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2019年天津市高考数学试卷（理科)

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、单选题

1．设集合 ， ， ，则

A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}

【答案】D

【解析】

【分析】

先求 ，再求 。

【详解】

因为 ，

所以 .

故选D。

【点睛】

集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

2．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】

已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。

目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，

故目标函数在点 处取得最大值。

由 ，得 ，

所以 。

故选C。

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．

3．设 ，则“ ”是“ ”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】

化简不等式，可知 推不出 ；

由 能推出 ，

故“ ”是“ ”的必要不充分条件，

故选B。

【点睛】

本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。

4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为

A．5 B．8 C．24 D．29

【答案】B

【解析】

【分析】

根据程序框图，逐步写出运算结果。

【详解】

， ，

结束循环，故输出 。

故选B。

【点睛】

解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．

5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为

A. B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

【详解】

抛物线 的准线 的方程为 ，

双曲线的渐近线方程为 ，

则有

∴ ， ， ，

∴ 。

故选D。

【点睛】

本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。

6．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用 等中间值区分各个数值的大小。

【详解】

，

，

，故 ，

所以 。

故选A。

【点睛】

本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。

7．已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

只需根据函数性质逐步得出 值即可。

【详解】

因为 为奇函数，∴ ；

又

， ，又

∴ ，

故选C。

【点睛】

本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 。

8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立。

【详解】

∵ ，即 ，

（1）当 时， ，

当 时， ，

故当 时， 在 上恒成立；

若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，

令 ，则 ，

当 函数单增，当 函数单减，

故 ，所以 。当 时， 在 上恒成立；

综上可知， 的取值范围是 ，

故选C。

【点睛】

本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。

第II卷（非选择题)

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评卷人 得分

二、填空题

9． 是虚数单位，则 的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。

【详解】

。

【点睛】

本题考查了复数模的运算，是基础题.

10． 是展开式中的常数项为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出 的值，再求出其常数项。

【详解】

，

由 ，得 ，

所以的常数项为 .

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的。

11．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

【答案】 .

【解析】

【分析】

根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。

【详解】

由题意四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，借助勾股定理，可知四棱锥的高为 ，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为 ，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为 ，故圆柱的体积为 。

【点睛】

本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.

12．设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，解之解得。

【详解】

圆 化为普通方程为 ，

圆心坐标为 ，圆的半径为 ，

由直线与圆相切，则有 ，解得 。

【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

13．设 ，则 的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。

【详解】

，

当且仅当 ，即 时成立，

故所求的最小值为 。

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

14． 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 __________.

【答案】 .

【解析】

【分析】

建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。

【详解】

建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。

因为 ∥ ， ，所以 ，

因为 ，所以 ，

所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，

直线 的斜率为 ，其方程为 。

由 得 ， ，

所以 。

所以 。

【点睛】

平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

评卷人 得分

三、解答题

15． 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）求 的值.

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ) .

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值

(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.

【详解】

(Ⅰ)在 中，由正弦定理 得 ，

又由 ，得 ，即 .

又因为 ，得到 ， .

由余弦定理可得 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，

从而 ， .

故 .

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

16．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；

(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】

(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，

故 ，从面 .

所以，随机变量 的分布列为：

	0	1	2	3

随机变量 的数学期望 .

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .

且 .

由题意知事件 与 互斥，

且事件 与 ，事件 与 均相互独立，

从而由(Ⅰ)知：

.

【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

17．如图， 平面 ， ， .

（Ⅰ）求证： 平面 ；

（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

【分析】

首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系

(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；

(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；

(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.

【详解】

依题意，可以建立以A为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，

可得 .

设 ，则 .

(Ⅰ)依题意， 是平面ADE的法向量，

又 ，可得 ，

又因为直线 平面 ，所以 平面 .

(Ⅱ)依题意， ，

设 为平面BDE的法向量，

则 ，即 ，

不妨令z=1，可得 ，

因此有 .

所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .

(Ⅲ)设 为平面BDF的法向量，则 ，即 .

不妨令y=1，可得 .

由题意，有 ，解得 .

经检验，符合题意｡

所以，线段 的长为 .

【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

18．设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 或 .

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.

【详解】

(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，b=2，c=1.

所以，椭圆方程为 .

(Ⅱ)由题意，设 .设直线 的斜率为 ，

又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ，

整理得 ，可得 ，

代入 得 ，

进而直线 的斜率 ，

在 中，令 ，得 .

由题意得 ，所以直线 的斜率为 .

由 ，得 ，

化简得 ，从而 .

所以，直线 的斜率为 或 .

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.

19．设 是等差数列， 是等比数列.已知 .

（Ⅰ）求 和 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 满足 其中 .

（i）求数列 的通项公式；

（ii）求 .

【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i） （ii）

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；

(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 的值.

【详解】

(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .

依题意得 ，解得 ，

故 ， .

所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .

(Ⅱ)(i) .

所以，数列 的通项公式为 .

(ii)

.

【点睛】

本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.

20．设函数 为 的导函数.

（Ⅰ）求 的单调区间；

（Ⅱ）当 时，证明 ；

（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 .

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 的单调递减区间为 .（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 的单调区间；

(Ⅱ)构造函数 ，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数 的最小值即可证得题中的结论；

(Ⅲ)令 ，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.

【详解】

(Ⅰ)由已知，有 .

当 时，有 ，得 ，则 单调递减;

当 时，有 ，得 ，则 单调递增.

所以， 的单调递增区间为 ，

的单调递减区间为 .

(Ⅱ)记 .依题意及(Ⅰ)有： ，

从而 .当 时， ，故

.

因此， 在区间 上单调递减，进而 .

所以，当 时， .

(Ⅲ)依题意， ，即 .

记 ，则 .

且 .

由 及(Ⅰ)得 .

由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 在 上为减函数，

因此 .

又由(Ⅱ)知 ，故：

.

所以 .

【点睛】

本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.