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153517-2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．已知集合 ,则A∩B=（      ）

A．{1,2,3,4}　　　　B．{2,3,4}

C．{2,4}　　　　D．{1}

2．设 ,则“ ”是“ ”的（      ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．下列图中,相关系数最大的是（      ）

A． B．

C． D．

4．下列函数中,是偶函数的是（      ）

A． B．

C． D．

5．若 ,则 的大小关系为（      ）

A． > > 　　　　B． > >

C． > > 　　　　D． > >

6．若 为两条不同的直线, 为一个平面,则下列结论中正确的是（      ）

A．若 ∥ ,则 ∥

B．若 ∥ ∥ ,则 ∥

C．若 ∥ ,则

D．若 ∥ ,则 与 相交

7．若 (ω>0)的最小正周期为 π ,则 在 上的最小值为（      ）

A． 　　　　B．

C．0　　　　D．

8．双曲线 =1(a> >0)的左、右焦点分别为 ,双曲线右支上一点 满足 若 是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

9．一个五面体 ,已知 两两平行,且两两之间的距离为 ,则该几何体的体积为（      ）

A． B．

C． D．

二、填空题

10．已知i是虚数单位,化简( -i)( +2i)的结果为　　　　

11．在 的展开式中,常数项为　　　　

12．圆 : 的圆心与抛物线y²=2px(p>0)的焦点 重合, 为两曲线的一个交点,则原点到直线 的距离为　　　　

13．有 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加 甲选到 的概率为　　　　;(2)已知乙选了 活动,他再选择 活动的概率为　　　　

14．已知正方形 的边长为 为线段 的三等分点, , ,则 　　　　;若 为线段 上的动点, 为 的中点,则 的最小值为　　　　

15．若函数 | |+1恰有一个零点,则 的取值范围为　　　　

三、解答题

16．(15分)在 中,角 所对的边分别是 ． 已知

(1)求 的值;

(2)求sin 的值;

(3)求 的值

17．已知在四棱柱 中, 平面 是 的中点, 是 的中点

(1)求证: ∥平面 ;

(2)求平面 与平面 夹角的余弦值;

(3)求点 到平面 的距离

18．设椭圆   =1(a> >0)的左顶点为 ,下顶点为 为线段 的中点,离心率  

(1)求椭圆的方程

(2)若过点 的动直线与椭圆交于 两点,在 轴上是否存在点 使得   ,若存在,求出点 纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由

19．(15分)已知数列 是等比数列, 是 的前 项和,满足

(1)求数列 的通项公式及其前 项和

(2)

当n=a_k+1(k∈N^*,k>1)时,求证: ;

求 的值

20．(15分)已知函数

(1)求曲线 在 处的切线方程;

(2)若对任意 >0均有f(x)≥a(x- ),求 的取值范围;

(3)证明:∀ ,| |

参考答案

一、单选题

1. B

命题点：集合的交集运算

集合 ,集合 ,则 ,故选

2. C

命题点：幂函数、指数函数的单调性、充分必要条件

⇔ ,若 ,则 若 ,则 ,所以“ ”是“ ”的充分必要条件,故选

3. A

命题点：相关系数的意义及辨析

观察散点图可知,A图中的散点更集中落在一条直线附近,故选

4. B

命题点：函数奇偶性的判断

对于A,记 ,定义域为 ,

则 ,则 不是偶函数,故A错误;

对于B,记 ,定义域为 ,

则 ,则 是偶函数,故B正确;

对于C,记 ,定义域为{x|x≠-1},定义域不关于原点对称,所以 不是偶函数,故C错误;

对于D,记 ,定义域为 ,

则 ,

则 是奇函数,故D错误,故选

5. D

命题点：指数、对数函数的性质

由指数函数 是 上的增函数,可得 > ,可以排除 选项 函数 在(-∞,0)上的值域为(0,1),∴0< < 函数 在(0,1)上的值域为(-∞,0),∴ < 综上,可得 > > ,故选

6. C

命题点：线面平行和线面垂直的性质,线线的位置关系

对于A,若 ∥ ,则 平行或异面,故A错误 对于B,若 ∥ ∥ ,则 平行或异面或相交,故B错误 对于C,过 作平面 ,使得 ,因为 ∥ ,所以 ∥ 因为 ,所以 ,所以 ,故C正确 对于D,若 ∥ ,则 与 相交或异面,故D错误 故选

7. A

命题点：正弦函数的图象与性质

∵ 的最小正周期为 π ,∴ π ,得 ,∴ π ,当 时, ,∴ 的最小值为 ,故选

8. C

命题点：双曲线的方程和几何性质

如图,由 ,

点 在双曲线右支上及 是直角三角形可得, 由直线 的斜率为 ,得直线 的方程为 ,则直线 的方程为 ,两方程联立解得 ,所以点 的坐标为 因为 的面积为8,所以 ,解得 所以 ,即 ,化简得 ,解得 或a²=18(舍).所以 ,所以双曲线的方程为 ,故选

9. C

命题点：补形法求五面体的体积

如图,不妨将该五面体看作由直三棱柱 截去四棱锥 得到的,此时的五面体 仍满足题意

结合题意可知,在五面体 中, ,且 ∥ ∥

∴ ,

∴

_梯形

故选

二、填空题

10.

命题点：复数的运算

( -i)( +2i)=5+2

11. 20

命题点：二项展开式中特定项的系数

的展开式的通项为 ,令 ,得 ,故常数项为

12.

命题点：抛物线与圆的对称性,点到直线的距离公式

依题意,圆心为(1,0),即抛物线焦点 的坐标为(1,0),所以 ,所以

联立 消去 得 ,解得x=-6(舍去)或 ,所以 ±

根据抛物线与圆的对称性,取 ,即 ,所以 ,所以直线 : ,整理得直线 :

故原点到直线 的距离

13. 　

命题点：组合、条件概率的计算

甲从五种活动中选三个,全部的情况有 种,选到 的情况有 种,∴甲选到 的概率为 设乙选到 的概率为 ,乙选到 的概率为 ,则 ,∴P(B|A)=

14. 　

命题点：向量的基本定理、向量数量积的最值

如图,以 为坐标原点建立平面直角坐标系,则 ,则 , , ,

∵ ,∴

∴

∵点 在线段 上,设 ,则 ,∴

∵ 为 中点,

∴ ,∴ ,

∴ ,∵ ,∴当 时, 取到最小值,最小值为

15. (- ,-1)∪(1, )

命题点：根据零点情况求参数

函数 恰有一个零点即方程 | |-1有且仅有1个根,讨论 和 两种情况(提示: 和0均在函数 的定义域内):

①当 时, ± ,方程有两个根,不成立

②易知当 时, 不为方程的根,∴当 且 时,令 ,则 ,

方程可化为 | |

由| |-1≥0知 或 ,

∴ 且

∴ 且

∴

当 时,令 ,则 ;当 且 时,令 ,则

令 ,解得 或 ,∵ ,∴ 在(3,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,且 ,当 →+∞时, →

令 ,解得 或 ,∵ 且 ,∴ 在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,且 ,当 →0时, →0,当 →-1时, →+∞,当 →-∞时, →

根据上述分析画出函数 和函数 (t≤1且t≠0,t≠-1)的大致图象如图所示

由图可知,当1< <3时,函数 与 且 的图象有一个交点,解得 < <-1或1< < ,

∴ 的取值范围为(- ,-1)∪(1, ).

三、解答题

16. 见详解

(1)∵ ,∴      2分

由余弦定理可得 ,即 ,即 ,

∴ 或a=-4(舍).     5分

(2)∵cos ,∴sin      7分

由正弦定理 ,得 ,∴sin

　     10分

(3)由 <1知 < ,∴角 为锐角

∵sin ,∴cos      12分

∴

     15分

17. 见详解

命题点：空间向量的应用,平面与平面的夹角,点到平面的距离

(1)∵在四棱柱 中, 平面 ,∴ 两两垂直

以 为坐标原点, , , 的方向分别为 轴

的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则

∵ 分别是 和 的中点,

∴ ,

∴ , ,

设平面 的法向量为 ,

则 即

令 ,得 ,∴

∵ ,∴

又∵ ⊄平面 ,∴ ∥平面      4分

(2)由(1)得 ,

设平面 的法向量为 ,

则

即 令 ,得 ,∴

由(1)可知平面 的一个法向量为 ,

∴平面 与平面 夹角的余弦值为|cos< >|      9分

(3)由(1)知平面 的一个法向量为 ,

设点 到平面 的距离为 ,

则 ,

即点 到平面 的距离为      15分

18. 见详解

命题点：椭圆的标准方程、存在性问题的探究

(1)由题可得 ,所以 | |·| | ,即

2分

又 ,解得 ,

所以椭圆的方程为      5分

(2)由(1)可知

设

若动直线的斜率不存在,则 三点共线,当点 在椭圆内部(包括椭圆上)时满足 ,此时      7分

若动直线的斜率存在,

设动直线的方程为

联立 消去 并整理得 ,

>0恒成立,故 ,所以 ,y ₁y₂= 所以 ,整理得 ,问题转化为 在什么范围内可以使上述关于 的不等式恒成立      10分

①若 ,则 或 ,

当 时, >0,不符合题意;

当 时, <0,符合题意      12分

②若 ,则需满足

解得-3<

结合①得      14分

综上所述,点 纵坐标的取值范围为      15分

19. 见详解

命题点：等比数列的通项公式、前 项和公式,数列的构成,等差数列的前 项和公式,错位相减法求和

(1)设等比数列 的公比为

由 ,得 ,解得 或

当 时, 为1,-1,1,-1,…,则 ,

所以      3分

当 时,      4分

(2)由 知,

∵ ,

∴当 时, ,∴当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 ,即 < < 时, 当 时,由 < < ,得当 < 时, , , ,…, 构成首项为 ,公差为 ,项数为 的等差数列      6分

当n=a_k+1=2^k(k∈N^*,k>1)时, ,

当 时,

当 时, ,

∴ >0,

∴ >0,即 >

综上,      9分

∵ ,

∴当 时, , ;

当 时, ,      10分

当 时,(b₄,b₅,b₆,b₇),(b₈,b₉,…,b₁₅),…,( , ,…, )构成了 组等差数列,且这 组等差数列的首项分别为3,4,…, ,公差分别为6,8,…, ,项数分别为 ,…,

记每组等差数列所有项的和为 ,…, ,则      12分

则 … … ,

设 … ,

则 … ,

两式相减得 … ,

∴ ,∴      14分

当 时,均满足上式,∴

15分

20. 见详解

命题点：导数的几何意义,利用导数解决不等式恒成立问题

(1) f(x)=xln ,则 ,又 ,所以曲线 在点(1,0)处的切线方程为 ,即      4分

(2)依题意, x≥a(x- )对任意 恒成立

令 >0,则 >0,则有 ,

又 >0,所以 对任意 恒成立

令 ,即问题转化为对任意 ,有 恒成立

,令 ,则 ,所以 在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增

又 ,所以 ,解得a=2(提示:只有当极小值即最小值等于0时, 才恒成立).     9分

(3)不妨设0< < <1,则0< <1,所以 < 　

因为( )²=x₁+x₂-2 ①,( )²=x₁-x₂②,

①-②得( )²-( )²=2x₂-2 <0,所以 <      10分

第一步:证明 <

因为 ,所以可先证明 < ,即证 <

令 ,则 ,

令 ,则

令 ,得 ,

所以 在 上单调递减,在 上单调递增,

所以 2>0,

所以 在(0,1)上单调递增,所以 > ,即 < <      13分

第二步:证明 <

可先证 < ,即证 <

令 ,则 <0,则 在(0,1)上单调递减,

所以 < ,即 < <

若 ,则| |

综上,∀ ,| | ,得证

　     15分