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2021年北京市高考数学试卷

题号	一	二	三	四	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.已知集合 ， ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

2.在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

3.已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64
B．96
C．128
D．160

7.函数 是
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为

8.某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨
B．中雨
C．大雨
D．暴雨

9.已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，若 的最小值为2，则
A．
B．
C．
D．

10.已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

评卷人 得分

二、填空题

11.在 的展开式中，常数项为__________．

12.若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一个取值为___．

13.已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有个1零点；
③存在负数 ，使得 恰有个3零点；
④存在正数 ，使得 恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．

评卷人 得分

三、双空题

14.已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点 .若 ，则点 的横坐标为_______； 的面积为_______．

15.已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________； ________.

评卷人 得分

四、解答题

16.在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；

17.如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点 ．

（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．

18.在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

19.已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．

20.已知椭圆 一个顶 点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

21.设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
结合题意利用并集的定义计算即可.
由题意可得： .
故选：B.

2.D

【解析】
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
由题意可得： .
故选：D.

3.A

【解析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.

4.A

【解析】
根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为 ，
故选：A.

5.B

【解析】
分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B

6.C

【解析】
设等差数列 公差为 ，求得 ，得到 ，结合党旗长与宽之比都相等和 ，列出方程，即可求解.
由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.

7.D

【解析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.

8.B

【解析】
计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.

9.C

【解析】
先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.

10.C

【解析】
使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到 的最大值．
若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ，
所以 .
对于 ， ，
取数列 各项为 ( ， ,
则 ，
所以n的最大值为11．
故选：C．

11.

【解析】
利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令 的指数为零，求解并计算得到答案.
的展开式的通项
令 ，解得 ，
故常数项为 ．
故答案为： .

12. （满足 即可）

【解析】
根据 在单位圆上，可得 关于 轴对称，得出 求解.
与 关于 轴对称，
即 关于 轴对称，
，
则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.

13.①②④

【解析】
由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.

14.     5    

【解析】
根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .

15.     0     3

【解析】
根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.

16.（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．

【解析】
（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.

17.（1）证明见解析；（2） ．

【解析】
(1)首先将平面 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数 的值.
(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.

(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，

不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.

18.（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．

【解析】
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 ，即可得解.
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:

所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .

19.（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最大值为 ，最小值为 .

【解析】
（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：

	增	极大值	减	极小值	增

所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .

20.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设 ，求出直线 的方程后可得 的横坐标，从而可得 ，联立直线 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 ，从而可求 的范围，注意判别式的要求.
（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）

设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又

故 即 ，
综上， 或 .

21.（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ．

【解析】
(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 的值；
(3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 的值.
(1)因 为 所以 ，
因 为 所 以
所以数列 ，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.