【334345】2024年普通高等学校招生全国统一考试天津卷
……………○……………外……………○……………装……………○……………订……………○……………线……………○………………
学校:
姓名: 班级:
考号:
……………○……………内……………○……………装……………○……………订……………○……………线……………○………………
绝密★启用前
153517-2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.已知集合
,则A∩B=( )
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{1}
2.设
,则“
”是“
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.下列图中,相关系数最大的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列函数中,是偶函数的是( )
A.
B.
C.
D.
5.若
,则
的大小关系为( )
A.
>
>
B.
>
>
C.
>
>
D.
>
>
6.若
为两条不同的直线,
为一个平面,则下列结论中正确的是( )
A.若
∥
,则
∥
B.若
∥
∥
,则
∥
C.若
∥
,则
D.若
∥
,则
与
相交
7.若
(ω>0)的最小正周期为
π
,则
在
上的最小值为( )
A.
B.
C.0 D.
8.双曲线
=1(a>
>0)的左、右焦点分别为
,双曲线右支上一点
满足
若
是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
9.一个五面体
,已知
两两平行,且两两之间的距离为
,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
10.已知i是虚数单位,化简(
-i)(
+2i)的结果为
11.在
的展开式中,常数项为
12.圆
:
的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点
重合,
为两曲线的一个交点,则原点到直线
的距离为
13.有
五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加
甲选到
的概率为 ;(2)已知乙选了
活动,他再选择
活动的概率为
14.已知正方形
的边长为
为线段
的三等分点,
,
,则
;若
为线段
上的动点,
为
的中点,则
的最小值为
15.若函数
|
|+1恰有一个零点,则
的取值范围为
三、解答题
16.(15分)在
中,角
所对的边分别是 .
已知
(1)求
的值;
(2)求sin
的值;
(3)求
的值
17.已知在四棱柱
中,
平面
是
的中点,
是
的中点
(1)求证:
∥平面
;
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值;
(3)求点
到平面
的距离
18.设椭圆
=1(a>
>0)的左顶点为
,下顶点为
为线段
的中点,离心率
(1)求椭圆的方程
(2)若过点
的动直线与椭圆交于
两点,在
轴上是否存在点
使得
,若存在,求出点
纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由
19.(15分)已知数列
是等比数列,
是
的前
项和,满足
(1)求数列
的通项公式及其前
项和
(2)
当n=ak+1(k∈N*,k>1)时,求证:
;
求
的值
20.(15分)已知函数
(1)求曲线
在
处的切线方程;
(2)若对任意
>0均有f(x)≥a(x-
),求
的取值范围;
(3)证明:∀
,|
|
参考答案
一、单选题
1. B
命题点:集合的交集运算
集合
,集合
,则
,故选
2. C
命题点:幂函数、指数函数的单调性、充分必要条件
⇔
,若
,则
若
,则
,所以“
”是“
”的充分必要条件,故选
3. A
命题点:相关系数的意义及辨析
观察散点图可知,A图中的散点更集中落在一条直线附近,故选
4. B
命题点:函数奇偶性的判断
对于A,记
,定义域为
,
则
,则
不是偶函数,故A错误;
对于B,记
,定义域为
,
则
,则
是偶函数,故B正确;
对于C,记
,定义域为{x|x≠-1},定义域不关于原点对称,所以
不是偶函数,故C错误;
对于D,记
,定义域为
,
则
,
则
是奇函数,故D错误,故选
5. D
命题点:指数、对数函数的性质
由指数函数
是
上的增函数,可得
>
,可以排除
选项
函数
在(-∞,0)上的值域为(0,1),∴0<
<
函数
在(0,1)上的值域为(-∞,0),∴
<
综上,可得
>
>
,故选
6. C
命题点:线面平行和线面垂直的性质,线线的位置关系
对于A,若
∥
,则
平行或异面,故A错误
对于B,若
∥
∥
,则
平行或异面或相交,故B错误
对于C,过
作平面
,使得
,因为
∥
,所以
∥
因为
,所以
,所以
,故C正确
对于D,若
∥
,则
与
相交或异面,故D错误
故选
7. A
命题点:正弦函数的图象与性质
∵
的最小正周期为
π
,∴
π
,得
,∴
π
,当
时,
,∴
的最小值为
,故选
8. C
命题点:双曲线的方程和几何性质
如图,由
,
点
在双曲线右支上及
是直角三角形可得,
由直线
的斜率为
,得直线
的方程为
,则直线
的方程为
,两方程联立解得
,所以点
的坐标为
因为
的面积为8,所以
,解得
所以
,即
,化简得
,解得
或a2=18(舍).所以
,所以双曲线的方程为
,故选
9. C
命题点:补形法求五面体的体积
如图,不妨将该五面体看作由直三棱柱
截去四棱锥
得到的,此时的五面体
仍满足题意
结合题意可知,在五面体
中,
,且
∥
∥
∴
,
∴
梯形
故选
二、填空题
10.
命题点:复数的运算
(
-i)(
+2i)=5+2
11. 20
命题点:二项展开式中特定项的系数
的展开式的通项为
,令
,得
,故常数项为
12.
命题点:抛物线与圆的对称性,点到直线的距离公式
依题意,圆心为(1,0),即抛物线焦点
的坐标为(1,0),所以
,所以
联立
消去
得
,解得x=-6(舍去)或
,所以
±
根据抛物线与圆的对称性,取
,即
,所以
,所以直线
:
,整理得直线
:
故原点到直线
的距离
13.
命题点:组合、条件概率的计算
甲从五种活动中选三个,全部的情况有
种,选到
的情况有
种,∴甲选到
的概率为
设乙选到
的概率为
,乙选到
的概率为
,则
,∴P(B|A)=
14.
命题点:向量的基本定理、向量数量积的最值
如图,以
为坐标原点建立平面直角坐标系,则
,则
,
,
,
∵
,∴
∴
∵点
在线段
上,设
,则
,∴
∵
为
中点,
∴
,∴
,
∴
,∵
,∴当
时,
取到最小值,最小值为
15.
(-
,-1)∪(1,
)
命题点:根据零点情况求参数
函数
恰有一个零点即方程
|
|-1有且仅有1个根,讨论
和
两种情况(提示:
和0均在函数
的定义域内):
①当
时,
±
,方程有两个根,不成立
②易知当
时,
不为方程的根,∴当
且
时,令
,则
,
方程可化为
|
|
由|
|-1≥0知
或
,
∴
且
∴
且
∴
当
时,令
,则
;当
且
时,令
,则
令
,解得
或
,∵
,∴
在(3,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,且
,当
→+∞时,
→
令
,解得
或
,∵
且
,∴
在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,且
,当
→0时,
→0,当
→-1时,
→+∞,当
→-∞时,
→
根据上述分析画出函数
和函数
(t≤1且t≠0,t≠-1)的大致图象如图所示
由图可知,当1<
<3时,函数
与
且
的图象有一个交点,解得
<
<-1或1<
<
,
∴
的取值范围为(-
,-1)∪(1,
).
三、解答题
16. 见详解
(1)∵
,∴
2分
由余弦定理可得
,即
,即
,
∴
或a=-4(舍).
5分
(2)∵cos
,∴sin
7分
由正弦定理
,得
,∴sin
10分
(3)由
<1知
<
,∴角
为锐角
∵sin
,∴cos
12分
∴
15分
17. 见详解
命题点:空间向量的应用,平面与平面的夹角,点到平面的距离
(1)∵在四棱柱
中,
平面
,∴
两两垂直
以
为坐标原点,
,
,
的方向分别为
轴
的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则
∵
分别是
和
的中点,
∴
,
∴
,
,
设平面
的法向量为
,
则
即
令
,得
,∴
∵
,∴
又∵
⊄平面
,∴
∥平面
4分
(2)由(1)得
,
设平面
的法向量为
,
则
即
令
,得
,∴
由(1)可知平面
的一个法向量为
,
∴平面
与平面
夹角的余弦值为|cos<
>|
9分
(3)由(1)知平面
的一个法向量为
,
设点
到平面
的距离为
,
则
,
即点
到平面
的距离为
15分
18. 见详解
命题点:椭圆的标准方程、存在性问题的探究
(1)由题可得
,所以
|
|·|
|
,即
2分
又
,解得
,
所以椭圆的方程为
5分
(2)由(1)可知
设
若动直线的斜率不存在,则
三点共线,当点
在椭圆内部(包括椭圆上)时满足
,此时
7分
若动直线的斜率存在,
设动直线的方程为
联立
消去
并整理得
,
>0恒成立,故
,所以
,y
1y2=
所以
,整理得
,问题转化为
在什么范围内可以使上述关于
的不等式恒成立
10分
①若
,则
或
,
当
时,
>0,不符合题意;
当
时,
<0,符合题意
12分
②若
,则需满足
解得-3<
结合①得
14分
综上所述,点
纵坐标的取值范围为
15分
19. 见详解
命题点:等比数列的通项公式、前
项和公式,数列的构成,等差数列的前
项和公式,错位相减法求和
(1)设等比数列
的公比为
由
,得
,解得
或
当
时,
为1,-1,1,-1,…,则
,
所以
3分
当
时,
4分
(2)由
知,
∵
,
∴当
时,
,∴当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
,即
<
<
时,
当
时,由
<
<
,得当
<
时,
,
,
,…,
构成首项为
,公差为
,项数为
的等差数列
6分
当n=ak+1=2k(k∈N*,k>1)时,
,
当
时,
当
时,
,
∴
>0,
∴
>0,即
>
综上,
9分
∵
,
∴当
时,
,
;
当
时,
,
10分
当
时,(b4,b5,b6,b7),(b8,b9,…,b15),…,(
,
,…,
)构成了
组等差数列,且这
组等差数列的首项分别为3,4,…,
,公差分别为6,8,…,
,项数分别为
,…,
记每组等差数列所有项的和为
,…,
,则
12分
则
…
…
,
设
…
,
则
…
,
两式相减得
…
,
∴
,∴
14分
当
时,均满足上式,∴
15分
20. 见详解
命题点:导数的几何意义,利用导数解决不等式恒成立问题
(1)
f(x)=xln
,则
,又
,所以曲线
在点(1,0)处的切线方程为
,即
4分
(2)依题意,
x≥a(x-
)对任意
恒成立
令
>0,则
>0,则有
,
又
>0,所以
对任意
恒成立
令
,即问题转化为对任意
,有
恒成立
,令
,则
,所以
在(0,
)上单调递减,在(
,+∞)上单调递增
又
,所以
,解得a=2(提示:只有当极小值即最小值等于0时,
才恒成立).
9分
(3)不妨设0<
<
<1,则0<
<1,所以
<
因为(
)2=x1+x2-2
①,(
)2=x1-x2②,
①-②得(
)2-(
)2=2x2-2
<0,所以
<
10分
第一步:证明
<
因为
,所以可先证明
<
,即证
<
令
,则
,
令
,则
令
,得
,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
2>0,
所以
在(0,1)上单调递增,所以
>
,即
<
<
13分
第二步:证明
<
可先证
<
,即证
<
令
,则
<0,则
在(0,1)上单调递减,
所以
<
,即
<
<
若
,则|
|
综上,∀
,|
|
,得证
15分
- 1【334352】湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试卷
- 2【334353】江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试卷
- 3【334351】2024年上海市高考数学试卷
- 4【334350】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试上海卷
- 5【334349】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试全国新课标Ⅱ卷
- 6【334348】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试全国新课标Ⅰ卷
- 7【334347】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试北京卷
- 8【334346】2024年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学
- 9【334345】2024年普通高等学校招生全国统一考试天津卷
- 10【334344】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅱ卷
- 11【334341】2024年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学
- 12【334342】2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理
- 13【334343】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅰ卷
- 14【334340】2024年普通高等学校春季招生数学考试上海卷
- 15【334339】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
- 16【334338】2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
- 17【334337】2023年天津高考数学真题
- 18【334335】2023年高考全国乙卷数学文真题
- 19【334336】2023年上海市高考数学试卷
- 20【334334】2023年高考全国乙卷数学理真题
- 【334333】2023年高考全国甲卷数学文真题
- 【334332】2023年高考全国甲卷数学理真题
- 【334330】2022年浙江省高考数学试卷
- 【334331】2023年北京高考数学真题
- 【334329】2022年上海市高考数学试卷
- 【334328】2022年全国新高考I卷数学试卷
- 【334326】2022年全国高考乙卷数学文试卷
- 【334327】2022年全国新高考II卷数学试卷
- 【334325】2022年全国高考乙卷数学理试卷
- 【334323】2022年全国高考甲卷数学理试卷
- 【334324】2022年全国高考甲卷数学文试卷
- 【334322】2022年高考天津卷回忆版数学真题
- 【334321】2022年北京市高考数学试卷
- 【334320】2021年浙江省高考数学试卷
- 【334319】2021年天津高考数学试卷
- 【334318】2021年上海市高考数学试卷
- 【334317】2021年山东省春季高考数学真题
- 【334316】2021年全国新高考II卷数学试卷
- 【334315】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试卷
- 【334314】2021年全国高考乙卷数学文试卷