【334321】2022年北京市高考数学试卷

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密·启用前

2022年北京市高考数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.已知全集 ，集合 ，则 （       ）
A．
B．
C．
D．

2.若复数z满足 ，则 （       ）
A．1
B．5
C．7
D．25

3.若直线 是圆 的一条对称轴，则 （       ）
A．
B．
C．1
D．

4.己知函数 ，则对任意实数x，有（       ）
A．
B．
C．
D．

5.已知函数 ，则（       ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增

6.设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（       ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（       ）

A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态

8.若 ，则 （       ）
A．40
B．41
C．
D．

9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（       ）
A．
B．
C．
D．

10.在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

11.函数 的定义域是_________．

12.已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．

13.若函数 的一个零点为 ，则 ________； ________．

14.己知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3；     ② 为等比数列；
③ 为递减数列；            ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．

15.设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

16.在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．

17.如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．

(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

19.已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 时，求k的值．

20.已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．

21.已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．

参考答案

1.D

【解析】
利用补集的定义可得正确的选项．
由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．

2.B

【解析】
利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
由题意有 ，故 ．
故选：B．

3.A

【解析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．

4.C

【解析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．

5.C

【解析】
化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.

6.C

【解析】
设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.

7.D

【解析】
根据 与 的关系图可得正确的选项.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D

8.B

【解析】
利用赋值法可求 的值.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.

9.B

【解析】
求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.

设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B

10.D

【解析】
依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，

因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以


，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
             

11.

【解析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：

12.

【解析】
首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：

13.     1    

【解析】
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
∵ ，∴
∴

故答案为：1，

14.①③④

【解析】
推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.

15.     0（答案不唯一）     1

【解析】
根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知 或 ，   解得 .
解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1

16.(1)
(2)

【解析】
（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长.
(1)
解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
(2)
解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .

17.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而可证 平面 .
（2）选①②均可证明 平面 ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
(1)
取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
(2)
因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.

18.(1)0.4
(2)
(3)丙

【解析】
(1)       由频率估计概率即可
(2)       求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3)       计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
(1)
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
(2)
设甲获得优秀为事件A₁,乙获得优秀为事件A₂，丙获得优秀为事件A₃
，

，

，

.
∴X的分布列为

∴
(3)
丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

19.(1)
(2)

【解析】
（1）依题意可得 ，即可求出 ，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设 、 ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线 、 的方程，表示出 、 ，根据 得到方程，解得即可；
(1)
解：依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
(2)
解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以



，
所以 ，
即
即
即
整理得 ，解得

20.(1)
(2) 在 上单调递增.
(3)证明见解析

【解析】
（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在[0,+∞）上单调递增，即得证.
(1)
解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
(2)
解：因为 ，       
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
(3)
解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.

21.(1)是 连续可表数列；不是 连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．

【解析】
（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑 不符合，再列举一个 合题即可；
（3） 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论 时，由 可知里面必然有负数，再确定负数只能是 ，然后分类讨论验证不行即可．
(1)
， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，不存在 使得 ，所以 不是 连续可表数列．
(2)
若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；
当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ， ， ， ．
(3)
，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，
若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明 中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和 ， ，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 （有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 （有2种结果相同，矛盾）， 同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上
．