【334347】2024年普通高等学校招生全国统一数学考试北京卷

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153582-卷3 2024年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)《2025高考试题攻略 第1辑 一年真题风标卷 数学》

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合M={x|-3< <1},N={x| <4},则 （      ）

A．{x| <1}　　　　B．{x| >-3}

C．{x|-3< <4}　　　　D．{x| <4}

2．若复数 满足 ,则

A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i

3．圆 的圆心到 的距离为（      ）

A． 　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．3

4．在(x- )⁴的展开式中 的系数为

A．6   B．-6   C．12D．-12

5．设 是向量,则“ ”是“ 或 ”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．设函数  ωx(ω>0),已知 ,且| |的最小值为 ,则 （      ）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

7．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,其中 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数 越大,水质越好 如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化,生物个体总数由 变为 ,生物丰富度指数由 提高到 ,则

A．3N₂=2N₁　　　　B．2N₂=3N₁

C． = 　　　　D． =

8．如图,在四棱锥 中,底面 是边长为4的正方形 ,该棱锥的高为

A．1B．2C． D．

9．已知 是函数 的图像上两个不同的点,则（      ）

A．log₂ < 　　　　B．log₂ >

C．log₂ < 　　　　D．log₂ >

10．已知M={(x,y)|y=x+t(x²-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集 设 是 中两点间的距离的最大值 是 表示的图形的面积,则

A．d=3,S<1     B．d=3,S>1

C．d= <1D．d= >1

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在题中的横线上)

11．抛物线 的焦点坐标为　　　　. 

12．在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于原点对称 若 ,则cos 的最大值为　　　　. 

13．若直线 与双曲线 只有一个公共点,则 的一个取值为　　　　. 

14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱 若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列,底面直径依次为65 mm、325 mm、325 mm,且斛量器的高为230 mm,则斗量器的高为　　　　mm,升量器的高为　　　　 mm.(不计量器的厚度) 

15．设 与 是两个不同的无穷数列,且都不是常数列 记集合M={k|a_k=b_k,k∈N^*},给出下列四个结论:

①若 与 均为等差数列,则 中最多有1个元素;

②若 与 均为等比数列,则 中最多有2个元素;

③若 为等差数列 为等比数列,则 中最多有3个元素;

④若 为递增数列 为递减数列,则 中最多有1个元素

其中正确结论的序号是　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(13分)在△ 中 为钝角 ．

(1)求 ;

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ 存在,求△ 的面积

条件①: ;

条件②:cos ;

条件③:

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分

17．(14分)如图,在四棱锥 中 ∥ 点 在 上,且

(1)若 为线段 的中点,求证: ∥平面 ;

(2)若 平面 ,求平面 与平面 夹角的余弦值

18．(13分)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:

假设:一份保单的保费为 万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿 万元;第四次索赔时,保险公司赔偿 万元

假设不同保单的索赔次数相互独立,用频率估计概率

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差

(ⅰ)记 为一份保单的毛利润,估计 的数学期望 ;

(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中 估计值的大小.(结论不要求证明)

19．已知椭圆 : + =1(a> >0),以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形 过点(0,t)(t> )且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ,过点 和 的直线 和椭圆 的另一个交点为 ．

(1)求椭圆 的方程及离心率;

(2)若直线 的斜率为0,求 的值

20．(15分)设函数 ,直线 是曲线 在点(t,f(t))(t>0)处的切线

(1)当 时,求 的单调区间;

(2)求证: 不经过点(0,0);

(3)当 时,设点A(t,f(t))(t>0),C(0,f(t)),O(0,0),B为 与 轴的交点,S_△ACO与S_△ABO分别表示△ 与△ 的面积,是否存在点 使得2S_△ACO=15S_△ABO成立?若存在,这样的点 有几个?

(参考数据: <ln 3< <ln 5< <ln 7<1.95)

21．(15分)已知集合M={(i,j,k,w)| ,且 为偶数}.

给定数列 : ,… 和序列 : ,… ,其中T_s=(i_t,j_t,k_t,w_t)∈M(t=1,2,…,s),对数列 进行如下变换:将 的第 项均加1,其余项不变,得到的数列记作 ;将 的第 项均加1,其余项不变,得到的数列记作 ;…;以此类推,得到数列 … ,简记为

(1)给定数列 :1,3,2,4,6,3,1,9和序列 :(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出 ;

(2)是否存在序列 ,使得 为

?

若存在,写出一个 ,若不存在,说明理由;

（3）若数列 的各项均为正整数,且 为偶数,求证:“存在序列 ,使得 的各项都相等”的充要条件为“ ”

参考答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. C

因为集合M={x|-3< <1},N={x| <4},所以M∪N={x|-3< <4}.故选C．

2. C

,则 ,故选C．

3. D

圆 的标准方程为 ,圆心坐标为(1,-3),因此圆心到直线 的距离 =3 ,故选D．

4. A

(x- )⁴的展开式的通项 x^4-k(- )^k=(-1)^k ,令4- =3,解得 ,所以在(x- )⁴的展开式中 的系数为 故选A．

5. B

∵ ,∴ ,∴ ,则 = ,不能得到 或 ,充分性不成立;若 或 ,则 成立,必要性成立 所以“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件 故选B．

6. B

∵ ,∴ 分别为函数 的最小值点、最大值点 又| | ,则 =2× ,得 故选B．

7. D

由题意可得

两式相除得 ,

所以ln ,即 = 结合选项可知,选D．

8. D

四棱锥的底面是边长为4的正方形,且 ,如图,设 的中点分别为 ,则 ,连接 ,∵ 平面 平面 ,∴ 平面 ,又 平面 ,∴平面 平面 ,且平面 平面 过点 作 于点 ,则 平面 ,则 平面 ． 在△ 中,由题可求得 ,∴ ,∴ ,根据面积相等可得 ,即 ×2,得 故选D．

9. B

= ,∵ ,∴等号取不到,即 > 故选B．

10. C

∵ ,∴ ,∴ 可看作关于 的一次函数,则 关于 单调递增或 是关于 的常数函数

又∵ ,∴函数 图像的对称轴为直线 - ≤0,∴ 关于 的函数在[1,2]上单调递增,又 均为非负数,

∴当 均取最小值与 均取最大值时 中两点间的距离为最大值即 取最大值,即 中点(1,1)和(2,4)间的距离最大,得

表示的图形如图阴影所示,利用大长方形的面积减去小正方形及两个梯形的面积,可得 < 故选C．

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在题中的横线上)

11. (4,0)

由抛物线的标准方程 知 ,所以焦点坐标为

12. -

∵ ,∴cos ,即 ,又 ππ ,∴cos πππ ,∴- ,∴cos 的最大值为-

13.

∵双曲线 的渐近线方程为 ± ,直线 过定点(3,0),∴只有当直线 与渐近线平行时,该直线与双曲线才只有一个公共点,∴ 的取值为± (任答一个即可得分).

14. 23　

设升量器的高为 ,底面半径为 ,容积为 ,斗量器的高为 ,底面半径为 ,容积为 ,斛量器的高为 ,底面半径为 ,容积为 ,则 mm,

π ππ ππ π