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2021年全国新高考Ⅰ卷数学试卷

题号	一	二	三	四	五	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.设集合 ， ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.已知 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

3.已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．
B．
C．
D．

4.下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6

6.若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．

8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立

评卷人 得分

二、多选题

9.有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样数据的样本极差相同

10.已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．

11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，

12.在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面

评卷人 得分

三、填空题

13.已知函数 是偶函数，则 ______.

14.已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.

15.函数 的最小值为______.

评卷人 得分

四、双空题

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .

评卷人 得分

五、解答题

17.已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .

20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.

（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.

21.在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.

22.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .

参考答案

1.B

【解析】
利用交集的定义可求 .
由题设有 ，
故选：B .

2.C

【解析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
因为 ，故 ，故
故选：C.

3.B

【解析】
设圆锥的母线长为 ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得 的值，即为所求.
设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 .
故选：B.

4.A

【解析】
解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.

5.C

【解析】
本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可得到答案．
由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．

6.C

【解析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
将式子进行齐次化处理得：

．
故选：C．

7.D

【解析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：

由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 .

故选：D.

8.B

【解析】
根据独立事件概率关系逐一判断
，


故选：B

9.CD

【解析】
A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
故选：CD

10.AC

【解析】
A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
A： ， ，所以 ， ，故 ，正确；
B： ， ，所以 ，同理 ，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ， ，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC

11.ACD

【解析】
计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.

12.BD

【解析】
对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数．

易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故A错误；
对于B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ， 平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所以 点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ， ，则 ， ， ，所以 或 ．故 均满足，故C错误；
对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为线段 ．设 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．

13.1

【解析】
利用偶函数的定义可求参数 的值.
因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1

14.

【解析】
先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，

因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .

15.1

【解析】
由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.

16.     5    

【解析】
（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：


，
因此， .
故答案为： ； .

17.（1） ；（2） .

【解析】
（1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用（1）的结果可求 .
（1）由题设可得
又 ， ，
故 ，即 ，即
所以 为等差数列，故 .
（2）设 的前 项和为 ，则 ，
因为 ，
所以
.

18.（1）见解析；（2） 类．

【解析】
（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为

（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．

19.（1）证明见解析；（2） .

【解析】
（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）由题设 ，应用余弦定理求 、 ，又 ，可得 ，结合已知及余弦定理即可求 .

（1）由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，
∴ ，又 ，
∴ ，得证.
（2）由题意知： ，
∴ ，同理 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 ，
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， .

20.(1)详见解析(2)

【解析】
（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连EM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则 为二面角E-BC-D的平面角,
因为 , 为正三角形,所以 为直角三角形
因为 ,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以

21.（1） ；（2） .

【解析】
（1）利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，即可得出轨迹 的方程；
（2）设点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立直线 与曲线 的方程，列出韦达定理，求出 的表达式，设直线 的斜率为 ，同理可得出 的表达式，由 化简可得 的值.
因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；
（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
不妨直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，消去 并整理可得 ，
设点 、 ，则 且 .
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
设直线 的斜率为 ，同理可得 ，
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .

22.（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.

【解析】
（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设 ，原不等式等价于 ，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设 ，从而把 转化为 在 上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.
（1）函数的定义域为 ，
又 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2）因为 ，故 ，即 ，
故 ，
设 ，由（1）可知不妨设 .
因为 时， ， 时， ，
故 .
先证： ，
若 ， 必成立.
若 ， 要证： ，即证 ，而 ，
故即证 ，即证： ，其中 .
设 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，故 在 为增函数，所以 ，
故 ，即 成立，所以 成立，
综上， 成立.
设 ，则 ，
结合 ， 可得： ，
即： ，故 ，
要证： ，即证 ，即证 ，
即证： ，即证： ，
令 ，
则 ，
先证明一个不等式： .
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，故 ，
故 成立
由上述不等式可得当 时， ，故 恒成立，
故 在 上为减函数，故 ，
故 成立，即 成立.
综上所述， .