2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1，2，3，4}，B={-1，0，2，3}，C={x∈R|-1≤x＜2}，则(A∪B)∩C=( )

A.{-1，1}

B.{0，1}

C.{-1，0，1}

D.{2，3，4}

解析：∵A={1，2，3，4}，B={-1，0，2，3}，

∴(A∪B)={1，2，3，4}∪{-1，0，2，3}={-1，0，1，2，3，4}，

又C={x∈R|-1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C={-1，0，1}.

答案：C

2.设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为( )

A.6

B.19

C.21

D.45

解析：由变量x，y满足约束条件 得如图所示的可行域，由 解得A(2，3).

当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值.将其代入得z的值为21.

答案：C

3.设x∈R，则“x³＞8”是“|x|＞2”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由x³＞8，得x＞2，则|x|＞2，

反之，由|x|＞2，得x＜-2或x＞2，

则x³＜-8或x³＞8.

即“x³＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件.

答案：A

4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：若输入N=20，

则i=2，T=0， =10是整数，满足条件.T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，

循环， 不是整数，不满足条件.i=3+1=4，i≥5不成立，

循环， =5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2.

答案：B.

5.已知a=log₃ ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系为( )

A.a＞b＞c

B.b＞a＞c

C.c＞b＞a

D.c＞a＞b

解析：∵a=log₃ ，c= =log₃5，且5＞ ＞3，

∴log₃5＞log₃ ＞1，则b= ＜( )⁰=1，∴c＞a＞b.

答案：D

6.将函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数( )

A.在区间[ ]上单调递增

B.在区间[ ，0]上单调递减

C.在区间[ ， ]上单调递增

D.在区间[ ，π]上单调递减

解析：将函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，

所得图象对应的函数解析式为y=sin[ ]=sin2x.

当x∈[ ]时，2x∈[ ]，函数单调递增；

当x∈[ ]时，2x∈[ ，π]，函数单调递减；

当x∈[- ，0]时，2x∈[- ，0]，函数单调递增；

当x∈[ ，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增.

答案：A

7.已知双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d₁和d₂，且d₁+d₂=6，则双曲线的方程为( )

A.

B.

C.

D.

解析：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y= x，即bx-ay=0，F(c，0)，

AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，

F是AB的中点，EF= =3，EF= =b，

所以b=3，双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，可得 =2，

可得： =4，解得a= .则双曲线的方程为： .

答案：A

8.在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°， ， ，则 的值为( )

A.-15

B.-9

C.-6

D.0

解析：不妨设四边形OMAN是平行四边形，

由OM=1，ON=2，∠MON=120°，

知

∴ .

答案：C

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.i是虚数单位，复数 = .

解析： .

答案：4-i

10.已知函数f(x)=e^xlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为 .

解析：函数f(x)=e^xlnx，则f′(x)=exlnx+ ·ex；∴f′(1)=e·ln1+1·e=e.

答案：e

11.如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则四棱锥A₁-BB₁D₁D的体积为 .

解析：由题意可知四棱锥A₁-BB₁D₁D的底面是矩形，边长：1和 ，

四棱锥的高： .则四棱锥A₁-BB₁D₁D的体积为： .

答案：

12.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 .

解析：根据题意画出图形如图所示，

结合图形知经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆，

其圆心为(1，0)，半径为1，则该圆的方程为(x-1)²+y²=1.

答案：(x-1)²+y²=1

13.已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则2^a+ 的最小值为 .

解析：a，b∈R，且a-3b+6=0，可得：3b=a+6，

则2a+ ，

当且仅当 .即a=-3时取等号.函数的最小值为： .

答案：

14.己知a∈R，函数f(x)= 若对任意x∈[-3，+∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是 .

解析：当x≤0时，函数f(x)=x2+2x+a-2的对称轴为x=-1，抛物线开口向上，

要使x≤0时，对任意x∈[-3，+∞)，f(x)≤|x|恒成立，

则只需要f(-3)≤|-3|=3，即9-6+a-2≤3，得a≤2，

当x＞0时，要使f(x)≤|x|恒成立，即f(x)=-x²+2x-2a，则直线y=x的下方或在y=x上，

由-x²+2x-2a=x，即x²-x+2a=0，由判别式△=1-8a≤0，得a≥ ，综上 ≤a≤2.

答案：[ ，2]

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

解析：(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人，2人，2人.

(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果.

(ii)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率.

答案：(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，

∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人，2人，2人.

(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，

{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，

{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个.

(i)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，

来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，

则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，

∴事件M发生的概率P(M)= .

16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B- ).

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.

解析：(Ⅰ)由正弦定理得 ，与bsinA=acos(B- ).由此能求出B.

(Ⅱ)由余弦定理得b= ，由bsinA=acos(B- )，得sinA= ，cosA= ，由此能求出sin(2A-B).

答案：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得 ，得bsinA=asinB，

又bsinA=acos(B- ).∴asinB=acos(B- )，

即 ，

∴tanB= ，又B∈(0，π)，∴B= .

(Ⅱ)在△ABC中，a=2，c=3，B= ，

由余弦定理得b= ，由bsinA=acos(B- )，得sinA= ，

∵a＜c，∴cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cos²A-1= ，

∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= .

17.如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2 ，∠BAD=90°.

(Ⅰ)求证：AD⊥BC；

(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

解析：(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；

(Ⅱ)取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；

(Ⅲ)连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM= ，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

答案：(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，

得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；

(Ⅱ)取棱AC的中点N，连接MN，ND，

∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，

∴∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角，

在Rt△DAM中，AM=1，故DM= ，

∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，

在Rt△DAN中，AN=1，故DN= ，

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN= .

∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ；

(Ⅲ)连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM= ，

又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM 平面ABC，

故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角.

在Rt△CAD中，CD= ，

在Rt△CMD中，sin∠CDM= .

∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .

18.设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n(n∈N^*)；{b_n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T_n(n∈N^*).已知b₁=1，b₃=b₂+2，b₄=a₃+a₅，b₅=a₄+2a₆.

(Ⅰ)求S_n和T_n；

(Ⅱ)若S_n+(T₁+T₂+……+T_n)=a_n+4b_n，求正整数n的值.

解析：(Ⅰ)设等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{bn}的通项公式与前n项和可求；等差数列{an}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S_n；

(Ⅱ)由(Ⅰ)求出T₁+T₂+……+T_n，代入S_n+(T₁+T₂+……+T_n)=a_n+4b_n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值.

答案：(Ⅰ)设等比数列{b_n}的公比为q，由b₁=1，b₃=b₂+2，可得q²-q-2=0.

∵q＞0，可得q=2.故b_n=2^n-1，T_n= ；

设等差数列{a_n}的公差为d，由b₄=a₃+a₅，得a₁+3d=4，

由b₅=a₄+2a₆，得3a₁+13d=16，∴a₁=d=1.故a_n=n，S_n= ；

(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得T₁+T₂+……+T_n=(2¹+2²+…+2ⁿ)-n= -n=2ⁿ⁺¹-n-2.

由Sn+(T₁+T₂+……+T_n)=a_n+4bn，可得 +2ⁿ⁺¹-n-2=n+2ⁿ⁺¹，

整理得：n²-3n-4=0，解得n=-1(舍)或n=4.∴n的值为4.

19.设椭圆 =1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，|AB|= .

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线l：y=kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.

解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知可得 ，又a²=b²+c²，解得a=3，b=2，即可.

(Ⅱ)设点P(x₁，y₁)，M(x₂，y₂)，(x₂＞x₁＞0).则Q(-x₁，-y₁).

由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x₂-x₁=2[x₁-(-x₁)]，x₂=5x₁，

联立方程求出由 可得k.

答案：(1)设椭圆的焦距为2c，

由已知可得 ，又a²=b²+c²，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为： =1，

(Ⅱ)设点P(x₁，y₁)，M(x₂，y₂)，(x₂＞x₁＞0).则Q(-x₁，-y₁).

∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x₂-x₁=2[x₁-(-x₁)]，∴x₂=5x₁，

易知直线AB的方程为：2x+3y=6.

由 可得x₂= ＞0.由 可得 ，

18k²+25k+8=0，解得k=- 或k=- .

由x₂= ＞0.可得k＞- ，故k=- ，

20.设函数f(x)=(x-t₁)(x-t₂)(x-t₃)，其中t₁，t₂，t₃∈R，且t₁，t₂，t₃是公差为d的等差数列.

(Ⅰ)若t₂=0，d=1，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)若d=3，求f(x)的极值；

(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t₂)-6 有三个互异的公共点，求d的取值范围.

解析：(Ⅰ)求出t2=0，d=1时f(x)的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；

(Ⅱ)计算d=3时f(x)的导数，利用导数判断f(x)的单调性，求出f(x)的极值；

(Ⅲ)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t₂)-6 有三个互异的公共点，

等价于关于x的方程f(x)+(x-t₂)-6 =0有三个互异的实数根，

利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围.

答案：(Ⅰ)函数f(x)=(x-t₁)(x-t₂)(x-t₃)，

t₂=0，d=1时，f(x)=x(x+1)(x-1)=x³-x，

∴f′(x)=3x²-1，f(0)=0，f′(0)=-1，

∴y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-0=-1×(x-0)，即x+y=0；

(Ⅱ)d=3时，f(x)=(x-t₂+3)(x-t₂)(x-t₂-3)=(x-t₂)³-9(x-t₂)=x³-3t₂x²+(3t₂²-9)x-t₂³+9t₂；

∴f′(x)=3x²-6t₂x+3t₂²-9，

令f′(x)=0，解得x=t₂- 或x=t₂+ ；

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表；

∴f(x)的极大值为 ，

极小值为 ；

(Ⅲ)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t²)-6 有三个互异的公共点，

等价于关于x的方程(x-t₂+d)(x-t₂)(x-t₂-d)+(x-t₂)-6 =0有三个互异的实数根，

令u=x-t₂，可得u³+(1-d²)u+6 =0；

设函数g(x)=x³+(1-d²)x+6 ，则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t₂)-6 有3个互异的公共点，

等价于函数y=g(x)有三个不同的零点；

又g′(x)=3x²+(1-d²)，

当d²≤1时，g′(x)≥0恒成立，此时g(x)在R上单调递增，不合题意；

当d²＞1时，令g′(x)=0，解得x₁=- ，x₂= ；

∴g(x)在(-∞，x1)上单调递增，在(x₁，x₂)上单调递减，

在(x₂，+∞)上也单调递增；

∴g(x)的极大值为 ；

极小值为g(x₂)= ；

若g(x₂)≥0，由g(x)的单调性可知，

函数g(x)至多有两个零点，不合题意；

若g(x₂)＜0，即 ＞27，解得|d|＞ ，

此时|d|＞x₂，g(|d|)=|d|+6 ＞0，且-2|d|＜x₁；g(-2|d|)=-6|d|³-2|d|+6 ＜0，

从而由g(x)的单调性可知，

函数y=g(x)在区间(-2|d|，x₁)，(x₁，x₂)，(x₂，|d|)内各有一个零点，符合题意；

∴d的取值范围是(-∞，- )∪( ，+∞).