，
由已知可得
，两式作差得
，
所以
，
所以，直线
方程为
，即
.
所以，直线
的方程为
；
②联立
，消去
可得
.
，
由韦达定理可得
，
，
又
，而
，
，
，
解得
合乎题意，故
，
因此，椭圆
的方程为
.
第