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2020年江苏省高考数学试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息$2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人 得分

一、填空题

1．已知集合 ，则 _____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据集合的交集即可计算.

【详解】

∵ ,

∴

故答案为： .

【点睛】

本题考查了交集及其运算，是基础题型．

2．已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.

【详解】

∵复数

∴

∴复数的实部为3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查复数的基本概念，是基础题．

3．已知一组数据 的平均数为4，则 的值是_____.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据平均数的公式进行求解即可．

【详解】

∵数据 的平均数为4

∴ ，即 .

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】

根据题意可得基本事件数总为 个.

点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为 .

故答案为： .

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得 的值.

【详解】

由于 ，所以 ，解得 .

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.

6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率是____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据渐近线方程求得 ，由此求得 ，进而求得双曲线的离心率.

【详解】

双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 .

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】

【解析】

【分析】

先求 ，再根据奇函数求

【详解】

，因为 为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．已知 = ，则 的值是____.

【答案】

【解析】

【分析】

直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.

【答案】

【解析】

【分析】

先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

【详解】

正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

【点睛】

本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

【详解】

当 时

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．已知数列{a_n+b_n}的前n项和 ，则d+q的值是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .

【详解】

设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .

等差数列 的前 项和公式为 ，

等比数列 的前 项和公式为 ，

依题意 ，即 ，

通过对比系数可知 ，故 .

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题.

12．已知 ，则 的最小值是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.

【详解】

∵

∴ 且

∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.

∴ 的最小值为 .

故答案为： .

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.

13．在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】

∵ 三点共线，

∴可设 ，

∵ ，

∴ ，即 ，

若 且 ，则 三点共线，

∴ ，即 ，

∵ ，∴ ，

∵ , , ，

∴ ，

设 ， ，则 ， .

∴根据余弦定理可得 ， ，

∵ ，

∴ ，解得 ，

∴ 的长度为 .

当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，

当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.

故答案为：0或 .

【点睛】

本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

【详解】

设圆心 到直线 距离为 ，则

所以

令 （负值舍去）

当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，

故答案为：

【点睛】

本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

评卷人 得分

二、解答题

15．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，B₁C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B₁C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB₁C₁；

（2）求证：平面AB₁C⊥平面ABB₁．

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

【分析】

（1）通过证明 ，来证得 平面 .

（2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 .

【详解】

（1）由于 分别是 的中点，所以 .

由于 平面 , 平面 ，所以 平面 .

（2）由于 平面 ， 平面 ，所以 .

由于 ，所以 平面 ,

由于 平面 ，所以平面 平面 .

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．

（1）求 的值；

（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 .

（2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.

【详解】

（1）由余弦定理得 ，所以 .

由正弦定理得 .

（2）由于 ， ，所以 .

由于 ，所以 ，所以 .

所以

.

由于 ，所以 .

所以 .

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.

17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?

【答案】（1）120米（2） 米

【解析】

【分析】

（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；

（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.

【详解】

（1）由题意得

米

（2）设总造价为 万元， ，设 ，

(0舍去)

当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值，

答：当 米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

【点睛】

本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF₁F₂的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁，S₂，若S₂=3S₁，求点M的坐标．

【答案】（1）6；（2）-4；（3） 或 .

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；

（2）设 ，根据点 在椭圆 上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；

（3）设出设 ，点 到直线 的距离为 ，由点 到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.

【详解】

（1）∵椭圆 的方程为

∴ ,

由椭圆定义可得： .

∴ 的周长为

（2）设 ，根据题意可得 .

∵点 在椭圆 上，且在第一象限，

∴

∵准线方程为

∴

∴ ，当且仅当 时取等号.

∴ 的最小值为 .

（3）设 ，点 到直线 的距离为 .

∵ ，

∴直线 的方程为

∵点 到直线 的距离为 ，

∴

∴

∴ ①

∵ ②

∴联立①②解得 ， .

∴ 或 .

【点睛】

本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据 推出 是解答本题的关键.

19．已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．

（1）若 ，求h(x)的表达式；

（2）若 ，求k的取值范围；

（3）若 求证： ．

【答案】（1） ；（2） ；（3）证明详见解析

【解析】

【分析】

（1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式.

（2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一个取值范围，从而求得 的取值范围.

（3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立.

【详解】

（1）由题设有 对任意的 恒成立.

令 ，则 ，所以 .

因此 即 对任意的 恒成立，

所以 ，因此 .

故 .

（2）令 ， .

又 .

若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.

当 时， ，符合题意.

当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，

即 ，符合题意.

综上所述， .

由

当 ，即 时， 在 为增函数，

因为 ，

故存在 ，使 ，不符合题意.

当 ，即 时， ，符合题意.

当 ，即 时，则需 ，解得 .

综上所述， 的取值范围是 .

（3）因为 对任意 恒成立，

对任意 恒成立，

等价于 对任意 恒成立.

故 对任意 恒成立.

令 ，

当 ， ，

此时 ，

当 ， ，

但 对任意的 恒成立.

等价于 对任意的 恒成立.

的两根为 ，

则 ，

所以 .

令 ，则 .

构造函数 ， ，

所以 时， ， 递减， .

所以 ，即 .

【点睛】

本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

20．已知数列 的首项a₁=1，前n项和为S_n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ~k”数列．

（1）若等差数列 是“λ~1”数列，求λ的值；

（2）若数列 是“ ”数列，且a_n＞0，求数列 的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ~3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

【答案】（1）1

（2）

（3）

【解析】

【分析】

（1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果；

（2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ，即得 ；

（3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果

【详解】

（1）

（2）

，

（3）假设存在三个不同的数列 为 数列.

或

或

∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且

或 有两个不等的正根.

可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .

① 当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.

② 当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.

综上，

【点睛】

本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.

21．平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ．

（1）求实数 ， 的值；

（2）求矩阵 的逆矩阵 ．

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

【分析】

（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 的值；

（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.

【详解】

（1）∵平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点

∴

∴ ，解得

（2）设 ，则

∴ ，解得

∴

【点睛】

本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．

22．在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）．

（1）求 ， 的值

（2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.

【详解】

（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

，

因为点 为直线 上，故其直角坐标方程为 ，

又 对应的圆的直角坐标方程为： ，

由 解得 或 ，

对应的点为 ，故对应的极径为 或 .

（2） ，

，

当 时 ；

当 时 ，舍；即所求交点坐标为当

【点睛】

本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.

23．设 ，解不等式 ．

【答案】

【解析】

【分析】

根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

【详解】

或 或

或 或

所以解集为：

【点睛】

本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

24．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；

（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

【详解】

（1）连

以 为 轴建立空间直角坐标系，则

从而直线 与 所成角的余弦值为

（2）设平面 一个法向量为

令

设平面 一个法向量为

令

因此

【点睛】

本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.

25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n．

（1）求p₁·q₁和p₂·q₂；

（2）求2p_n+q_n与2p_n-1+q_n-1的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示) ．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；

（2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数学期望公式求结果.

【详解】

（1） ，

，

.

（2） ，

，

因此 ，

从而 ，

即 .

又 的分布列为

	0	1	2

故 .

【点睛】

本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.