2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )

A.{0}

B.{1}

C.{1，2}

D.{0，1，2}

解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，

∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.

答案：C

2.(1+i)(2﹣i)=( )

A.﹣3﹣i

B.﹣3+i

C.3﹣i

D.3+i

解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.

答案：D

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.

答案：A

4.若sinα= ，则cos2α=( )

A.

B.

C.﹣

D.﹣

解析：∵sinα= ，

∴cos2α=1﹣2sin²α= .

答案：B

5.(x²+ )⁵的展开式中x⁴的系数为( )

A.10

B.20

C.40

D.80

解析：由二项式定理得(x²+ )⁵的展开式的通项为：

，

由10﹣3r=4，解得r=2，

∴(x²+ )⁵的展开式中x⁴的系数为 =40.

答案：C

6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x﹣2)²+y²=2上，则△ABP面积的取值范围是( )

A.[2，6]

B.[4，8]

C.[ ]

D.[ ]

解析：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，

∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，

∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，|AB|= ，

∵点P在圆(x﹣2)²+y²=2上，∴设P ，

∴点P到直线x+y+2=0的距离：

，

∵ ∈[﹣1，1]，∴d= ∈[ ]，

∴△ABP面积的取值范围是：

[ ]=[2，6].

答案：A

7.函数y=﹣x⁴+x²+2的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

解析：函数过定点(0，2)，排除A，B.

函数的导数f′(x)=﹣4x³+2x=﹣2x(2x²﹣1)，

由f′(x)＞0得2x(2x²﹣1)＜0，

得x＜﹣ 或0＜x＜ ，此时函数单调递增，排除C.

答案：D

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( )

A.0.7

B.0.6

C.0.4

D.0.3

解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B(10，p)，

P(x=4)＜P(X=6)，可得 ，可得1﹣2p＜0.即 .

因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去).

答案：B

9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为 ，则C=( )

A.

B.

C.

D.

解析：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

△ABC的面积为 ，

∴S_△ABC= ，

∴sinC= =cosC，

∵0＜C＜π，∴C= .

答案：C

10.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

解析：△ABC为等边三角形且面积为 ，可得 ，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： .

答案：B

11.设F₁，F₂是双曲线C： (a＞0.b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点.过F₂作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF₁|= |OP|，则C的离心率为( )

A.

B.2

C.

D.

解析：双曲线C： (a＞0.b＞0)的一条渐近线方程为 ，

∴点F₂到渐近线的距离 ，即|PF₂|=b，

∴ ，

∵|PF₁|= |OP|，

∴|PF₁|= a，

在三角形F₁PF₂中，由余弦定理可得|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²﹣2|PF₂|·|F₁F₂|COS∠PF₂O，

∴6a²=b²+4c²﹣2×b×2c× =4c²﹣3b²=4c²﹣3(c²﹣a²)，

即3a²=c²，

即 a=c，

∴ .

答案：C

12.设a=log_0.20.3，b=log₂0.3，则( )

A.a+b＜ab＜0

B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜ab

D.ab＜0＜a+b

解析：∵a=log_0.20.3= ，b=log₂0.3= ，

∴ ，

，

∵ ， ，

∴ab＜a+b＜0.

答案：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量 =(1，2)， =(2，﹣2)， =(1，λ).若 ∥( )，则λ=____.

解析：∵向量 =(1，2)， =(2，﹣2)，

∴ =(4，2)，

∵ =(1，λ)， ∥( )，

∴ ，

解得λ= .

答案：

14.曲线y=(ax+1)e^x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.

解析：曲线y=(ax+1)e^x，可得y′=ae^x+(ax+1)e^x，

曲线y=(ax+1)e^x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，

可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3.

答案：﹣3

15.函数f(x)=cos(3x+ )在[0，π]的零点个数为____.

解析：∵f(x)=cos(3x+ )=0，

∴ ，k∈Z，

∴x= ，k∈Z，

当k=0时，x= ，

当k=1时，x= ，

当k=2时，x= ，

当k=3时，x= ，

∵x∈[0，π]，

∴x= ，或x= ，或x= ，

故零点的个数为3.

答案：3

16.已知点M(﹣1，1)和抛物线C：y²=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB=90°，则k=____.

解析：∵抛物线C：y²=4x的焦点F(1，0)，

∴过A，B两点的直线方程为y=k(x﹣1)，

联立 可得，k²x²﹣2(2+k²)x+k²=0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则 ，x₁x₂=1，

∴y₁+y₂=k(x₁+x₂﹣2)= ，y₁y₂=k²(x₁﹣1)(x₂﹣1)=k²[x₁x₂﹣(x₁+x₂)+1]=﹣4，

∵M(﹣1，1)，

∴ =(x₁+1，y₁﹣1)， =(x₂+1，y₂﹣1)，

∵∠AMB=90°=0，∴

∴(x₁+1)(x₂+1)+(y₁﹣1)(y₂﹣1)=0，

整理可得，x₁x₂+(x₁+x₂)+y₁y₂﹣(y₁+y₂)+2=0，

∴ ，

即k²﹣4k+4=0，

∴k=2.

答案：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17.等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=4a₃.

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)记S_n为{a_n}的前n项和.若S_m=63，求m.

解析：(1)利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a_n}的通项公式.

(2)当a₁=1，q=﹣2时， ，由S_m=63，得 =63，m∈N，无解；当a₁=1，q=2时，S_n=2ⁿ﹣1，由此能求出m.

答案：(1)∵等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=4a₃.

∴1×q⁴=4×(1×q²)，

解得q=±2，

当q=2时，a_n=2^n﹣1，

当q=﹣2时，a_n=(﹣2)^n﹣1，

∴{a_n}的通项公式为，a_n=2^n﹣1，或a_n=(﹣2)^n﹣1.

(2)记S_n为{a_n}的前n项和.

当a₁=1，q=﹣2时， ，

由S_m=63，得 =63，m∈N，无解；

当a₁=1，q=2时， ，

由S_m=63，得S_m=2^m﹣1=63，m∈N，

解得m=6.

18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

	超过m	不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： ，

P(K2≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

解析：(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；

(3)列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论.

答案：(1)根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，

第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，

所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，

排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80；

由此填写列联表如下；

	超过m	不超过m	总计
第一种生产方式	15	5	20
第二种生产方式	5	15	20
总计	20	20	40

(3)根据(2)中的列联表，计算

，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

19.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

解析：(1)根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可.

(2)根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可.

答案：(1)证明：在半圆中，DM⊥MC，

∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，

∴AD⊥平面BCM，则AD⊥MC，

∵AD∩DM=D，

∴MC⊥平面ADM，

∵MC⊂平面MBC，

∴平面AMD⊥平面BMC.

(2)∵△ABC的面积为定值，

∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，

此时M为圆弧的中点，

建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图

∵正方形ABCD的边长为2，

∴A(2，﹣1，0)，B(2，1，0)，M(0，0，1)，

则平面MCD的法向量 =(1，0，0)，

设平面MAB的法向量为 =(x，y，z)

则 =(0，2，0)， =(﹣2，1，1)，

由 =2y=0， =﹣2x+y+z=0，

令x=1，

则y=0，z=2，即 =(1，0，2)，

则 ，

则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα= .

20.已知斜率为k的直线l与椭圆C： 交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0).

(1)证明：k＜﹣ ；

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 .证明： 成等差数列，并求该数列的公差.

解析：(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，利用点差法得6(x₁﹣x₂)+8m(y₁﹣y₂)=0，

又点M(1，m)在椭圆内，即 ，(m＞0)，解得m的取值范围，即可得k＜﹣ ，

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，可得x₁+x₂=2

由 ，可得x₃﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex₁=2﹣ x₁，|FB|=2﹣ x₂，|FP|=2﹣ x₃= .即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差.

答案：(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

∵线段AB的中点为M(1，m)，

∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2m

将A，B代入椭圆C： 中，可得

，

两式相减可得，3(x₁+x₂)(x₁﹣x₂)+4(y₁+y₂)(y₁﹣y₂)=0，

即6(x₁﹣x₂)+8m(y₁﹣y₂)=0，

∴

点M(1，m)在椭圆内，即 ，(m＞0)，

解得0＜m＜

∴ .

(2)证明：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，

可得x₁+x₂=2，

∵ ，F(1，0)，∴x₁﹣1+x₂﹣1+x₃﹣1=0，y₁+y₂+y₃=0，

∴x₃=1，

∵m＞0，可得P在第一象限，故 ，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex₁=2﹣ x₁，|FB|=2﹣ x₂，|FP|=2﹣ x₃= .

则|FA|+|FB|=4﹣ (x₁+x₂)＝3，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立 ，可得

所以该数列的公差d满足 ，

∴该数列的公差为 .

21.已知函数f(x)=(2+x+ax²)ln(1+x)﹣2x.

(1)若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

解析：(1)对函数f(x)两次求导数，分别判断f′(x)和f(x)的单调性，结合f(0)=0即可得出结论；

(2)令h(x)为f′(x)的分子，令h″(0)计算a，讨论a的范围，得出f(x)的单调性，从额得出a的值.

答案：(1)证明：当a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x，(x＞﹣1).

，

可得x∈(﹣1，0)时，f″(x)≤0，x∈(0，+∞)时，f″(x)≥0

∴f′(x)在(﹣1，0)递减，在(0，+∞)递增，

∴f′(x)≥f′(0)=0，

∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1，+∞)上单调递增，又f(0)=0.

∴当﹣1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0.

(2)解：由f(x)=(2+x+ax²)ln(1+x)﹣2x，得

f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+ ，

令h(x)=ax²﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)，

h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).

当a≥0，x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，

∴h(x)＞h(0)=0，即f′(x)＞0，

∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，故x=0不是f(x)的极大值点，不符合题意.

当a＜0时，h″(x)=8a+4aln(x+1)+ ，

显然h″(x)单调递减，

①令h″(0)=0，解得a=﹣ .

∴当﹣1＜x＜0时，h″(x)＞0，当x＞0时，h″(x)＜0，

∴h′(x)在(﹣1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，

∴h′(x)≤h′(0)=0，

∴h(x)单调递减，又h(0)=0，

∴当﹣1＜x＜0时，h(x)＞0，即f′(x)＞0，

当x＞0时，h(x)＜0，即f′(x)＜0，

∴f(x)在(﹣1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，

∴x=0是f(x)的极大值点，符合题意；

②若﹣ ＜a＜0，则h″(0)=1+6a＞0，h″( ﹣1)=(2a﹣1)(1﹣ )＜0，

∴h″(x)=0在(0，+∞)上有唯一一个零点，设为x₀，

∴当0＜x＜x₀时，h″(x)＞0，h′(x)单调递增，

∴h′(x)＞h′(0)=0，即f′(x)＞0，

∴f(x)在(0，x₀)上单调递增，不符合题意；

③若a＜﹣ ，则h″(0)=1+6a＜0，h″( ﹣1)=(1﹣2a)e²＞0，

∴h″(x)=0在(﹣1，0)上有唯一一个零点，设为x₁，

∴当x₁＜x＜0时，h″(x)＜0，h′(x)单调递减，

∴h′(x)＞h′(0)=0，∴h(x)单调递增，

∴h(x)＜h(0)=0，即f′(x)＜0，

∴f(x)在(x₁，0)上单调递减，不符合题意.

综上，a=﹣ .

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 ，(θ为参数)，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

解析：(1)⊙O的普通方程为x²+y²=1，圆心为O(0，0)，半径r=1，当α= 时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠ 时，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα·x+ ，从而圆心O(0，0)到直线l的距离 ，进而求出 或 ，由此能求出α的取值范围.

(2)设直线l的方程为x=m(y+ )，联立 ，得 ，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.

答案：(1)∵⊙O的参数方程为 (θ为参数)，

∴⊙O的普通方程为x²+y²=1，圆心为O(0，0)，半径r=1，

当α= 时，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；

当α≠ 时，过点(0，﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα·x+ ，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O(0，0)到直线l的距离 ，

∴tan²α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，

∴ 或 ，

综上α的取值范围是( ).

(2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m(y+ )，

设A(x₁，y₁)，(B(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，

联立 ，得 ，

，

，

，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为 ，(m为参数)，(﹣1＜m＜1).

[选修4-5：不等式选讲](10分)

23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值.

解析：(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.

(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.

答案：(1)当x≤﹣ 时，f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x，

当﹣ ＜x＜1，f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2，

当x≥1时，f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x，

则 对应的图象为：

画出y=f(x)的图象；

(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)≤ax+b，

当x=0时，f(0)=2≤0·a+b，∴b≥2，

当x＞0时，要使f(x)≤ax+b恒成立，

则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，

∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2，

且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f(x)≤ax+b在[0，+∞)上成立，

即a+b的最小值为5.