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2019年天津市高考数学试卷（文科)

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、单选题

1．设集合 ， ， ，则

A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}

【答案】D

【解析】

【分析】

先求 ，再求 。

【详解】

因为 ，

所以 .

故选D。

【点睛】

集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

2．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】

已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。

目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，

故目标函数在点 处取得最大值。

由 ，得 ，

所以 。

故选C。

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．

3．设 ，则“ ”是“ ”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】

等价于 ，故 推不出 ；

由 能推出 。

故“ ”是“ ”的必要不充分条件。

故选B。

【点睛】

充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为

A．5 B．8 C．24 D．29

【答案】B

【解析】

【分析】

根据程序框图，逐步写出运算结果。

【详解】

， ，

结束循环，故输出 。

故选B。

【点睛】

解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．

5．已知 ， ， ，则 的大小关系为

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用利用 等中间值区分各个数值的大小。

【详解】

；

；

。

故 。

故选A。

【点睛】

利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。

6．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为

A. B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

【详解】

抛物线 的准线 的方程为 ，

双曲线的渐近线方程为 ，

则有

∴ ， ， ，

∴ 。

故选D。

【点睛】

本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。

7．已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

只需根据函数性质逐步得出 值即可。

【详解】

因为 为奇函数，∴ ；

又

， ，又

∴ ，

故选C。

【点睛】

本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 。

8．已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

画出 图象及直线 ，借助图象分析。

【详解】

如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，

或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求。

即 ，即 ，

或者 ，得 ， ，即 ，得 ，

所以 的取值范围是 。

故选D。

【点睛】

根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。

第II卷（非选择题)

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评卷人 得分

二、填空题

9． 是虚数单位，则 的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。

【详解】

。

【点睛】

本题考查了复数模的运算，是基础题.

10． 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

通过因式分解，解不等式。

【详解】

，

即 ，

即 ，

故 的取值范围是 。

【点睛】

解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．

11． 曲线 在点 处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。

【详解】

，

当 时其值为 ，

故所求的切线方程为 ，即 。

【点睛】

曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x₀，f(x₀))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x₀)；

③写出切线方程y－f(x₀)＝f′(x₀)(x－x₀)，并化简．

(2)如果已知点(x₁，y₁)不在曲线上，则设出切点(x₀，y₀)，解方程组 得切点(x₀，y₀)，进而确定切线方程．

12．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

【答案】 .

【解析】

【分析】

根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。

【详解】

由题意四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，借助勾股定理，可知四棱锥的高为 ，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为 ，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为 ，故圆柱的体积为 。

【点睛】

本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.

13． 设 ， ， ，则 的最小值为__________.

【答案】 .

【解析】

【分析】

把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。

【详解】

由 ，得 ，得

，

等号当且仅当 ，即 时成立。

故所求的最小值为 。

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

14． 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 __________.

【答案】 .

【解析】

【分析】

建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。

【详解】

建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。

因为 ∥ ， ，所以 ，

因为 ，所以 ，

所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，

直线 的斜率为 ，其方程为 。

由 得 ， ，

所以 。

所以 。

【点睛】

平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

评卷人 得分

三、解答题

15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如下表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工 项目	A	B	C	D	E	F
子女教育	○	○	×	○	×	○
继续教育	×	×	○	×	○	○
大病医疗	×	×	×	○	×	×
住房贷款利息	○	○	×	×	○	○
住房租金	×	×	○	×	×	×
赡养老人	○	○	×	×	×	○

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.

【答案】（I）6人，9人，10人；

（II）（i）见解析；（ii） .

【解析】

【分析】

（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；

（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；

（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.

【详解】

（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，

由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.

（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

, , , ,共15种；

（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , , , ,共11种，

所以，事件M发生的概率 .

【点睛】

本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

16． 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）求 的值.

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ) .

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值

(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.

【详解】

(Ⅰ)在 中，由正弦定理 得 ，

又由 ，得 ，即 .

又因为 ，得到 ， .

由余弦定理可得 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，

从而 ， .

故 .

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

17． 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ，

（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；

（Ⅱ）求证： 平面 ；

（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III） .

【解析】

【分析】

（I）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判定定理证得结果；

（II）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（III）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得结果.

【详解】

（I）证明：连接 ，易知 ， ，

又由 ，故 ，

又因为 平面 ， 平面 ，

所以 平面 .

（II）证明：取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，

又因为平面 平面 ，平面 平面 ，

所以 平面 ，又 平面 ，故 ，

又已知 ， ，

所以 平面 .

（III）解：连接 ，由（II）中 平面 ，

可知 为直线 与平面 所成的角.

因为 为等边三角形， 且 为 的中点，

所以 ，又 ，

在 中， ，

所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .

【点睛】

本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.

18． 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .

（Ⅰ）求 和 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 满足 求 .

【答案】（I） ， ；

（II）

【解析】

【分析】

（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；

（II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.

【详解】

（I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，

依题意，得 ，解得 ，

故 ， ，

所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；

（II）

，

记 ①

则 ②

② ①得， ，

所以

.

【点睛】

本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.

19． 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为B.已知 （ 为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.

【答案】（I） ；（II） .

【解析】

【分析】

（I）根据题意得到 ，结合椭圆中 的关系，得到 ，化简得出 ，从而求得其离心率；

（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 ，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 ，从而得到椭圆的方程.

【详解】

（I）解：设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，

又由 ，消去 得 ，解得 ，

所以，椭圆的离心率为 .

（II）解：由（I）知， ，故椭圆方程为 ，

由题意， ，则直线 的方程为 ，

点 的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，

解得 ，

代入到 的方程，解得 ，

因为点 在 轴的上方，所以 ，

由圆心在直线 上，可设 ，因为 ，

且由（I）知 ，故 ，解得 ，

因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，

又由圆 与 相切，得 ，解得 ，

所以椭圆的方程为： .

【点睛】

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.

20．设函数 ，其中 .

（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；

（Ⅱ）若 ，

（i）证明 恰有两个零点

（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .

【答案】（I） 在 内单调递增.；

（II）（i）见解析；（ii）见解析.

【解析】

【分析】

（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；

（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；

（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.

【详解】

（I）解：由已知， 的定义域为 ，

且 ，

因此当 时， ，从而 ，

所以 在 内单调递增.

（II）证明：（i）由（I）知， ，

令 ，由 ，可知 在 内单调递减，

又 ，且 ，

故 在 内有唯一解，

从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，

则 ，当 时， ，

所以 在 内单调递增；

当 时， ，

所以 在 内单调递减，

因此 是 的唯一极值点.

令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，

从而当 时， ，所以 ，

从而 ，

又因为 ，所以 在 内有唯一零点，

又 在 内有唯一零点1，从而， 在 内恰有两个零点.

（ii）由题意， ，即 ，

从而 ，即 ，

因为当 时， ，又 ，故 ，

两边取对数，得 ，

于是 ，整理得 ，

【点睛】

本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.