专题02解二元一次方程组压轴题四种模型全攻略
【类型一代入消元法】
例1．（广东清远·二模）解方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】
利用代入消元即可解得．
【详解】
解：
把
代入
得，
，
得
，
解得
，
把
代入
得，
，
所以，原方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法有：代入消元法和加减消元法，灵活运用加减消元法或代入消元法解方程是解决本题的关键．
【变式训练1】（甘肃兰州·八年级期末）解方程组
【答案】
【解析】
【分析】
运用代入消元法解方程组；
【详解】
解：
由②式得y=10－4x
代入①式得3x－20＋8x=13
11x=33，
x=3，
代入②式得
y=﹣2，
故方程组解为：
【点睛】
此题考查二元一次方程组的解法：代入消元法是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元；熟记方程的解法是关键．
【变式训练2】（上海·华东政法大学附属中学期末）解方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】
用代入消元法解方程组即可.
【详解】
解：
，
把(1)代入(2)，得
，
解得：x=2，
把x=2代入(1)，得：y=4，
故方程组的解为：
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解此题的关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程．
【变式训练3】（上海市民办尚德实验学校期末）解方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】
利用代入消元法,把方程②用x表示y,然后代入方程①,得到关于x的一元一次方程,求得x,再把x的值代入②得到6+y=5,再求出y即可.
【详解】
，
把②变形为y＝5－2x代入①，
则有
3x－10＋4x＝11
7x＝21
x＝3，
把x＝3代入②得
，解得y＝－1，故
．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法,熟练地把二元一次方程组转化为一元一次方程是解题的关键.
【类型二加减消元法】
例2．（上海中学东校期末）解方程组
．
【答案】
【解析】
【分析】
先将二元一次方程
去分母变为
，然后再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】
原方程可变为
②×2得：
，
①-③得：
，
把
代入②得：
，解得：
，
∴方程组的解为：
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
【变式训练1】（山西运城·八年级期末）解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】
运用加减消元法求解即可．
【详解】
解：
②-①得，
即
③
将③代入①得
，
∴方程组的解为
．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，其基本思想是消元，主要方法有代入消元法和加减消元法．
【变式训练2】（福建·大同中学二模）解方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】
根据加减消元法消去y即可解方程．
【详解】
解：
，
①×3+②，得5x＝35，
解得x＝7，
把x＝7代入①，得y＝3，
故原方程组的解为
．
【点睛】
本题考查二元一次方程的解法，熟练根据加减消元法或者代入消元法去掉一个未知数是解题的关键．
【变式训练3】（上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组
．
【答案】
【解析】
【分析】
利用加减消元法解方程组．
【详解】
解：
，
①×2+②得，
，
，
把
代入①得，
，
，
故
．
【点睛】
本题考查加减消元法解二元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【类型三错解复原问题】
例3．（江苏·七年级专题练习）解方程组
时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3
解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③
①代入③得3x+2＝5
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法 的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想 ．
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【答案】(1)一，消元；
(2)
【解析】
【分析】
（1）上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，解二元一次方程组的基本思想消元思想；
（2）用②
①，消去
，求出
，再把
的值代入①即可求出
．
(1)
解：上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，解二元一次方程组的基本思想消元思想；
故答案为：一；消元；
(2)
解：②
①得：
，解得
，
将
代入①得：
，解得
，
所以方程组的解为：
．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的思想和消元的方法，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式训练1】（云南昭通·七年级期末）判断下面方程组
的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．
解：①×2-②×3，得
，解得
，
把
代入方程①，得
，解得
．
∴原方程组的解为
【答案】
【解析】
【分析】
用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为①
②
，得
，再求解即可．
【详解】
解：上述解法不正确．
正确解题过程如下：
①
②
，得
，解得
，
把
代入方程①，得
，解得
．
原方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．
【变式训练2】（浙江台州·七年级期末）小明同学解方程组
的过程如下：
解：①×2，得2x﹣6y＝2③ ③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7 ﹣7y＝﹣5，y＝ 把y＝ 所以这个方程组的解是 |
；
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【答案】错误，正确过程见解析
【解析】
【分析】
根据加减消元法求解即可．
【详解】
解：错误，
①×2，得2x-6y=2 ③，
③-②，得-6y+y=2-7，
-5y=-5，
y=1，
把y=1代入①得x-3×1=1，
x=4，
所以这个方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
【变式训练3】（江苏宿迁·七年级期末）仔细阅读下列内容，并回答问题：
用代入法解方程组
有以下步骤：
①由（1）得，
（3）
②把（3）代入（1）得，
，
③整理得
，
④∴
可取一切实数，原方程组有无数个解．
（1）选择：以上解法中，造成错误的一步是（ ）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
（2）用加减法解这个方程组．
【答案】（1）B；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据变形后的方程代入方程组的另一个方程，即可得出选项；
（2）（1）-（2）得出6x=15，求出x，再把x=
代入（1）求出y即可．
【详解】
解：（1）以上解法中，造成错误的一步是B，
故答案为：B；
（2）
，
（1）-（2），得6x=15，
解得：x=
，代入（1），
解得：y=
，
所以方程组的解是
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
【类型四整体代换思想问题】
例4．（山东烟台·七年级期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组
小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为
，解的
，把
代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得
解得
所以，原方程组的解为
．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）
；（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】
认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．
【详解】
解：（1）令
，
，
原方程组化为
，
解得：
，
，
解得：
．
原方程组的解为
．
（2）令
，
，
原方程组可化为：
，
解得：
，
，
经检验，
是原方程的解．
原方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．
【变式训练1】（湖南湘西·七年级期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：
的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：
①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．
解得x＝﹣1，从而y＝2．
所以原方程组的解是
．
请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】
结合探究内容，仿照例子，用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】
解：②﹣①得3x+3y＝3，
即x+y＝1③，
③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，
④﹣①得2x＝﹣2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，
解得y＝2，
∴原方程组的解为
．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的解法，解二元一次方程组有代入法和消元法，灵活应用这两种方法是解题关键．
【变式训练2】（广西北海·七年级期中）解方程组
时，由于
，
的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得
，所以
③．
③×35-①得
，解得
，则
．
所以原方程组的解是
．
请你运用上述方法解方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】
仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】
解：
，
①+②得：
，
即
③，
③×1007-①得：
，
解得：
，
将
代入③得：
，
∴原方程组的解为
．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
【变式训练3】（河南洛阳·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为
．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
；
（2）已知x，y满足方程组
，求xy的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】
（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可；
（2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可．
【详解】
解：（1）
，
由②得：3(3x﹣2y)+2y＝19③，
把①代入③得：15+2y＝19，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：3x﹣4＝5，
解得：x＝3，
则方程组的解为
；
（2）
，
由①得：2(2x2+xy)﹣4xy＝7③，
把②代入③得：12﹣4xy＝7，
解得：xy＝
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组．利用了整体思想及消元思想，消元方法有：代入消元法和加减消元法．
【课后训练】
一、解答题
1．（上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组
．
【答案】
【解析】
【分析】
先将两个二元一次方程相加，消去y，求出x的值，再把x的值代入①求出y的值，即可求出方程组的解．
【详解】
，
①+②得：
，
解得：x=9，
将
代入①得：
，
解得：
，
∴方程组的解为：
．
【点睛】
本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，将（x-5）与（y-1）看作一个整体进行消元是解决本题的关键．
2．（北京铁路二中七年级开学考试）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将①代入②求出
，然后将
带入①式解得
，最后得方程组的解为：
；
（2）
得
，然后将
带入②式解得
，最后得方程组的解为：
；
(1)
解：（1）将①代入②得：
，
去括号得：
，
移项合并得：
，
解得：
，
将
代入①得：
，
则方程组的解为
；
(2)
（2）将
得：
，
解得：
，
将
代入②得：
，
解得：
，
则方程组的解为
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有两种：代入消元法及加减消元法；观察题目，灵活运用这两种方法是简便、快速解答此题的关键．
3．（新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学七年级期中）解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由于方程中未知数y的系数互为相反数，故可先用加减消元法再用代入消元法进行计算；
（2）先去掉方程中的分母及括号，再选择合适的方法求方程组的解．
(1)
①+②得，3x＝3，
解得，x＝1，
把x＝1代入①得，1+3y＝4，
解得，y＝1，
故原方程组的解为
；
(2)
原方程组可化为
，
①﹣②得，﹣y＝﹣2，
解得，y＝2，
把y＝2代入①得，3x﹣2×2＝2，
解得，x＝2，
故原方程组的解为
．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解法，注意：在解含分母的二元一次方程组时要先去掉分母再求解．
4．（山东泰安·七年级期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法求解；
（2）利用加减消元法求解．
(1)
解：
得
把
代入①得：
所以方程组的解为
(2)
解：
得
由②得
③
④
得：
代入③得：
所以方程组的解为
．
【点睛】
本题考查二元一次方程组解法，熟练利用加减消元，将二元一次方程转化为一元一次方程是解题关键．
5．（广东深圳·八年级期末）解方程组
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】
【分析】
（1）用代入法解二元一次方程组即可；
（2）整理后，用代入法解二元一次方程组即可．
(1)
解：
，
将①代入②，得2y-y=6，
解得y=6，
将y=6代入①，得x=12，
∴原方程组的解为
；
(2)
解：
，
由①得x=6y-3③，
将③代入②得，12y-6-3y=3，
解得y=1，
将y=1代入③，得x=3，
∴原方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
6．（重庆南开中学八年级开学考试）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将①×2＋②消去
，进而求得
，再将
的值代入①求解即可
(1)
①＋②得，
解得
将
代入②得
解得
原方程组的解为
(2)
①×2＋②得，
解得
将
代入①得，
解得
原方程组的解为
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
7．（河南·开封市第二十七中学七年级阶段练习）解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将原方程组去分母、去括号、合并同类项，再利用加减消元法求解即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
(1)
解：
整理，得：
得：
解得：
，
将
代入
，得：
，
解得：
；
故原方程的解为：
；
(2)
由
得：
，
将
代入
，得：
，
解得：
．
将
代入
，得：
，
解得：
．
故原方程的解为：
；
【点睛】
本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
8．（山东济南·八年级期末）解二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法进行计算即可；
（2）先把方程①化简，然后再利用加减消元法进行计算即可．
(1)
解：
，
由②得：x=13-4y，
把x=13-4y代入①得：2（13-4y）+3y=16，
解得：y=2，
把y=2代入②得：x=5，
∴原方程组的解为：
；
(2)
解：
将方程①化简得：4x-3y=12③，
3×②-③得：x=6，
把x=6代入②得：y=4，
∴原方程组的解为：
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
9．（山东青岛·八年级期末）解方程组：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】
【分析】
（1）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可；
（2）原方程组整理后，再应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
(1)
解：
，
②×2-①得-7y=-14，
y=2，
把y=2代入②得，x=8，
∴此方程组的解为
；
(2)
解：原方程组可化为
①×4-②×3得7x=42，
x=6，
把x=6代入①得y=4，
∴此方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
10．（重庆市荣昌中学校七年级阶段练习）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）先把①带入②求出y的值，再把y的值带入①即可求出x的值
（2）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可
（3）先化简所求方程组为
，再消去x，求出y的值，从而可解方程组的解
（4）先化简所求方程组为
，再消去x，求出y的值，从而可解方程组的解
(1)
解
，
把①带入②得：4y-3y=2，
解得y=2，
把y=2带入①得，x=4
故原方程组的解为：
.
(2)
解：
，
得，14x=-14，
解得x=-1，
把x=-1代入①得，-3+2y=3，
解得y=3，
故此方程组的解为：
.
(3)
解：
，
化简可得：
，
③-④，得y=7，
将y=7代入③，得x=5
故此方程组的解为：
.
(4)
解：
，
化简可得：
，
得：y=1，
把y=1代入③得x=1
故此方程组的解为：
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，解题关键是代入消元法或加减消元法，将“二元”转化为“一元”
11．（云南文山·八年级期末）解方程组
时，两位同学的解法如下：
解法一：由
，得
．
解法二：由②得
③，
把①代入③得
．
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）；
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【答案】(1)一
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据两种方法逐项计算，即可求解；
（2）选择方法一，利用加减法即可求解．
(1)
解：解法一：
得，得
．故方法一错误；
解法二：由②得
③，把①代入③得
．故方法二正确．
故答案为：一
(2)
解：选择方法一．
，
得，得
解得
，
把
代入①得-1-3y=8，
解得y=-3，
∴方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，熟知加减消元法和代入消元法是解题关键，注意两种消元方法的解题依据都是等式的性质．
12．（山西晋中·八年级期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：②× 2 ，得2x－4y=4 ③…………………………………第一步
①+③，得5x=9 …………………………………第二步
…………………………………第三步
把
代入②，得y=
…………………………………第四步
∴原方程组的解为
…………………………………第五步
任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是（填序号即可）；
A.公式法 B.换元法 C.代入法 D.加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是（填序号即可）；
A.转化 B.公理化 C.演绎 D.数形结合
③第步开始出现错误，这一步错误的原因是；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
【答案】任务一：①D；②A；③一；方程②×2时漏乘了等号右边4这一项；任务二：原方程组的解为
【解析】
【分析】
任务一：①根据题意可直接进行求解；②根据题意可直接进行求解；③根据二元一次方程的加减消元法可进行求解；
任务二：根据加减消元法可直接进行求解方程组的解．
【详解】
解：任务一：①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法；
故选D；
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想；
故选A；
③由题意得：第一步开始出现错误，这一步错误的原因为方程②×2时漏乘了等号右边4这一项；
任务二：
②×2，得：2x－4y=8③
①+③，得：5x=9，解得：
，
把
代入②得：
，解得：
，
∴原方程组的解为
．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
13．（江苏·七年级专题练习）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
．
解：①
，得
③，
第一步，
②
③，得
，
第二步，
．
第三步，
将
代入①，得
．
第四步，
所以，原方程组的解为
．
第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
【答案】(1)B
(2)二；
应该等于
(3)
【解析】
【分析】
（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；
（3）解方程组即可．
(1)
解：②
③消去了
，得到了关于
的一元一次方程，
故答案为：
；
(2)
解：第二步开始出现错误，具体错误是
应该等于
，
故答案为：二；
应该等于
；
(3)
解：②
③得
，
将
代入①，得：
，
原方程组的解为
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
14．（山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：
在解方程组
时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：
，即
③
把方程①代入③得
，
∴
，
把
代入①，得
，
∴原方程组的解为
．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组
【答案】
．
【解析】
【分析】
将方程②变形为2（4x-3y）-y=18，再将4x-3y=6整体代入即可求方程组．
【详解】
解：
中，
将②变形，得：8x-6y-y=18即2（4x-3y）-y=18③，
将①代入③得，2×6-y=18，
∴y=-6，
将y=-6代入①得，x=-3，
∴方程组的解为
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．
15．（辽宁大连·七年级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组
时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②
①得：
，即
．③
③
17得：
．④
①
④得：
，代入③得
．
所以这个方程组的解是
．
（1）请你运用小明的方法解方程组
．
（2）猜想关于
、
的方程组
（
）的解是______；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（答案不唯一）．
【解析】
【分析】
（1）先用②
－①得到一个新方程
即
然后③
×1997，然后用①
－④进行求解即可得到答案；
（2）根据（1）的原理进行方程的求解即可得到答案；
（3）根据（2）中计算的结果写出一个满足题意的方程组即可.
【详解】
解：（1）
②
①得：
，即
．③
③
1997得：
④
①
④得：
，代入③得
所以这个方程组的解是
（2）猜想方程组的解为
把
代入①中得
，方程左右两边相等
把
代入②中得，
方程左右两边相等
故原方程组的解为
；
（3）由（2）得方程组的解为
即只要写出一个方程组的解为
所写方程组未知数的系数大于100即可
∴满足题意的方程组为
（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于掌握题目所给的方程组解法进行正确的计算即可.
16．（全国·九年级专题练习）仔细阅读下面解方程组得方法，然后解决有关问题：
解方程组
时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．
解：①−②，得：2x＋2y＝2，即x＋y＝1 ③，
③×16，得：16x＋16y＝16 ④，
②−④，得：x＝−1，
将x＝−1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为：
.
（1）请你采用上述方法解方程组：
（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组
．
【答案】（1）方程组的解为：
；（2）方程组的解为：
．
【解析】
【分析】
分析：（1）先把两式相减得出x＋y的值，再把x＋y的值与2011相乘，再用加减消元法求出x的值，用代入消元法求出y的值即可；
（2）先把两式相减得出（a−b）x＋（a−b）y＝a−b的值，再用加减消元法求出x的值，用代入消元法求出y的值即可．
【详解】
解：（1）
，
①−②，得：2x＋2y＝2，即x＋y＝1 ③，
③×2011，得：2011x＋2011y＝2011④，
②−④，得：x＝−1，
将x＝−1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为：
；
（2）
，
解：①−②，得：（a−b）x＋（a−b）y＝a−b，
∵a≠b，
∴x＋y＝1 ③，
③×（b＋1），得：（b＋1）x＋（b＋1）y＝b＋1④，
②−④，得：x＝−1，
将x＝−1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为：
．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
17．（全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为
，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
，
（2）已知x，y满足方程组
，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【答案】（1）
；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）
或
【解析】
【分析】
（1）把第2个方程变形为3（3x−2y）＋2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；
（2）把第2个方程变形为
，再与第1个方程相加，即可求解；
（3）在（2）的条件下可知x，y同号，进而即可求解．
【详解】
解：（1）
，
把②变形为9x−6y＋2y＝19，即3（3x−2y）＋2y＝19③．
把①代入③，得3×5＋2y＝19，
∴y＝2．
把y＝2代入①，得3x−2×2＝5，
∴x＝3．
∴方程组的解为
；
（2）
，
把②变形为：
③，
由①+③得：
，解得：x2+4y2=17，
把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2，
综上所述：x2+4y2=17，xy=2；
（3）在（2）的条件下：x，y同号，
∵x，y为整数，
∴
或
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用．