【332436】3.3 垂径定理（1）

3 垂径定理

一. 选择题

  1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（    ）

    A.          B. 1      C.           D.

  2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果 ，则AE的长为（    ）

A. 2      B. 3       C. 4        D. 5

第2题 第3题

3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（    ）

     A.                B.

     C.                D.

  4. 一种花边由如图的弓形组成， 的半径为 ，弦AB＝2，则弓形的高CD为（    ）

     A.         B.       C. 1       D.

  5. 下列命题中正确的是（    ）

    A. 圆只有一条对称轴       B. 平分弦的直径垂直于弦

    C. 垂直于弦的直径平分这条弦       D. 相等的圆心角所对的弧相等

  6. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（    ）

      A. AB＞CD                 B. AB＝CD

      C. AB＜CD                 D. 不能确定

二. 填空题

  7. 半径为6cm的圆中，有一条长 的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。

  8. 已知⊙O的直径为10cm，点A在圆上，则OA＝___________cm。

  9. 如图 ，∠A＝30°，则B＝___________。

  10. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。

  11. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。

  12. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。

三. 解答题

  13. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为 ，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。

14. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。求证：

15. 如图，在⊙O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AE＝FB，则：

 （1）OE与OF有什么关系？为什么？

 （2） 与 相等吗？为什么？

16. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。

17. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在 上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。

（1）求证：AE＝BF

（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。

参考答案

一. 选择题

  1. B      2. A  3. D   4. A  5. C    6. B

二. 填空题

  7. 4    8. 5  9. 75°                           

10. 11. 2cm或14cm   12. cm（垂径定理与勾股定理）

三. 解答题

  13. 解：过点O作OC⊥AB于C，则

   又

    ∴∠OAB＝30°

  14. 证明：连结BC

   ∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径

   ∴BC＝AC

   ∴∠CAB＝∠CBA

   又EA＝EC

    ∴∠CAB＝∠ECA

    ∴∠CBA＝∠ECA

   ∴△AEC∽△ACB

    即

  15. 解：（1）OE＝OF

   证明：过O点作OP⊥AB于P

       则AP＝BP

       ∵AE＝BF，∴EP＝FP

       ∴OE＝OF

       （2）

       证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA

       又AE＝BF，∴△AOE≌△BOF

       ∴∠AOE＝∠BOF

  16. 解：连OA.

       ∵AB＝AC，

       ∴OA⊥BC于D

       又∠BAC＝120°

       ∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°

       设⊙O的半径为r，则

       ∴r＝6

  17. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G， 则G为CD的中点

       又EC⊥CD，FD⊥CD，∴EC∥OG∥FD

       ∴O为EF的中点，即OE＝OF

       又AB为⊙O的直径

       ∴OA＝OB，∴AE＝BF（等式性质）

       （2）解：四边形CDFE面积是定值

       证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变

       ∴CE∥DF不变

       ∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线.∴S＝OG·CD

   a    连OC，由勾股定理有：

       又CD＝9cm， 是定值