2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x||x|＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B=( )

A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{-2，0，1，2}

D.{-1，0，1，2}

解析：∵集合A={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，B={-2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}.

答案：A

2.在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：复数 ，

共轭复数对应点的坐标( )在第四象限.

答案：D

3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )

A.

B.

C.

D.

解析：在执行第一次循环时，k=1，S=1.

在执行第一次循环时，S=1- .由于k=2≤3，

所以执行下一次循环.S= ，k=3，直接输出S= .

答案：B

4.设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，

反之数列-1，-1，1，1.满足-1×1=-1×1，

但数列-1，-1，1，1不是等比数列，

即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.

答案：B

5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )

A.

B.

C.

D.

解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .

若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为： .

答案：D

6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，

，PC=3，PD= ，可得三角形PCD不是直角三角形.

所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD.

答案：C

7.在平面直角坐标系中， 是圆x²+y²=1上的四段弧(如图)，点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是( )

A.

B.

C.

D.

解析：A、在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件.

B、在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件.

C、在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，

满足tanα＜cosα＜sinα，

D、在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，

满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα.

答案：C

8.设集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，则( )

A.对任意实数a，(2，1)∈A

B.对任意实数a，(2，1) A

C.当且仅当a＜0时，(2，1) A

D.当且仅当a≤ 时，(2，1) A

解析：当a=-1时，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，-x+y＞4，x+y≤2}，显然(2，1)不满足，-x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；

当a=4，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，4x+y＞4，x-4y≤2}，显然(2，1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.

答案：D

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.设向量 =(1，0)， =(-1，m).若 ，则m= .

解析：向量 =(1，0)， =(-1，m)， =(m+1，-m).

∵ ，∴m+1=0，解得m=-1.

答案：-1

10.已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y²=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .

解析：∵直线l过点(1，0)且垂直于x轴，∴x=1，

代入到y²=4ax，可得y²=4a，显然a＞0，∴y=±2 ，

∵l被抛物线y²=4ax截得的线段长为4，

∴4 =4，解得a=1，∴y²=4x，∴抛物线的焦点坐标为(1，0).

答案：(1，0)

11.能说明“若a＞b，则 ”为假命题的一组a，b的值依次为 .

解析：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但 为假命题，故答案可以是a=1，b=-1.

答案：a=1，b=-1

12.若双曲线 (a＞0)的离心率为 ，则a= .

解析：双曲线 (a＞0)的离心率为 ，可得： ，解得a=4.

答案：4

13.若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y-x的最小值是 .

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=2y-x，则y= ，平移y= ，

由图象知当直线y= 经过点A时，

直线的截距最小，此时z最小，

由 得 即A(1，2)，此时z=2×2-1=3.

答案：3

14.若△ABC的面积为 (a²+c²-b²)，且∠C为钝角，则∠B= ； 的取值范围是 .

解析：△ABC的面积为 (a²+c²-b²)，

可得： (a²+c²-b²)= acsinB， ，

可得：tanB= ，所以B= ，∠C为钝角，A∈(0， )，cotA∈(3，+∞).

cotA∈(2，+∞).

答案： ；(2，+∞)

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.设{a_n}是等差数列，且a₁=ln2，a₂+a₃=5ln2.

(Ⅰ)求{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)求 .

解析：(Ⅰ)求{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可.

答案：(Ⅰ){a_n}是等差数列，且a₁=ln2，a₂+a₃=5ln2.

可得：2a₁+3d=5ln2，可得d=ln2，

{a_n}的通项公式；a_n=a₁+(n-1)d=nln2，

(Ⅱ) ，∴ .

16.已知函数f(x)=sin²x+ sinxcosx.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若f(x)在区间[ ，m]上的最大值为 ，求m的最小值.

解析：(I)运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；

(Ⅱ)求得2x- 的范围，结合正弦函数的图象可得2m- ，即可得到所求最小值.

答案：(I)函数f(x)= ，

f(x)的最小正周期为T= =π；

(Ⅱ)若f(x)在区间[ ，m]上的最大值为 ，

可得 ，即有2m- ，解得m≥ ，则m的最小值为 .

17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(Ⅱ)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

(Ⅲ)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

解析：(Ⅰ)先求出总数，再求出则第四类电影的频率为 =0.1，即可求出答案，

(Ⅱ)根据互斥事件的概率公式计算即可，

(Ⅲ)由题意可得，增加电影部数多的，减少部数少的，即可得到.

答案：(Ⅰ)总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，

则第四类电影的频率为 =0.1，

故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率0.1×0.25=0.025，

(Ⅱ)获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372，

估计这部电影没有获得好评的概率为1- =0.814，

(Ⅲ)故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.

(Ⅰ)求证：PE⊥BC；

(Ⅱ)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅲ)求证：EF∥平面PCD.

解析：(Ⅰ)由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；

(Ⅱ)作出平面PAB和平面PCD的交线，注意运用公理4，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得证；

(Ⅲ)取PC的中点H，连接DH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证.

答案：(Ⅰ)PA=PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，

底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；

(Ⅱ)由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD，

在平面PAB内过P作直线PG∥AB，

可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD=PG，

由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；

同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，

可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，

由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅲ)取PC的中点H，连接DH，FH，

在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH= BC，由DE∥BC，DE= BC，

可得DE=FH，DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形，

可得EF∥DH，EF 平面PCD，DH 平面PCD，即有EF∥平面PCD.

19.设函数f(x)=[ax²-(3a+1)x+3a+2]e^x.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；

(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.

解析：(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a的值；

(Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a＞1，0＜a＜1，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围.

答案：(Ⅰ)函数f(x)=[ax²-(3a+1)x+3a+2]e^x的导数为f′(x)=[ax²-(a+1)x+1]e^x.

曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，

可得(4a-2a-2+1)e²=0，解得a= ；

(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax²-(a+1)x+1]e^x=(x-1)(ax-1)e^x，

若a=0则x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增；x＞1，f′(x)＜0，f(x)递减.

x=1处f(x)取得极大值，不符题意；

若a＞0，且a=1，则f′(x)=(x-1)²e^x≥0，f(x)递增，无极值；

若a＞1，则 ＜1，f(x)在( ，1)递减；在(1，+∞)，(-∞， )递增，

可得f(x)在x=1处取得极小值；

若0＜a＜1，则 ＞1，f(x)在(1， )递减；在( ，+∞)，(-∞，1)递增，

可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；

若a＜0，则 ＜1，f(x)在( ，1)递增；在(1，+∞)，(-∞， )递减，

可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意.

综上可得，a的范围是(1，+∞).

20.已知椭圆M： =1(a＞b＞0)的离心率为 ，焦距为 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.

(Ⅰ)求椭圆M的方程；

(Ⅱ)若k=1，求|AB|的最大值；

(Ⅲ)设P(-2，0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点Q( )共线，求k.

解析：(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式即可求得a的值，即可求得b的值，求得椭圆方程；

(Ⅱ)当k=1时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|AB|的最大值；

(Ⅲ)求得直线PA的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C点坐标，同理求得D点坐标，即可求得 与 ，根据向量的共线定理，即可求得直线AB的斜率.

答案：(Ⅰ)由题意可知：2c=2 ，则c= ，椭圆的离心率e= ，则a= ，b²=a²-c²=1，

∴椭圆的标准方程： +y²=1；

(Ⅱ)设直线AB的方程为：y=x+m，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立 整理得：4x²+6mx+3m²-3=0，△=(6m)²-4×4×3(m²-1)＞0，整理得：m²＜4，

，

∴ ，

∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为 ；

(Ⅲ)设直线PA的斜率k_PA= ，直线PA的方程为：y= (x+2)，

联立

消去y整理得：(x₁²+4x₁+4+3y₁²)x²+12y₁²x+(12y₁²-3x₁²-12x₁-12)=0，

由 代入上式得，整理得：(4x₁+7)x²+(12-4x₁²)x-(7x₁²+12x₁)=0，

，

则 ，

则C( )，同理可得：D( )，由Q( )，

则 ，

由 与 三点共线，则 ，

整理得：x₁-x₁=y₁-y₁，则直线AB的斜率k= =1，∴k的值为1.