【334344】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅱ卷

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【334344】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅱ卷

时间：2025-01-21 18:04:31 作者：字数：13449字

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学校：姓名：班级：考号：

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153732-2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国新课标Ⅱ卷)-网络收集版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	四	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．已知，则（）

A．0 B．1 C． D．2

2．已知命题p：，；命题q：，，则（）

A．p和q都是真命题B．和q都是真命题

C．p和都是真命题D．和都是真命题

3．已知向量a，b满足，且，则（）

A． B． C． D．1

4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻.得到各块稻田的亩产量（单位：）并整理下表

亩产量	[900,950)	[950,1 000)	[1 000,1 050)	[1 050,1 100)	[1 100,1 150)	[1 150,1 200)
频数	6	12	18	30	24	10

根据表中数据，结论中正确的是（）

A．100块稻田亩产量的中位数小于1

B．100块稻田亩产量低于1 的稻田所占比例超过

C．100块稻田亩产量的极差介于至之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于至1 之间

5．已知曲线C：x²＋y²＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（）

A．

B．

C．

D．

6．设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（）

A．-1 B． C．1 D．

7．已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（）

A． B．1

C．2D．3

8．设函数，若，则的最小值为（）

A． B． C． D．1

二、多选题

9．对于函数和 π ,下列正确的有（）

A．与有相同零点

B．与有相同最大值

C．与有相同的最小正周期

D．与的图象有相同的对称轴

10．抛物线的准线为为l上的动点，对作的一条切线，有切点，对作l的垂线，垂足为，则（）

A．与相切

B．当，，三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

11．设函数，则（）

A．当时，有一个零点

B．当时是的极大值点

C．存在使得为曲线的对称轴

D．存在使得点为曲线的对称中心

三、填空题

12．记为等差数列的前项和，若 ,则　　　　．

13．已知 $ alpha $ 为第一象限角， $ beta $ 为第三象限角， $ tan alpha + tan beta =4 $ ， $ tan alpha tan beta =sqrt{2}+1 $ ,则 $ sin (alpha +beta )= $ .

14．在右图的4*4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共

有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．

四、解答题

15．记的内角的对边分别为 ,已知 ,

（1）求；

（2） , ，求的周长．

16．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

17．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．

(1)证明：；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．

(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

(2)假设，

（）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19．己知双曲线 .点在上，为常数， .按照如下方式依次构造点 .过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为 .

(1)若 ,求；

(2)证明：数列是公比为的等比数列；

(3)设为的面积，证明：对任意的正整数 .

参考答案

一、单选题

1. C

2. B

对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，

对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，

综上，和都是真命题.

故选B.

3. B

将条件二平方得 ,由条件三得 ,所以 .

4. C

5. A

设点，则．

因为为的中点，所以，即．

又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为．故选A．

6. D

，因为右边是偶函数，所以要使只有一个交点就只能是在处相切，于是直接代入得 .

7. B　

设正三棱台的高为 ∵ ，，∴ ， ∵正三棱台的体积 (S_△_ABC+ )h= ×(9 )h= ，∴

如图，设和的中心分别为，，连接，，，作平面交平面于点，由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形，其中即为直线与平面所成的角由，，可得， (提示:边长为的正三角形的中心到各顶点的距离为 a)，∴ ，∴ 故选B．

8. C

当时 ,当时 ,当时当时 ,所以要恒非负，必须 ,即 .所以 ,当时取等.

二、多选题

9. BC

错，代便知：

B显然对，两者值域相同：

C显然对，两者最小正周期都为 π ;

D错，前者对称轴为 ππ ,后者是 ππ .

10. ABD

正确；B正确； ,当共线时 ,

于是，错，当时易知， ,易知与并不垂直，D正确，

焦点 ,则等价于在AF的中垂线上，该线的方程为 ,易知它与抛物线有两交点.

11. AD

求导得 ,于是A正确，当时，极大值 ,极小值 ,所以必有三个零点，B错，时应为极小值点，C错；任何三次函数不存在对称轴，D正确，当时 ,关于中心对称.

三、填空题

12. 95

设 ,则由条件得 ,解得 ,则 .

13. $ -dfrac{2sqrt{2}}{3} $

$ because tan alpha + tan beta =4 $ , $ tan alpha cdot tan beta =sqrt{2}+1 $ ,

$ therefore tan (alpha +beta )=dfrac{ tan alpha + tan beta }{1- tan alpha tan beta }=dfrac{4}{-sqrt{2}}=-2sqrt{2} $ .

$ because 2{k}_{1}mathrm{pi } < alpha < 2{k}_{1}mathrm{pi }+dfrac{mathrm{pi }}{2} $ ， $ {k}_{1}in boldsymbol{Z} $ ,

$ 2{k}_{2}mathrm{pi }+mathrm{pi } < beta < 2{k}_{2}mathrm{pi }+dfrac{3mathrm{pi }}{2} $ ， $ {k}_{2}in boldsymbol{Z} $ ,

$ therefore 2({k}_{1}+{k}_{2})mathrm{pi }+mathrm{pi } < alpha +beta < 2({k}_{1}+{k}_{2})mathrm{pi }+2mathrm{pi } $ ， $ {k}_{1} $ ， $ {k}_{2}in boldsymbol{Z} $ , $ therefore sin (alpha +beta ) < 0 $ .

$ because begin{cases}dfrac{ sin (alpha +beta )}{ cos (alpha +beta )}= tan (alpha +beta ),\ { sin }^{2}(alpha +beta )+{ cos }^{2}(alpha +beta )=1,end{cases} $

$ therefore sin (alpha +beta )=-dfrac{2sqrt{2}}{3} $ .

14. 24；112

第一空是 ;