【334351】2024年上海市高考数学试卷

绝密★启用前

153731-2024年上海市高考数学试卷-网络收集版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、填空题

1．设全集 ,集合 ,求       .

2．已知 ，       .

3． 的解集为      .

4．已知 ,已知 是奇函数，       .

5．已知 ，且 ，则 的值为      ．

6．在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则               ．

7．已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么 到 轴的距离为      .

8．某校举办科学竞技比赛，有 ， ， 种题库， 题库有5000道题， 题库有4000道题， 题库有3000道题.小申已完成所有题，他 题库的正确率是0.92， 题库的正确率是0.86， 题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率

是      .

9．已知虚数 ,其实部为1,且 ,则实数 为      .

10．设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值      .

11．已知 在 正东方向， 在 的正北方向， 到 ， 距离相等， ，， 则       (精确到0.1度).

12．等比数列 首项 ,记 ,若对任意正整数 是闭区间，则 的范围是      .

二、单选题

13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（      ）

A．气候温度高，海水表层温度就高

B．气候温度高，海水表层温度就低

C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

14．下列函数 的最小正周期是 π 的是（      ）

A． B．

C． D．

15．定义一个集合 ,集合元素是空间内的点集，任取 ,存在不全为0的实数 ,使得 .已知 ,则 的充分条件是（      ）

A． B．

C． D．

16．定义集合 ,在使得 的所有 中，下列成立的是（      ）

A． 是偶函数 B． 在 处取最大值

C． 严格增 D． 在 处取到极小值

三、解答题

17．如图为正四棱锥    为底面 的中心.

（1）若 , 求    绕   旋转一周形成的几何体的体积；

（2）若 ， 为    的中点，求直线   与平面   所成角的大小

18．若 .

(1) 过 , 求 的解集；

(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围，

19．为了解某地初中学生体育般炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体有锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

(1)该地区29000名学生中体育鞭炼时长大于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确列0.1)。

(3)是否有0.95的把握认为学业成绩优秀与日均体有鞭炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

20．双曲线 为左右顶点，过点 的直线 交 双曲线 于两点 , 且点 在第一象限，

（1） 时，求

（2） 为等腰三角形时，求点 的坐标.

(3)过点 作 ，延长线交 于点 , 若 , 求 取值范围.

21．对于一个函数 和一个点 ,令 ,若 是 取到最小值的点，则称 是 在 的最近点.

(1)对于 ,求证：对于点 ,存在点 ,使得 是 在 的最近点；

(2)对于 ,请判断是否存在一个点 ,它是 在 最近点，且直线 与 在点 处的切线垂直；

(3)题干缺失

参考答案

一、填空题

1.

2.

3.

4. 0

由题可知， ,则 .

5. 15

， ，解得 ．

故答案为：15．

6. 5

令 ，所以 ，即 ，解得 ，

故答案为：5．

7.

设 坐标为 到准线的距离为9，即 ,代入抛物线方程，可得 ,则 到 轴的距离为 .

8.

由题可知， 题库占比为 题库占比为 题库占比为 .

9. 2

由题意设 , , , ,解得 , .

10. 329

由题可知，集合 中每个元素都互异的，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数.先研究集合中无重复数字的三位偶数：

(1)若个位为0，这样的偶数有 种；

(2)若个位不为0，这样的偶数有 种；

所以集合元素个数最大值为 种.

11.

不妨设 ,则 ，

所以在 中, ①.

在 中， ②，

在 中， ③，

①②③联立得 .

12.

由题不妨设 ,若 , 均在 ,则有 ,若 , 均在 ,则有 ,若 , 分别在两个区间则 ,又因为 ,总有 是闭区间，则 恒成立即可，化简得 ,所以有 恒成立.

二、单选题

13. D

由于相关系数表示一个变量变化对另一个变量变化趋势的影响，

所以随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势.

故选：D

14. A

对于 π ,则 π ,满足条件，故 正确；对于B, ,则 ππ ,不满足条件，故 错误；对于C, ,为常值函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故 错误；对于D, , ππ ,不满足条件，故 错误.故答案选 .

15. C

因为 不全为0， ,所以三个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为 ,所以对于 ,三者可以构成一组基，故不能推出 ,故 错误；对于 ,若 均属于 ,且 共线，所以 可以属于 ,此时三者不共面，故 错误；对于 ,显然，三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出 ,故 正确；

对于D,三者无法构成一组基，故不能推出 ,故 错误.故答案选 .

16. D

时， ,又因为 ,所以 ,当 且 时， 恒成立，说明在 上，函数单调递增，故 错误；

对于B, 且在 上，函数单调递增，故函数在 上最大值为 ,若函数 在 时， ,则 的集合不会是 ,所以在1处取到极大值，在2处不一定取最大值，故 错误；对于 ,在 时，若函数 严格增，则集合 的取值不会是 ,而是全体定义域，故 错误；

对于 , 因为当 时， , 所以-1左侧不是单调递减，若左侧单调递增，或者在某一段单调递增，则 的集合不会是 ,所以在-1左侧相邻一段是常函数，又因为在 上，函数单调递增，故 正确.

三、解答题

17. （1） π ；（2） π

（1）因为 是正四棱锥，所以底面 是正方形，且 底面 ,

因为 , 所以 ,

因为 , 所以 ,

所以 绕 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，

所以 _圆锥ππ .

（2）如图建立空间直角坐标系，因为 , 由题知 是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，

设 , 则 ,

则可得 ,

故

设 为平面 的法向量，则

令 , , 所以 ,

则 ,

设直线   与面   所成角为 , 因为 π , 所以 π .

18. (1) ; (2)

(1)由 过 可得 , 则 , 又 , 故 ,

因为 在 上是严格增函数，

, 所以解集为 .

(2)因为 成等差数列，所以 ,

即 有解，化简可得 ,

得 ，

且 ， 则 在 上有解，

又 , 故在

,

即 或 , 又 , 所以 .

19. (1)12500人；(2)0.9h:(3)学业成绩与吸炼时长不小于1小时且小于2两小时有关

（1）580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比 ，

该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为 人.

(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为：

(3)

①提出原假设 成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关。

②确定显著性水平

③ .

④否定原假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.

20. (1) ; (2) ; (3)

(1)因为 , 即 , 所以 . 因为 , 所以 .

因为 , 所以 , 所以 (负舍)

(2)因为 为等腰三角形，

①若 为底，则点 在直线 时 ，与 在第一象限矛盾，故舍去,

②若 为底，则 , 矛盾，故舍去,

③若   为底，则 , 设 .

则 ,即 ,又因为 ,

得 ,得 , ,即 .

(3)由 ,设 ,则 ,设直线

联立 .得 ,

则 . ,又由 ,

得 ，即 ,

即 ,

化简后可得到 ,

再由韦达定理得 ,化简： ,

所以 得 ,又 ,得 .

21. (1)见解析;(2)存在点 使直线 在点 处的切线垂直;(3)略

(1)证明： ,当且仅当 即 时取到最小值，所以对于点 存在点 使得 是 在 的最近点；

(2)

所以当 时， 取到最小值，此时点 在点 处的切线为 ,此时 ,所以存在点 使直线 于 在点 处的切线垂直.