…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密·启用前
2022年北京市高考数学试卷
题号 |
一 |
二 |
三 |
四 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
|
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、单选题 |
1.已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.若复数z满足
，则
（ ）
A．1
B．5
C．7
D．25
3.若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
4.己知函数
，则对任意实数x，有（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
6.设
是公差不为0的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和
的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
8.若
，则
（ ）
A．40
B．41
C．
D．
9.已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S是
及其内部的点构成的集合．设集合
，则T表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.在
中，
．P为
所在平面内的动点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
|
二、填空题 |
11.函数
的定义域是_________．
12.已知双曲线
的渐近线方程为
，则
__________．
13.若函数
的一个零点为
，则
________；
________．
14.己知数列
各项均为正数，其前n项和
满足
．给出下列四个结论：
①
的第2项小于3； ②
为等比数列；
③
为递减数列； ④
中存在小于
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
|
三、双空题 |
15.设函数
若
存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
|
四、解答题 |
16.在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
17.如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，M，N分别为
，AC的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19.已知椭圆：
的一个顶点为
，焦距为
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点
作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当
时，求k的值．
20.已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
21.已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在
，使得
，则称Q为
连续可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
参考答案
1.D
【解析】
利用补集的定义可得正确的选项．
由补集定义可知：
或
，即
，
故选：D．
2.B
【解析】
利用复数四则运算，先求出
，再计算复数的模．
由题意有
，故
．
故选：B．
3.A
【解析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选：A．
4.C
【解析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
5.C
【解析】
化简得出
，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
因为
.
对于A选项，当
时，
，则
在
上单调递增，A错；
对于B选项，当
时，
，则
在
上不单调，B错；
对于C选项，当
时，
，则
在
上单调递减，C对；
对于D选项，当
时，
，则
在
上不单调，D错.
故选：C.
6.C
【解析】
设等差数列
的公差为
，则
，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数.
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列.
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”.
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件.
故选：C.
7.D
【解析】
根据
与
的关系图可得正确的选项.
当
，
时，
，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当
，
时，
，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当
，
时，
与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，
时对应的是非超临界状态，故C错误.
当
，
时，因
,
故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8.B
【解析】
利用赋值法可求
的值.
令
，则
，
令
，则
，
故
，
故选：B.
9.B
【解析】
求出以
为球心，5为半径的球与底面
的截面圆的半径后可求区域的面积.
设顶点
在底面上的投影为
，连接
，则
为三角形
的中心，
且
，故
.
因为
，故
，
故
的轨迹为以
为圆心，1为半径的圆，
而三角形
内切圆的圆心为
，半径为
，
故
的轨迹圆在三角形
内部，故其面积为
故选：B
10.D
【解析】
依题意建立平面直角坐标系，设
，表示出
，
，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则
，
，
，
因为
，所以
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
设
，
，
所以
，
，
所以
，其中
，
，
因为
，所以
，即
；
故选：D
11.
【解析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
解：因为
，所以
，解得
且
，
故函数的定义域为
；
故答案为：
12.
【解析】
首先可得
，即可得到双曲线的标准方程，从而得到
、
，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
解：对于双曲线
，所以
，即双曲线的标准方程为
，
则
，
，又双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，即
，解得
；
故答案为：
13.
1
【解析】
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为
，代入自变量
，计算即可.
∵
，∴
∴
故答案为：1，
14.①③④
【解析】
推导出
，求出
、
的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
由题意可知，
，
，
当
时，
，可得
；
当
时，由
可得
，两式作差可得
，
所以，
，则
，整理可得
，
因为
，解得
，①对；
假设数列
为等比数列，设其公比为
，则
，即
，
所以，
，可得
，解得
，不合乎题意，
故数列
不是等比数列，②错；
当
时，
，可得
，所以，数列
为递减数列，③对；
假设对任意的
，
，则
，
所以，
，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
15.
0（答案不唯一）
1
【解析】
根据分段函数中的函数
的单调性进行分类讨论，可知，
符合条件，
不符合条件，
时函数
没有最小值，故
的最小值只能取
的最小值，根据定义域讨论可知
或
， 解得
.
解：若
时，
，∴
；
若
时，当
时，
单调递增，当
时，
，故
没有最小值，不符合题目要求；
若
时，
当
时，
单调递减，
，
当
时，
∴
或
，
解得
，
综上可得
；
故答案为：0（答案不唯一），1
16.(1)
(2)
【解析】
（1）利用二倍角的正弦公式化简可得
的值，结合角
的取值范围可求得角
的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得
的值，由余弦定理可求得
的值，即可求得
的周长.
(1)
解：因为
，则
，由已知可得
，
可得
，因此，
.
(2)
解：由三角形的面积公式可得
，解得
.
由余弦定理可得
，
，
所以，
的周长为
.
17.(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）取
的中点为
，连接
，可证平面
平面
，从而可证
平面
.
（2）选①②均可证明
平面
，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
(1)
取
的中点为
，连接
，
由三棱柱
可得四边形
为平行四边形，
而
，则
，
而
平面
，
平面
，故
平面
，
而
，则
，同理可得
平面
，
而
平面
，
故平面
平面
，而
平面
，故
平面
，
(2)
因为侧面
为正方形，故
，
而
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，故
平面
，
因为
，故
平面
，
因为
平面
，故
，
若选①，则
，而
，
，
故
平面
，而
平面
，故
，
所以
，而
，
，故
平面
，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，从而
，取
，则
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
.
若选②，因为
，故
平面
，而
平面
，
故
，而
，故
，
而
，
，故
，
所以
，故
，
而
，
，故
平面
，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，从而
，取
，则
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
.
18.(1)0.4
(2)
(3)丙
【解析】
(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
(1)
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
(2)
设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
|
∴
(3)
丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为
，甲获得9.80的概率为
，乙获得9.78的概率为
.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
19.(1)
(2)
【解析】
（1）依题意可得
，即可求出
，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设
、
，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线
、
的方程，表示出
、
，根据
得到方程，解得即可；
(1)
解：依题意可得
，
，又
，
所以
，所以椭圆方程为
；
(2)
解：依题意过点
的直线为
，设
、
，不妨令
，
由
，消去
整理得
，
所以
，解得
，
所以
，
，
直线
的方程为
，令
，解得
，
直线
的方程为
，令
，解得
，
所以
，
所以
，
即
即
即
整理得
，解得
20.(1)
(2)
在
上单调递增.
(3)证明见解析
【解析】
（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令
，
，即证
，由第二问结论可知
在[0,+∞）上单调递增，即得证.
(1)
解：因为
，所以
，
即切点坐标为
，
又
，
∴切线斜率
∴切线方程为：
(2)
解：因为
，
所以
，
令
，
则
，
∴
在
上单调递增，
∴
∴
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增.
(3)
解：原不等式等价于
，
令
，
，
即证
，
∵
，
，
由（2）知
在
上单调递增，
∴
，
∴
∴
在
上单调递增，又因为
，
∴
，所以命题得证.
21.(1)是
连续可表数列；不是
连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．
【解析】
（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑
不符合，再列举一个
合题即可；
（3）
时，根据和的个数易得显然不行，再讨论
时，由
可知里面必然有负数，再确定负数只能是
，然后分类讨论验证不行即可．
(1)
，
，
，
，
，所以
是
连续可表数列；易知，不存在
使得
，所以
不是
连续可表数列．
(2)
若
,设为
,则至多
，6个数字，没有
个，矛盾；
当
时,数列
，满足
，
，
，
，
，
，
，
，
．
(3)
，若
最多有
种，若
，最多有
种，所以最多有
种，
若
，则
至多可表
个数，矛盾,
从而若
,则
，
至多可表
个数，
而
，所以其中有负的，从而
可表1~20及那个负数（恰
21个），这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在
中绝对值最小，同时
中没有两数相同,设那个负数为
，
则所有数之和
，
，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足
个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若
不在两端,则
形式，
若
，则
（有2种结果相同，方式矛盾），
，
同理
，故
在一端，不妨为
形式，
若
,则
（有2种结果相同，矛盾），
同理不行，
，则
（有2种结果相同，矛盾），从而
，
由于
,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能
，①或
，②
这2种情形，
对①：
，矛盾，
对②：
，也矛盾，综上
．
第