【323199】（安徽专版）2024春七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解学情评估（新版）沪科版

第8章学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．计算x³·(－x²)的结果是(　　)

A．x⁵ B．－x⁵ C．x⁶ D．－x⁶

2．番茄果肉细胞的直径约为0.000 6 m，将0.000 6用科学记数法表示为(　　)

A．6×10^－3 B．6×10^－4 C．6×10³ D．6×10⁴

3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)

A．a(4－y²)＝4a－ay² B．－4x²＋12xy－9y²＝－(2x－3y)²

C．x²＋3x－1＝x(x＋3)－1 D．x²＋y²＝(x＋y)²－2xy

4．下列计算正确的是(　　)

A．a·a²＝a³ B．3a⁶÷a²＝3a³

C．2a²·3a³＝6a⁶ D．(－2ab²)²·(－a²b)³＝4a⁸b⁷

5．若M＝(x－3)(x－4)，N＝(x－1)(x－6)，则M与N的大小关系为(　　)

A．M>N B．M＝N

C．M<N D．由 x 的取值而定

6．已知长方形花园的长为a，宽为b，在花园中修建如图所示的人行道，横向修一条，纵向修两条，宽度都为c，其余部分进行绿化，则花园中可绿化部分的面积为(　　)

(第6题)

A．ab－ac－2bc＋2c² B．ab－2ac－2bc＋2c²

C．2ab－ac－2bc＋2c² D．2ab－2ac－2bc＋c²

7.若a＋b＝3，x＋y＝1，则代数式a²＋2ab＋b²－x－y＋2 024的值是(　　)

A．2 028 B．2 026 C．2 033 D．2 032

8．已知a＝2¹²，b＝3⁸，c＝7⁴，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a

9．已知x²－x－1＝0，则x³－2x＋1的值是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的相邻两边长(x>y)，则以下关系式中正确的是(　　)

①x－y＝n；②xy＝；③x²－y²＝mn；④x²＋y²＝.

(第10题)

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．计算：m⁴÷m²＝________．

12．分解因式：3a²－27＝______________．

13．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a＋b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为________．

(第13题)

14．我们知道，同底数幂的乘法法则为：a^m·aⁿ＝a^m＋n(其中m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，请根据这种新运算填空：

(1)若f(1)＝，则f(2)＝________；

(2)若f(1)＝k(k≠0)，则f(n)·f(2 024)＝________(用含n和k的代数式表示，其中n为正整数)．

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15. 计算：

(1)2^－2＋(π－3)⁰＋(1－2)^{2 024}；

(2)(－3x²y)²·2xy²÷6x³y³.

16．分解因式：

(1)3a²－6ab＋3b²；

(2)x²(m－n)＋9(n－m)．

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17．利用乘法公式计算下列各题：

(1)97×103; (2)998².

18．(1)已知a^m＝2，aⁿ＝3，求：

①a^m＋n的值；

②a^2m－n的值；

(2)已知2×8^x×16＝2²³，求x的值．

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19．某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)²时出现了错误，解答过程如下：

解：原式＝a²＋2ab－(a²＋b²)(第一步)

＝a²＋2ab－a²－b² (第二步)

＝2ab－b².(第三步)

(1)该同学的解答过程从第__________步开始出错，错误原因是________________；

(2)写出此题正确的解答过程．

20．已知25a²－10a＋1＋|4b＋1|＝0，求代数式[(4a＋3b)(4a－3b)－(2a－5b)(8a＋5b)]÷(－2b)的值．

六、(本题满分12分)

21．如图①所示的是人民公园的一块长为(2m＋n) m，宽为(m＋2n) m的空地．计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图②中阴影部分所示．

(第21题)

(1)请用含m，n的式子表示观景台的面积；(结果化为最简)

(2)已知修建观景台的费用为200元/m².若m＝5，n＝4，则修建观景台的费用为多少元？

七、(本题满分12分)

22．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．

(1)请写出图①、图②、图③阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．

(第22题)

图①：____________________________，

图②：____________________________，

图③：____________________________；

(2)用4个完全相同的长和宽分别为a，b的长方形摆成一个如图④的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式(a＋b)²，(a－b)²，ab之间的等量关系；

(3)根据(2)中你发现的结论，计算当x＋y＝3，xy＝－10时，x－y的值．

八、(本题满分14分)

23．观察下列各式：

(x－1)÷(x－1)＝1；

(x²－1)÷(x－1)＝x＋1；

(x³－1)÷(x－1)＝x²＋x＋1；

(x⁴－1)÷(x－1)＝x³＋x²＋x＋1；

……

(x⁸－1)÷(x－1)＝x⁷＋x⁶＋x⁵＋…＋x＋1.

(1)根据上面各式的规律填空：

①(x^{2 024}－1)÷(x－1)＝__________；

②(xⁿ－1)÷(x－1)＝____________(n为正整数)；

(2)利用(1)中②的结论求2^{2 024}＋2^{2 023}＋…＋2＋1的值；

(3)若1＋x＋x²＋…＋x^{2 024}＝0，求x^{2 025}的值．

答案

一、1.B　2.B　3.B　4.A　5.A

6．A　点拨：花园中可绿化部分的面积为

(a－2c)·(b－c)＝ab－ac－2bc＋2c².

7．D　8.B　9.B　10.C

二、11.m²　12.3(a＋3)(a－3)

13．20　点拨：根据题意，得

S_{四边形ABCD}＝(a²＋b²)－a²－b(a＋b)

＝(a²＋b²－ab)

＝(a²＋b²＋2ab－3ab)

＝[(a＋b)²－3ab]．

将a＋b＝10，ab＝20代入，得

S_{四边形ABCD}＝×(10²－3×20)＝20.

14．(1)　(2)k^{2 024＋n}

三、15.解：(1)2^－2＋(π－3)⁰＋(1－2)^{2 024}

＝＋1＋(－1)^{2 024}

＝＋1＋1

＝ .

(2)(－3x²y)²·2xy²÷6x³y³

＝9x⁴y²·2xy²÷6x³y³

＝18x⁵y⁴÷6x³y³

＝3x²y.

16．解：(1)3a²－6ab＋3b²

＝3(a²－2ab＋b²)

＝3(a－b)².

(2)x²(m－n)＋9(n－m)

＝x²(m－n)－9(m－n)

＝(m－n)(x²－9)

＝(m－n)(x＋3)(x－3)．

四、17.解：(1)97×103＝(100－3)×(100＋3)

＝100²－3²＝10 000－9＝9 991.

(2)998² ＝(1 000－2)²＝1 000²－2×1 000×2＋2²＝1 000 000－4 000＋4＝996 004.

18．解：(1)①a^m＋n＝a^m·aⁿ＝2×3＝6.

②a^2m－n＝a^2m÷aⁿ＝(a^m)²÷aⁿ＝2²÷3＝4÷3＝.

(2)因为2×8^x×16＝2²³，

所以2×2^3x×2⁴＝2²³，

所以2^1＋3^x＋4＝2²³，

所以1＋3x＋4＝23，

解得x＝6.

五、19.解：(1)一；完全平方公式应用错误

(2)原式＝a²＋2ab－(a²＋2ab＋b²)

＝a²＋2ab－a²－2ab－b²

＝－b².

20．解：因为25a²－10a＋1＋|4b＋1|＝0，

所以(5a－1)²＋|4b＋1|＝0，

所以5a－1＝0，4b＋1＝0，

所以a＝，b＝－.

原式＝(16a²－9b²－16a²－10ab＋40ab＋25b²)÷(－2b)

＝(16b²＋30ab)÷(－2b)

＝－8b－15a.

把a＝，b＝－代入，

原式＝－8×－15×＝－1.

六、21.解：(1)(2m＋n)(m＋2n)－mn－(m－n)²－(2m＋n)(m－n)

＝2m²＋4mn＋mn＋2n²－mn－(m²－2mn＋n²)－(2m²－2mn＋mn－n²)

＝2m²＋4mn＋mn＋2n²－mn－m²＋2mn－n²－2m²＋2mn－mn＋n²

＝－m²＋7mn＋2n²(m²)．

答：观景台的面积为(－m²＋7mn＋2n² ) m².

(2)当 m＝5，n＝4时，

－m²＋7mn＋2n²＝－25＋7×5×4＋2×16＝147，

200×147＝29 400(元)．

答：修建观景台的费用为29 400元．

七、22.解：(1)(a＋b)²＝a²＋2ab＋b² ；

(a－b)²＝a²－2ab＋b²；

(a＋b)(a－b)＝a²－b²

(2)由题意得S_阴影＝(a＋b)²－4ab＝a²＋2ab＋b²－4ab

＝a²－2ab＋b²

＝(a－b)²，

所以(a－b)²＝(a＋b)²－4ab.

(3)因为(x－y)²＝(x＋y)²－4xy，

所以(x－y)²＝3²－4×(－10)＝49，所以x－y＝±7.

八、23.解：(1)①x^{2 023}＋x^{2 022}＋x^{2 021}＋…＋x＋1

②x^n－1＋x^n－2＋…＋x＋1

(2) 2^{2 024}＋2^{2 023}＋…＋2＋1＝(2^{2 025}－1)÷(2－1)

＝2^{2 025}－1.

(3)因为1＋x＋x²＋…＋x^{2 024}＝0，

1＋x＋x²＋…＋x^{2 024}＝(x^{2 025}－1)÷(x－1)，

易知x≠1，所以x^{2 025}－1＝0，所以x^{2 025}＝1.