专题2.3
二元一次方程组的应用（知识解读）
【学习目标】
1.使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题。
2.通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心。
【知识点梳理】
知识点一：二元一次方程组应用类型：
类型一：鸡兔同笼问题
类型二：牛羊值金问题
类型三：几何问题
类型四：球赛积分问题
类型五：盈不足问题
类型六：数字问题
用字母表示十进制整数的方法
（1）在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位就是百位上的数字乘100，千位就是千位上的数字乘 1 000.
（2）若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的位数的关系.
两位数：十位数字×10+ 个位数字 .
三位数：百位数字×100+ 十位数字×10+ 个位数字 .
四位数：千位数字×1 000 + 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字 .
……
类型七：年龄问题
1. 年龄问题的三个基本规律
（1）每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；
（2）两个人之间的年龄差不变；
（3）两个人年龄的倍数关系是变化的量 .
2. 求解年龄问题的方法
从表示年龄间倍数关系的条件入手，抓住“年龄差”不变，应用“差倍”“和倍”“和差”问题的数量关系 .
年龄问题解题口诀：
岁差不会变，同时相加减 .
岁数若改变，倍数也改变 .
类型八：销售问题
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣
利润率=
×100%
类型九：方案问题
类型十：分段计费问题
类型十一：行程问题
知识点二：二元一次方程组应用的解题步骤
步骤 |
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； |
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； |
|
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； |
|
4．解方程组； |
|
5．检验：检验方程的根是否符合题意； |
|
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． |
【典例分析】
【类型一：鸡兔同笼问题】
【典例1】大约在1500年前成书的《孙子算经》中，记载了这样一个问题：“今有鸡兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？设笼中有x只鸡y只兔，则所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得：
，
故选：A．
【变式1-1】一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
依题意得
．
故选：A．
【变式1-2】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为 （列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：
．
故答案为
．
【类型二：牛羊值金问题】
【典例2】“（中国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”若设马的价格为x两/匹、牛的价格为y两/匹，则可得方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y＝48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y＝38．
∴可列方程组为
．
故选：A．
【变式2-1】中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：依题意得：
．
故选：B．
【变式2-2】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y＝48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y＝38．
∴可列方程组为
．
故选：C．
【类型三：几何问题】
【典例3】（沐川县期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．
（1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．
（2）纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？
【解答】解：（1）设生产竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，
依题意得：
，
解得：
．
答：生产竖式无盖纸盒40个，横式无盖纸盒60个．
（2）设安排m名工人生产长方形纸板，则安排（78﹣m）名工人生产正方形纸板，
依题意得：
＝
，
解得：m＝60，
∴78﹣m＝78﹣60＝18．
答：纸板车间应该安排60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板．
【变式3-1】（通榆县期末）如图，用8块相同的长方形地砖镶嵌一个宽为60cm大长方形，求每块地砖的长与宽．
【解答】解：设每块地砖的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：
，
解得：
．
答：每块地砖的长为45cm，宽为15cm．
【变式3-2】（邓州市期中）为打赢“脱贫攻坚”战，某地党委、政府联合某企业带领农户脱贫致富，小红家为该企业制作包装盒，（其中A款包装盒无盖，B款包装盒有盖）．请你帮小红家计算她家领取的360张长方形纸板和140张正方形纸板，做成A，B型盒子分别多少个能使纸板刚好全部用完？
【解答】解：设做成A型盒子x个，B型盒子y个，由题意得：
，
解得：
，
答：做成A型盒子40个，B型盒子50个．
【变式3-3】（舞钢市期末）工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用．
（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？
（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？
【解答】解：（1）设甲种规格的纸板有x张，乙种规格的纸板有y张，
依题意，得：
，
解得：
．
答：甲种规格的纸板有1000张，乙种规格的纸板有1600张．
（2）1600×3÷2＝2400（个）．
答：一共能生产2400个巧克力包装盒．
【类型四：球赛积分问题】
【典例4】在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在12场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：∵该队共比赛12场，
∴x+y＝12；
∵该队共得到16分，
∴2x+y＝16．
∴所列方程组为
．
故选：A．
【变式4】（颍州区期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠!某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：设该班获胜的场数为x场，平场为y场，
由题意得：
，
解得：
，
即该班获胜的场数为6场，
故选：C．
【类型五：盈不足问题】
【典例5】某校运动员按规定组数进行分组训练，若每组6人，余4人；若每组8人，则缺3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则可列出的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得：
．
故选：A．
【变式5-1】我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：依题意得：
．
故选：A．
【变式5-2】（闵行区期末）某校学生去看电影，如果每辆汽车坐60人，则空出1辆汽车，如果每辆汽车坐45人，则15人没有座位，那么学生人数和汽车辆数各是多少？（ ）
A．230人、6辆 B．240人、5辆 C．240人、8辆 D．250人、7辆
【答案】B
【解答】解：设一共x人，y辆汽车，
根据题意得：
，
解得：
．
答：一共240人，5辆汽车．
故选：B．
【类型六：数字问题】
【典例6】一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数．
【解答】解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，由题意，得
，
解得：
，
∴这个两位数为41．
【变式1-1】一个两位数，十位数字比个位数字大4；将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36，求原两位数．若设原两位数十位数字是x，个位数字是y，则列出方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵十位数字比个位数字大4，
∴x﹣y＝4；
∵将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36，
∴10x+y﹣36＝10y+x．
∴依照题意，可列出方程组
．
故选：C．
【变式6-1】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是（ ）
A．34 B．43 C．25 D．52
【答案】A
【解答】解：设个位数为x，十位数为y，
由题意得，
，
解得：
，
则这个两位数是为34．
故选：A．
【类型七：年龄问题】
【典例7】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【解答】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：
，
解得：
，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【变式7-1】7年前，母亲的年龄是儿子的5倍；5年后，母亲的年龄是儿子的2倍．求母子现在的年龄．设母亲现年x岁，儿子现年y岁，列出的二元一次方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：∵7年前，母亲的年龄是儿子的5倍，
∴x﹣7＝5（y﹣7）；
∵5年后，母亲的年龄是儿子的2倍，
∴x+5＝2（y+50）．
∴列出的二元一次方程组为
．
故选：A．
【变式7-2】今年，小丽爷爷的年龄是小丽的5倍．小丽发现，12年之后，爷爷的年龄是小丽的3倍，设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，依题意有
．
故选：D．
【变式7-3】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【解答】解：设母亲现在的年龄是x岁，女儿现在的年龄是y岁，
依题意得：
，
解得：
．
答：母亲现在的年龄是35岁，女儿现在的年龄是7岁．
【类型八：销售问题】
【典例8】（海淀区校级月考）列二元一次方程组解决问题．
某水果店前后两次进购和售卖某种水果，第一次进购100kg水果，第二次进购200kg水果，两次进购的单价不同，并且每次售卖时销售的单价都比该次进购的单价提高了50%．由于水果易坏，从进购到全部售完会有部分损耗．第一次进购的水果有10%的损耗，第二次进购的水果有20%的损耗．已知两次进购的总价之和为1600元，两次销售共获利500元，求两次进购的单价各是多少元？
【解答】解：设第一次进购水果的单价为x元，第二次进购水果的单价为y元，
则第一次进购水果的售价为（1+50%）x＝1.5x（元），第二次进购水果的售价为（1+50%）y＝1.5y（元），
由题意得：
，
解得：
，
答：第一次进购水果的单价为12元，第二次进购水果的单价为2元．
【变式8-1】某商场购进商品后，加价40%作为销售价．某日商场搞优惠促销，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和八折，共付款499元，两种商品原售价之和为590元，设两种商品的进价分别为x元和y元，根据题意所列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：依题意得：
，
故选：C．
【变式8-2】某商店购进A、B两种商品共50件，已知这两种商品的进货单价与销售单价如表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组 ．
-
商品类别
进货单价（元/件）
销售单价（元/件）
A
30
40
B
40
55
【答案】
【解答】解：设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组
．
故答案是：
．
【类型九：方案问题】
【典例9】为传承中华文化，学习六艺技能，某中学组织初二年级学生到孔学堂研学旅行．已知大型客车每辆能坐60人，中型客车每辆能坐45人，现该校有初二年级学生375人．根据题目提供的信息解决下列问题：
（1）这次研学旅行需要大、中型客车各几辆才能使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满？
（2）若大型客车租金为1500元/辆，中型客车租金为1200元/辆，请帮该校设计一种最划算的租车方案．
【解答】解：（1）设需要大型客车x辆，中型客车y辆，
根据题意，得：60x+45y＝375，
当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝
；当x＝3时，y＝
；
当x＝4时，y＝3；当x＝5时，y＝
；当x＝6时，y＝
；
∵要使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满，
∴有两种选择，方案一：需要大型客车1辆，中型客车7辆；
方案二：需要大型客车4辆，中型客车3辆．
（2）方案一：1500×1+1200×7＝9900（元），
方案二：1500×4+1200×3＝9600（元），
∵9900＞9600，
∴方案二更划算．
【变式9-1】疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货16吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货20吨．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）教育局现有24吨消毒液需要配送，若计划同时租用A、B两种型号车配送消毒液，恰好一次配送完，且每辆车都装满．求此时的租车方案．
（3）在第（2）问条件下若A型车的租金为300元/辆，B型车的租金为520元/辆．请设计合适的租车方案，并求最少的租车费用．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意得：
，
解得
．
答：1辆A型车装满货物一次可运货4吨，1辆B型车装满货物一次可运货8吨；
（2）由题意得，4x+8y＝24，
取正整数解为
，
，
答：租车方案为A型车2辆，B型车2辆或A型车4辆，B型车1辆；
（3）方案1的租车费为2×300+520×2＝1640（元），
方案2的租车费为4×300+520×1＝1720（元），
∵1720＞1640，
∴方案1最省钱，即租用A型车2辆，B型车2辆，最少租车费用为1640元．
【变式9-2】据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，
依题意，得：
，
解得：
．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣
n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，6辆乙型车．
方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【类型十：分段计费问题】
【典例10】（石嘴山校级期末）某市为了更好的利用水资源，制订了用水收费标准：如果每户每月用水不超过a吨，按每吨2元收费；如果超过a吨，超过部分按每吨b元（b＞2）收费，其余仍按每吨2元收费．如表是小明家3、4月份用水量及支付水费情况．
-
月份
用水量（吨）
支付水费（元）
3
15
40
4
18
52
（1）若小明家3、4月份用水量都超过a吨，求a、b的值；（要求列方程或方程组求解）
（2）小明家从5月份开始节约用水，若小明家5、6月份的用水量共22吨（5月份用水量小于6月份用水量），两个月共支付水费50元，则小明家5、6月份用水量分别是多少吨？
【解答】解：（1）依题意得：
，
解得：
．
答：a的值为10，b的值为4．
（2）设小明家5月份的用水量为x吨，则6月份的用水量为（22﹣x）吨．
当0＜x≤10时，2x+2×10+4（22﹣x﹣10）＝50，
解得：x＝9，
∴22﹣x＝22﹣9＝13；
当10＜x＜11时，2×10+4（x﹣10）+2×10+4（22﹣x﹣10）＝48≠50，不符合题意，舍去．
答：小明家5月份的用水量为9吨，6月份的用水量为13吨．
【变式10】（贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
【类型十一：行程问题】
【典例11】（和平区期末）（列二元一次方程组求解）小明家离学校2km，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他从家跑步去学校共用了16min，已知小明在上坡路上的平均速度是4.8km/h，在下坡路上的平均速度是12km/h．求小明上坡、下坡各用了多少min？
【解答】解：设小明上坡用了xmin，下坡用了ymin，
依题意得：
，
解得：
．
答：小明上坡用了10min，下坡用了6min．
【变式11-1】（金台区期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？
【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，
依题意得：
，
解得：
．
答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．
【变式11-2】（沈北新区期末）甲、乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后4小时两人相遇．分别求出甲、乙两人的速度．
【解答】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，
依题意得：
，
解得：
，
答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3千米/时．