3 垂径定理
一. 选择题
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（ ）
A.
B. 1 C.
D.
2.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果
，则AE的长为（
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第2题 第3题
3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.
一种花边由如图的弓形组成，
的半径为
，弦AB＝2，则弓形的高CD为（
）
A.
B.
C. 1 D.
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等
6. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（ ）
A. AB＞CD B. AB＝CD
C. AB＜CD D. 不能确定
二. 填空题
7.
半径为6cm的圆中，有一条长
的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。
8. 已知⊙O的直径为10cm，点A在圆上，则OA＝___________cm。
9.
如图
，∠A＝30°，则B＝___________。
10. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。
11. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。
12. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。
三. 解答题
13.
如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为
，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。
14.
已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。求证：
15. 如图，在⊙O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AE＝FB，则：
（1）OE与OF有什么关系？为什么？
（2）
与
相等吗？为什么？
16. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。
17.
⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在
上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF
（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。
参考答案
一. 选择题
1. B 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B
二. 填空题
7. 4 8. 5 9. 75°
10.
11. 2cm或14cm
12.
cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题
13.
解：过点O作OC⊥AB于C，则
又
∴∠OAB＝30°
14. 证明：连结BC
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径
∴BC＝AC
∴∠CAB＝∠CBA
又EA＝EC
∴∠CAB＝∠ECA
∴∠CBA＝∠ECA
∴△AEC∽△ACB
即
15. 解：（1）OE＝OF
证明：过O点作OP⊥AB于P
则AP＝BP
∵AE＝BF，∴EP＝FP
∴OE＝OF
（2）
证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA
又AE＝BF，∴△AOE≌△BOF
∴∠AOE＝∠BOF
16. 解：连OA.
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC于D
又∠BAC＝120°
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°
设⊙O的半径为r，则
∴r＝6
17. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G， 则G为CD的中点
又EC⊥CD，FD⊥CD，∴EC∥OG∥FD
∴O为EF的中点，即OE＝OF
又AB为⊙O的直径
∴OA＝OB，∴AE＝BF（等式性质）
（2）解：四边形CDFE面积是定值
证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变
∴CE∥DF不变
∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线.∴S＝OG·CD
a 连OC，由勾股定理有：
又CD＝9cm，
是定值