【334344】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国新课标Ⅱ卷

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153732-2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国新课标Ⅱ卷)-网络收集版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．已知 ，则 （      ）

A．0 B．1 C． D．2

2．已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（      ）

A．p和q都是真命题B． 和q都是真命题

C．p和 都是真命题D． 和 都是真命题

3．已知向量a，b满足 ， 且 ，则 （      ）

A． B． C． D．1

4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻.得到各块稻田的亩产量（单位： ）并整理下表

根据表中数据，结论中正确的是（      ）

A．100块稻田亩产量的中位数小于1

B．100块稻田亩产量低于1 的稻田所占比例超过

C．100块稻田亩产量的极差介于 至 之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于 至1 之间

5．已知曲线C：x²＋y²＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（      ）

A．     

B．

C．     

D．

6．设函数 ，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （      ）

A．-1 B． C．1 D．

7．已知正三棱台 的体积为 ，， ，则 与平面 所成角的正切值为     （      ）

A． B．1

C．2D．3

8．设函数 ，若 ，则 的最小值为（      ）

A． B． C． D．1

二、多选题

9．对于函数 和 π ,下列正确的有（      ）

A． 与 有相同零点

B． 与 有相同最大值

C． 与 有相同的最小正周期

D． 与 的图象有相同的对称轴

10．抛物线 的准线为 为l上的动点，对 作 的一条切线， 有切点，对 作l的垂线，垂足为 ，则（      ）

A． 与 相切

B．当 ，， 三点共线时，

C．当 时，

D．满足 的点 有且仅有2个

11．设函数 ，则（      ）

A．当 时， 有一个零点

B．当 时 是 的极大值点

C．存在 使得 为曲线 的对称轴

D．存在 使得点 为曲线 的对称中心

三、填空题

12．记 为等差数列 的前 项和，若 ,则 　　　　．

13．已知 $ alpha $ 为第一象限角， $ beta $ 为第三象限角， $ tan alpha + tan beta =4 $ ， $ tan alpha tan beta =sqrt{2}+1 $ ,则 $ sin (alpha +beta )= $           .

14．在右图的4*4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共

有       种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是        ．

四、解答题

15．记 的内角 的对边分别为 ,已知 ,

（1）求 ；

（2） , ，求 的周长．

16．已知函数 ．

(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；

(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

17．如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．

(1)证明： ；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立．

(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

(2)假设 ，

（） 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（） 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19．己知双曲线 .点 在 上， 为常数， .按照如下方式依次构造点 .过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .

(1)若 ,求 ；

(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；

(3)设 为 的面积，证明：对任意的正整数 .

参考答案

一、单选题

1. C

.

2. B

对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，

对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，

综上， 和 都是真命题.

故选B.

3. B

将条件二平方得 ,由条件三得 ,所以 .

4. C

5. A

设点 ，则 ．

因为 为 的中点，所以 ，即 ．

又 在圆 上，所以 ，即 ，即点 的轨迹方程为 ．故选A．

6. D

，因为右边是偶函数，所以要使只有一个交点就只能是在 处相切，于是直接代入 得 .

7. B　

设正三棱台 的高为 ∵ ， ，∴ ， ∵正三棱台 的体积 (S_△ABC+ )h= ×(9 )h= ，∴

如图，设 和 的中心分别为 ， ，连接 ，， ，作 平面 交平面 于点 ，由几何体 为正三棱台可知，点 在 上，且四边形 为矩形，其中 即为直线 与平面 所成的角 由 ， ，可得 ， (提示:边长为 的正三角形的中心到各顶点的距离为 a)，∴ ，∴ 故选B．

8. C

当 时 ,当 时 ,当 时 当 时 ,所以要 恒非负，必须 ,即 .所以 ,当 时取等.

二、多选题

9. BC

错，代 便知：

B显然对，两者值域相同：

C显然对，两者最小正周期都为 π ;

D错，前者对称轴为 ππ ,后者是 ππ .

10. ABD

正确；B正确； ,当 共线时 ,

于是 ， 错，当 时易知， ,易知 与 并不垂直，D正确，

焦点 ,则 等价于 在AF的中垂线上，该线的方程为 ,易知它与抛物线有两交点.

11. AD

求导得 ,于是A正确，当 时，极大值 ,极小值 ,所以必有三个零点，B错， 时 应为极小值点，C错；任何三次函数不存在对称轴，D正确，当 时 ,关于 中心对称.

三、填空题

12. 95

设 ,则由条件得 ,解得 ,则 .

13. $ -dfrac{2sqrt{2}}{3} $

$ because tan alpha + tan beta =4 $ , $ tan alpha cdot tan beta =sqrt{2}+1 $ ,

$ therefore tan (alpha +beta )=dfrac{ tan alpha + tan beta }{1- tan alpha tan beta }=dfrac{4}{-sqrt{2}}=-2sqrt{2} $ .

$ because 2{k}_{1}mathrm{pi } < alpha < 2{k}_{1}mathrm{pi }+dfrac{mathrm{pi }}{2} $ ， $ {k}_{1}in boldsymbol{Z} $ ,

$ 2{k}_{2}mathrm{pi }+mathrm{pi } < beta < 2{k}_{2}mathrm{pi }+dfrac{3mathrm{pi }}{2} $ ， $ {k}_{2}in boldsymbol{Z} $ ,

$ therefore 2({k}_{1}+{k}_{2})mathrm{pi }+mathrm{pi } < alpha +beta < 2({k}_{1}+{k}_{2})mathrm{pi }+2mathrm{pi } $ ， $ {k}_{1} $ ， $ {k}_{2}in boldsymbol{Z} $ , $ therefore sin (alpha +beta ) < 0 $ .

$ because begin{cases}dfrac{ sin (alpha +beta )}{ cos (alpha +beta )}= tan (alpha +beta ),\ { sin }^{2}(alpha +beta )+{ cos }^{2}(alpha +beta )=1,end{cases} $

$ therefore sin (alpha +beta )=-dfrac{2sqrt{2}}{3} $ .

14. 24；112

第一空是 ;

第二空最大为 .

四、解答题

15. （1） π ；（2） .

(1) π ，

πππ

(2)

ππ ，

周长 .

16. (1) ；(2) .

(1)当 时，则 ， ，

可得 ， ，

即切点坐标为 ，切线斜率 ，

所以切线方程为 ，即 .

(2)解法一：因为 的定义域为 ，且 ，

若 ，则 对任意 恒成立，

可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；

若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；

可知 在 内单调递减，在 内单调递增，

则 有极小值 ，无极大值，

由题意可得： ，即 ，

构建 ，则 ，

可知 在 内单调递增，且 ，

不等式 等价于 ，解得 ，

所以a的取值范围为 ；

解法二：因为 的定义域为 ，且 ，

若 有极小值，则 有零点，

令 ，可得 ，

可知 与 有交点，则 ，

若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；

可知 在 内单调递减，在 内单调递增，

则 有极小值 ，无极大值，符合题意，

由题意可得： ，即 ，

构建 ，

因为则 在 内单调递增，

可知 在 内单调递增，且 ，

不等式 等价于 ，解得 ，

所以a的取值范围为 .

17. (1)证明见解析(2)

（1）由 ，

得 ，又 ，在 中，

由余弦定理得 ,

所以 ，则 ，即 ，

所以 ，又 、 平面 ，

所以 平面 ，又 平面 ，

故 ；

（2）连接 ，由 ，则 ，

在 中， ，得 ，

所以 ，由（1）知 ，又 、 平面 ，

所以 平面 ，又 平面 ，

所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，

则 ，

由 是 的中点，得 ，

所以 ，

设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，

则 ， ，

令 ，得 ，

所以 ，

所以 ，

设平面 和平面 所成角为 ，则 ，

即平面 和平面 所成角的正弦值为 .

18. (1) (2) （） 由甲参加第一阶段比赛； （） 由甲参加第一阶段比赛  

（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，

比赛成绩不少于5分的概率 .

（）（） 若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 _甲 ，

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 _乙 ，

，

_甲乙

，

_甲乙 ，应该由甲参加第一阶段比赛.

若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，

，

，

，

，

.

若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，

同理

，

， ， ，

，

应该由甲参加第一阶段比赛.

19. 见详解

(1) 在 上，

过 且斜率为 的直线方程为 ,即

， 或 ，，

(2) 关于 轴的对称点是 ,而 ，

而 都在同一条斜率为 的直线上， ，