2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩(C_RB)=( )

A.{x|0＜x≤1}

B.{x|0＜x＜1}

C.{x|1≤x＜2}

D.{x|0＜x＜2}

解析：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，∴C_RB={x|x＜1}，∴A∩(C_RB)={x|0＜x＜1}.

答案：B

2.设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为( )

A.6

B.19

C.21

D.45

解析：由变量x，y满足约束条件 得如图所示的可行域，由 解得A(2，3).

当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值.将其代入得z的值为21.

答案：C

3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：若输入N=20，

则i=2，T=0， =10是整数，满足条件.T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，

循环， 不是整数，不满足条件.i=3+1=4，i≥5不成立，

循环， =5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2.

答案：B.

4.设x∈R，则“ ”是“x³＜1”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由 可得 ，解得0＜x＜1，

由x³＜1，解得x＜1，故“ ”是“x³＜1”的充分不必要条件.

答案：A

5.已知a=log₂e，b=ln2，c= ，则a，b，c的大小关系为( )

A.a＞b＞c

B.b＞a＞c

C.c＞b＞a

D.c＞a＞b

解析：a=log₂e＞1，0＜b=ln2＜1， ，则a，b，c的大小关系c＞a＞b.

答案：D

6.将函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数( )

A.在区间[ ]上单调递增

B.在区间[ ，π]上单调递减

C.在区间[ ]上单调递增

D.在区间[ ，2π]上单调递减

解析：将函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，

增区间满足： ，k∈Z，

减区间满足： ，k∈Z，

∴增区间为[ ]，k∈Z，

减区间为[ ]，k∈Z，

∴将函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，

所得图象对应的函数在区间[ ]上单调递增.

答案：A

7.已知双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d₁和d₂，且d₁+d₂=6，则双曲线的方程为( )

A.

B.

C.

D.

解析：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y= x，即bx-ay=0，F(c，0)，

AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，

F是AB的中点，EF= =3，EF= =b，

所以b=3，双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，可得 =2，

可得： =4，解得a= .则双曲线的方程为： .

答案：C

8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则 的最小值为( )

A.

B.

C.

D.3

解析：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，

∴AN=ABcos60°= ，BN=ABsin60°= ，∴DN=1+ ，∴BM= ，

∴CM=MBtan30°= ，∴DC=DM+MC= ，

∴A(1，0)，B( )，C(0， )，设E(0，m)，

∴ ，

∴ ，

当m= 时，取得最小值为 .

答案：A

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.i是虚数单位，复数 = .

解析： .

答案：4-i

10.在(x- )⁵的展开式中，x²的系数为 .

解析：(x- )⁵的二项展开式的通项为T_r+1=C₅^r·x^5-r· .

由 =2，得r=2.∴x²的系数为 .

答案：

11.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为 .

解析：正方体的棱长为1，M-EFGH的底面是正方形的边长为： ，

四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为 ，四棱锥M-EFGH的体积： .

答案：

12.已知圆x²+y²-2x=0的圆心为C，直线 (t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为 .

解析：圆x²+y²-2x=0化为标准方程是(x-1)²+y²=1，圆心为C(1，0)，半径r=1；

直线 化为普通方程是x+y-2=0，

则圆心C到该直线的距离为d= ，

弦长|AB|= ，

∴△ABC的面积为 .

答案：

13.已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则2^a+ 的最小值为 .

解析：a，b∈R，且a-3b+6=0，可得：3b=a+6，

则 ，

当且仅当2^a= .即a=-3时取等号.函数的最小值为： .

答案：

14.已知a＞0，函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 .

解析：当x≤0时，由f(x)=ax得x²+2ax+a=ax，得x²+ax+a=0，得a(x+1)=-x²，得a= ，

设g(x)= ，则g′(x)= ，

由g(x)＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，

由g(x)＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g(x)取得极小值为g(-2)=4，

当x＞0时，由f(x)=ax得-x²+2ax-2a=ax，得x²-ax+2a=0，得a(x-2)=x²，当x=2时，方程不成立，

当x≠2时，a= ，设h(x)= ，则h′(x)= ，

由h(x)＞0得x＞4，此时递增，

由h(x)＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h(x)取得极小值为h(4)=8，

要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8.

答案：(4，8)

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B- ).

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.

解析：(Ⅰ)由正弦定理得 ，与bsinA=acos(B- ).由此能求出B.

(Ⅱ)由余弦定理得b= ，由bsinA=acos(B- )，得sinA= ，cosA= ，由此能求出sin(2A-B).

答案：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得 ，得bsinA=asinB，

又bsinA=acos(B- ).∴asinB=acos(B- )，

即 ，

∴tanB= ，又B∈(0，π)，∴B= .

(Ⅱ)在△ABC中，a=2，c=3，B= ，

由余弦定理得b= ，由bsinA=acos(B- )，得sinA= ，

∵a＜c，∴cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cos²A-1= ，

∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= .

16.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

解析：(Ⅰ)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；

(Ⅱ)若(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；

(ii)利用互斥事件的概率求解即可.

答案：(Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.人数比为：3：2：2，

从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人.

(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，

随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=k)= ，k=0，1，2，3.所以随机变量的分布列为：

随机变量X的数学期望E(X)= ；

(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，

设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= .所以事件A发生的概率： .

17.如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.

(Ⅰ)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；

(Ⅱ)求二面角E-BC-F的正弦值；

(Ⅲ)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

解析：(Ⅰ)依题意，以D为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向 量及 ，由 ，结合直线 平面CDE，可得MN∥平面CDE；

(Ⅱ)分别求出平面BCE与平面平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-BC-F的正弦值；

(Ⅲ)设线段DP的长为h，(h∈[0，2])，则点P的坐标为(0，0，h)，求出 =(-1，-2，h)，而 =(0，2，0)为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平面ADGE所成的角为60°，可得线段DP的长.

答案：(Ⅰ)依题意，以D为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M(0， ，1)，N(1，0，2).

设 =(x，y，z)为平面CDE的法向量，

则 不妨令z=-1，可得 =(1，0，-1)；

又MN=(1，- ，1)，可得 =0.

又∵直线MN 平面CDE，∴MN∥平面CDE；

(Ⅱ)依题意，可得 =(-1，0，0)， =(1，-2，2)， =(0，-1，2).

设n=(x，y，z)为平面BCE的法向量，

则 不妨令z=1，可得 =(0，1，1).

设 =(x，y，z)为平面BCF的法向量，

则 不妨令z=1，可得 =(0，2，1).

因此有cos ，于是sin .

∴二面角E-BC-F的正弦值为 ；

(Ⅲ)设线段DP的长为h，(h∈[0，2])，则点P的坐标为(0，0，h)，

可得 =(-1，-2，h)，而 =(0，2，0)为平面ADGE的一个法向量，

故 .

由题意，可得 ，解得h= ∈[0，2].∴线段DP的长为 .

18.设{a_n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S_n(n∈N^*)，{b_n}是等差数列.已知a₁=1，a₃=a₂+2，a₄=b₃+b₅，a₅=b₄+2b₆.

(Ⅰ)求{a_n}和{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{S_n}的前n项和为T_n(n∈N^*)，

(i)求T_n；

(ii)证明 (n∈N^*).

解析：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{a_n}的通项公式可求；等差数列{b_n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；

(Ⅱ)(i)由等比数列的前n项和公式求得S_n，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{S_n}的前n项和为T_n；

(ii)化简整理 ，再由裂项相消法证明结论.

答案：(Ⅰ)设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁=1，a₃=a₂+2，可得q²-q-2=0.

∵q＞0，可得q=2.故a_n=2^n-1.设等差数列{b_n}的公差为d，由a₄=b₃+b₅，得b₁+3d=4，

由a₅=b₄+2b₆，得3b₁+13d=16，∴b₁=d=1.故b_n=n；

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)，可得S_n= =2ⁿ-1，

故T_n= ；

(ii)∵ .

∴ .

19.设椭圆 =1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为(b，0)，且|FB|·|AB|=6 .

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线l：y=kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若 sin∠AOQ(O为原点)，求k的值.

解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a、b的值，再写出椭圆的方程；

(Ⅱ)设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及k的值.

答案：(Ⅰ)设椭圆 =1(a＞b＞0)的焦距为2c，由椭圆的离心率为e= ，∴ ；

又a²=b²+c²，∴2a=3b，由|FB|=a，|AB|= b，且|FB|·|AB|=6 ；

可得ab=6，从而解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为 =1；

(Ⅱ)设点P的坐标为(x₁，y₁)，点Q的坐标为(x₂，y₂)，由已知y₁＞y₂＞0；

∴|PQ|sin∠AOQ=y₁-y₂；

又|AQ|= ，且∠OAB= ，∴|AQ|=2y，由 sin∠AOQ，可得5y₁=9y₂；

由方程组 消去x，可得y₁= ，∴直线AB的方程为x+y-2=0；

由方程组 消去x，可得y₂= ；

由5y₁=9y₂，可得5(k+1)= ，

两边平方，整理得56k²-50k+11=0，解得k= 或k= ；∴k的值为 或 .

20.已知函数f(x)=a^x，g(x)=log_ax，其中a＞1.

(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间；

(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x₁，f(x₁))处的切线与曲线y=g(x)在点(x₂，g(x₂))处的切线平行，证明x₁+g(x₂)= ；

(Ⅲ)证明当a≥ 时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

解析：(Ⅰ)把f(x)的解析式代入函数h(x)=f(x)-xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；

(Ⅱ)分别求出函数y=f(x)在点(x₁，f(x₁))处与y=g(x)在点(x₂，g(x₂))处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；

(Ⅲ)分别求出曲线y=f(x)在点(x₁， )处的切线与曲线y=g(x)在点(x₂，logax₂)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥ 时，存在x₁∈(-∞，+∞)，x₂∈(0，+∞)使得l₁与l₂重合，进一步转化为证明当a≥ 时，方程 存在实数解.然后利用导数证明即可.

答案：(Ⅰ)由已知，h(x)=a^x-xlna，有h′(x)=a^xlna-lna，

令h′(x)=0，解得x=0.

由a＞1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

∴函数h(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；

(Ⅱ)由f′(x)=axlna，可得曲线y=f(x)在点(x₁，f(x₁))处的切线的斜率为 lna.

由g′(x)= ，可得曲线y=g(x)在点(x₂，g(x₂))处的切线的斜率为 .

∵这两条切线平行，故有 ，即x₂ (lna)²=1，

两边取以a为底数的对数，得log_ax₂+x₁+2log_alna=0，∴x₁+g(x₂)= ；

(Ⅲ)曲线y=f(x)在点(x₁， )处的切线l₁：y- lna(x-x₁)，

曲线y=g(x)在点(x₂，logax₂)处的切线l₂：y-log_ax₂= (x-x₂).

要证明当a≥ 时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，

只需证明当a≥ 时，存在x₁∈(-∞，+∞)，x₂∈(0，+∞)使得l₁与l₂重合，

即只需证明当a≥ 时，方程组

由①得 ，代入②得： ，

因此，只需证明当a≥ 时，关于x₁的方程③存在实数解.

设函数u(x)=a^x-xa^xlna+x+ ，既要证明当a≥ 时，函数y=u(x)存在零点.

u′(x)=1-(lna)²xa^x，可知x∈(-∞，0)时，u′(x)＞0；x∈(0，+∞)时，u′(x)单调递减，

又u′(0)=1＞0， ，

故存在唯一的x₀，且x₀＞0，使得u′(x₀)=0，即1-(lna)²x₀ =0.

由此可得，u(x)在(-∞，x₀)上单调递增，在(x₀，+∞)上单调递减，

u(x)在x=x₀处取得极大值u(x₀).

∵a≥ ，故lnlna≥-1.

∴u(x₀)= .

下面证明存在实数t，使得u(t)＜0，

由(Ⅰ)可得a^x≥1+ ，

当x＞ 时，

有u(x)≤(1+xlna)(1-xlna)+x+ .

∴存在实数t，使得u(t)＜0.

因此，当a≥ 时，存在x1∈(-∞，+∞)，使得u(x₁)=0.

∴当a≥ 时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.