【334275】2018年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学理

2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x||x|＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B=( )

A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{-2，0，1，2}

D.{-1，0，1，2}

解析：∵集合A={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，B={-2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}.

答案：A

2.在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：复数 ，

共轭复数对应点的坐标( )在第四象限.

答案：D

3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )

A.

B.

C.

D.

解析：在执行第一次循环时，k=1，S=1.

在执行第一次循环时，S=1- .由于k=2≤3，

所以执行下一次循环.S= ，k=3，直接输出S= .

答案：B

4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )

A.

B.

C.

D.

解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .

若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为： .

答案：D

5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，

，PC=3，PD= ，可得三角形PCD不是直角三角形.

所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD.

答案：C

6.设 均为单位向量，则“ ”是“ ”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：∵“ ”∴平方得 ，则 =0，即 ，则“ ”是“ ”的充要条件.

答案：C

7.在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ、m变化时，d的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由题意d= ，tanα= ，

∴当sin(θ+α)=-1时，d_max= ≤3.∴d的最大值为3.

答案：C

8.设集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，则( )

A.对任意实数a，(2，1)∈A

B.对任意实数a，(2，1) A

C.当且仅当a＜0时，(2，1) A

D.当且仅当a≤ 时，(2，1) A

解析：当a=-1时，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，-x+y＞4，x+y≤2}，显然(2，1)不满足，-x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；

当a=4，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，4x+y＞4，x-4y≤2}，显然(2，1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.

答案：D

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.设{a_n}是等差数列，且a₁=3，a₂+a₅=36，则{a_n}的通项公式为 .

解析：∵{a_n}是等差数列，且a₁=3，a₂+a₅=36，

∴ 解得a₁=3，d=6，

∴a_n=a₁+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3.∴{a_n}的通项公式为a_n=6n-3.

答案：a_n=6n-3

10.在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a(a＞0)与圆ρ=2cosθ相切，则a= .

解析：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ²=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：(x-1)²+y²=1，

把直线ρ(cosθ+sinθ)=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y-a=0.

由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径.则： =1，

解得：a=1± .a＞0，则负值舍去.故：a=1+ .

答案：1+

11.设函数f(x)=cos(ωx- )(ω＞0)，若f(x)≤f( )对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 .

解析：函数f(x)=cos(ωx- )(ω＞0)，若f(x)≤f( )对任意的实数x都成立，

可得：ω· =2kπ，k∈Z，解得ω=8k+ ，k∈Z，ω＞0，则ω的最小值为： .

答案：

12.若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y-x的最小值是 .

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=2y-x，则y= ，平移y= ，

由图象知当直线y= 经过点A时，

直线的截距最小，此时z最小，

由 得 即A(1，2)，此时z=2×2-1=3.

答案：3

13.能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 .

解析：例如f(x)=sinx，

尽管f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，

当x∈[0， )上为增函数，在( ，2]为减函数.

答案：f(x)=sinx

14.已知椭圆M： (a＞b＞0)，双曲线N： .若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 .

解析：椭圆M： (a＞b＞0)，双曲线N： .若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标(c，0)，正六边形的一个顶点( )，可得： ，可得 ，可得e⁴-8e²+4=0，e∈(0，1)，解得e= -1.

同时，双曲线的渐近线的斜率为 ，即 ，

可得： =3，即 =4，可得双曲线的离心率为e= =2.

答案： -1；2

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程。

15.在△ABC中，a=7，b=8，cosB= .

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)求AC边上的高.

解析：(Ⅰ)由正弦定理结合大边对大角进行求解即可.

(Ⅱ)利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可.

答案：(Ⅰ)∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，

∵cosB= ，∴sinB= ，

由正弦定理得 得sinA= ，则A= .

(Ⅱ)由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，

即64=49+c²+2×7×c× ，即c²+2c-15=0，

得(c-3)(c+5)=0，得c=3或c=-5(舍)，

则AC边上的高h=csinA=3× .

16.如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA₁，AC，A₁C₁，BB₁的中点，AB=BC= ，AC=AA₁=2.

(I)求证：AC⊥平面BEF；

(Ⅱ)求二面角B-CD-C₁的余弦值；

(Ⅲ)证明：直线FG与平面BCD相交.

解析：(I)证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF；

(II)建立坐标系，求出平面BCD的法向量 ，通过计算 与 的夹角得出二面角的大小；

(III)计算 与 的数量积即可得出结论.

答案：(I)∵E，F分别是AC，A₁C₁的中点，∴EF∥CC₁，

∵CC₁⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，

又AC 平面ABC，∴EF⊥AC，

∵AB=BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC，

又BE∩EF=E，BE 平面BEF，EF 平面BEF，∴AC⊥平面BEF.

(II)以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

则B(2，0，0)，C(0，1，0)，D(0，-1，1)，

∴ =(-2，1，0)， =(0，-2，1)，

设平面BCD的法向量为n=(x，y，z)，则 即 令y=2可得 =(1，2，4)，又EB⊥平面ACC₁A₁，

∴EB=(2，0，0)为平面CD-C₁的一个法向量，

∴cos .

由图形可知二面角B-CD-C₁为钝二面角，∴二面角B-CD-C₁的余弦值为- .

(III)F(0，0，2)，G(2，0，1)，∴ =(2，0，-1)，

∴ =2+0-4=-2≠0，∴ 与 不垂直，

∴ 与平面BCD不平行，又FG 平面BCD，∴FG与平面BCD相交.

17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξ_k=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξ_k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1，2，3，4，5，6).写出方差Dξ₁，Dξ₂，Dξ₃，Dξ₄，Dξ₅，Dξ₆的大小关系.

解析：(Ⅰ)先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解.

(Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率.

(Ⅲ)由题意知，定义随机变量如下：ξ_k= 则ξ_k服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ₁，Dξ₂，Dξ₃，Dξ₄，Dξ₅，Dξ₆的大小关系.

答案：(Ⅰ)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，

总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，

第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，

∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：

P(A)= =0.025.

(Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，

第四类获得好评的有：200×0.25=50部，

第五类获得好评的有：800×0.2=160部，

则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：

P(B)= =0.35.

(Ⅲ)由题意知，定义随机变量如下：

ξ_k= ，则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：

第一类电影：

E(ξ₁)=1×0.4+0×0.6=0.4，

D(ξ₁)=(1-0.4)²×0.4+(0-0.4)²×0.6=0.24.

第二类电影：

E(ξ₂)=1×0.2+0×0.8=0.2，

D(ξ₂)=(1-0.2)²×0.2+(0-0.2)²×0.8=0.16.

第三类电影：

E(ξ₃)=1×0.15+0×0.85=0.15，

D(ξ₃)=(1-0.15)²×0.15+(0-0.85)²×0.85=0.1275.

第四类电影：

E(ξ⁴)=1×0.25+0×0.75=0.15，

D(ξ⁴)=(1-0.25)²×0.25+(0-0.75)²×0.75=0.1875.

第五类电影：

E(ξ₅)=1×0.2+0×0.8=0.2，

D(ξ₅)=(1-0.2)²×0.2+(0-0.2)²×0.8=0.16.

第六类电影：

E(ξ₆)=1×0.1+0×0.9=0.1，

D(ξ₆)=(1-0.1)²×0.1+(0-0.1)²×0.9=0.09.

∴方差Dξ₁，Dξ₂，Dξ₃，Dξ₄，Dξ₅，_Dξ₆的大小关系为：Dξ₆＜Dξ₃＜Dξ₂=Dξ₅＜Dξ₄＜Dξ₁.

18.设函数f(x)=[ax²-(4a+1)x+4a+3]e^x.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

(Ⅲ)求证：EF∥平面PCD.

解析：(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(1)=0，解方程可得a的值；

(Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a=0，a= ，a＞ ，0＜a＜ ，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围.

答案：(Ⅰ)函数f(x)=[ax²-(4a+1)x+4a+3]ex的导数为f′(x)=[ax²-(2a+1)x+2]e^x.

由题意可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0，

可得(a-2a-1+2)e=0，解得a=1；

(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax²-(2a+1)x+2]e^x=(x-2)(ax-1)e^x，

若a=0则x＜2时，f′(x)＞0，f(x)递增；x＞2，f′(x)＜0，f(x)递减.

x=2处f(x)取得极大值，不符题意；

若a＞0，且a= ，则f′(x)= (x-2)²e^x≥0，f(x)递增，无极值；

若a＞ ，则 ＜2，f(x)在(1a，2)递减；在(2，+∞)，(-∞， )递增，

可得f(x)在x=2处取得极小值；

若0＜a＜ ，则 ＞2，f(x)在(2， )递减；在( ，+∞)，(-∞，2)递增，

可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意；

若a＜0，则 ＜2，f(x)在( ，2)递增；在(2，+∞)，(-∞， )递减，

可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意，

综上可得，a的范围是( ，+∞).

19.已知抛物线C：y²=2px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

(Ⅱ)设O为原点， 求证： 为定值.

解析：(Ⅰ)将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k的取值范围；

(Ⅱ)根据向量的共线定理即可求得λ=1-y_M，μ=1-y_N，求得直线PA的方程，令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得 为定值.

答案：(Ⅰ)∵抛物线C：y²=2px经过点，

P(1，2)，∴4=2p，解得p=2，

设过点(0，1)的直线方程为y=kx+1，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂) ，

联立方程组可得 消y可得k²x²+(2k-4)x+1=0，

∴△=(2k-4)²-4k²＞0，且k≠0解得k＜1，

且k≠0，

故直线l的斜率的取值范围(-∞，0)∪(0，1)；

(Ⅱ)设点M(0，y_M)，N(0，y_N)，

则 =(0，y_M-1)， =(0，-1)，

因为 ，所以y_M-1=-y_M-1，故λ=1-y_M，同理μ=1-y_N，

直线PA的方程为 ，

令x=0，得y_M=2y₁2+y₁，同理可得y_N=2y₂2+y₂，

因为

，

∴ 为定值.

20.设n为正整数，集合A={α|α=(t₁，t₂，…t_n)，t_k∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=(x₁，x₂，…，x_n)和β=(y₁，y₂，…y_n)，记M(α，β)= [(x₁+y₁-|x₁-y₁|)+(x₂+y₂-|x₂-y₂|)+…(x_n+y_n-|x_n-y_n|)].

(Ⅰ)当n=3时，若α=(1，1，0)，β=(0，1，1)，求M(α，α)和M(α，β)的值；

(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α，β)是奇数；当α，β不同时，M(α，β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值；

(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α，β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

解析：(Ⅰ)直接根据定义计算.

(Ⅱ)注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明.

(Ⅲ)根据抽屉原理即可得证.

答案：(I)M(a，a)=2，M(a，β)=1.

(II)考虑数对(x_k，y_k)只有四种情况：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)，相应的

分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：

(1，0，0，0)、(0，1，0，0)、(0，0，1，0)、(0，0，0，1)，

(0，1，1，1)、(1，0，1，1)、(1，1，0，1)、(1，1，1，0)，

对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α，β)是偶数，

所以四元集合B={(1，0，0，0)、(0，1，0，0)、(0，0，1，0)、(0，0，0，1)}满足 题意，

假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，

除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，

则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α，β)=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4.

(Ⅲ)B={(0，0，0，…0)，(1，0，0…，0)，(0，1，0，…0)，(0，0，1…0)…，

(0，0，0，…，1)}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大.

对于任意两个不同的元素α，β，满足M(α，β)=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=(0，0，0，…，0)与任意元素β都有M(α，β)=0，所以除(0，0，0，…，0)外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi=yi=l，此时M(α，β)≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素.