3垂径定理
一、选择题
1．①直径是弦②弦是直径③半圆是弧④弧是半圆，以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
2．如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（ ）
A．2 B．2．5 C．3 D．3．5
3．在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在⊙Ｏ中，弦AB、CD互相垂直，且垂足E点将CD分为3cm和7cm的两段，那么圆心O到AB的距是（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
5．如图所示，⊙Ｏ的直径是15cm，CD是⊙Ｏ的直径且与AB垂直，垂足为Ｍ，OM：OC＝3：5，那么AB等于（ ）
A．24 cm B．12 cm C．6 cm D．3 cm
6．如图所示,点M是半径为5的内一点,且OM=3,在过点M的所有的弦中,弦长为整数的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．到点O的距离为5的所有点构成的图形是__________．
8．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．
9．已知P是⊙O内一点，OP=4cm，过点P的最长弦为10cm，则过P点最短弦长为 ________cm．
10．在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，则油的最大深度为_______mm．
11．如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件： _______________得到M是AB的中点．
12．一条弦把圆中的一条直径分为2cm和6cm的两部分，若弦与直径的夹角为45°，则圆心到该弦的距离为__________cm．
三、解答题
13．如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
14．某单位搞绿化．要在一圆形空地上种四种颜色的花,为了便于管理和美观,相同颜色的花集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同,现征集设计方案,要求设计的图案成轴对称或中心对称,请在图中画出三种设计方案（只画示意图,不写画法）．
15．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积．
16．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
参考答案
一、选择题
1．D
2．C 利用最长距离减去最短距离即得圆的直径,从而得出圆的半径．
3．D 因为弦垂直平分半径,由垂径定理和勾股定理,易求出弦长．
4．B 作OE⊥AB,OF⊥CD,易得矩形OEGF,再由已知和垂径定理,得出OE=2cm;
5．B 连接OA,由OM：OC＝3:5得AM:OA=4:5,由直径为15cm,代入易求得AB=12cm,故选B．
6．B 过点M的弦中最长的弦为直径,最短的弦为与OM垂直的弦,因为最长的弦为10,最短的弦为8,所以符合条件的弦共有3个,故而选B．
二、填空题
7．以O为圆心，以5为半径的圆．
8．160°，200°；提示：
×360°=160°，
×360°=200°．
9．6cm；提示：由过P点最长弦为圆的直径，故圆的半径为5cm，最短的弦为与OP垂直的弦．根据垂径定理与勾股定理，求得最短的弦长为6cm．
10．125；连接OA，作OC垂直于AB，垂足为C，根据垂径定理与勾股定理，OC=
=125．
11．CDAB或弧AD=弧BD或弧AC=弧BC任写其中一个条件即可．
12．
cm；如图所示，作OF⊥AB，垂足为F．AB为圆的直径，易得AB=8cm，半径OB=4cm，因为BE=2cm，所以OE=2cm，在Rt△OEF中，∠OEF=45°，从而得出OF=
cm．
13．证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，又∵∠B=∠D=90°，∴OB=
AC，OD=
AC．即OB=OA=OC=OD，∴
A、B、C、D四点在同一圆上．
14．如图所示（也可有其他做法）．
15．
解：连接OA、OC，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，OE=
=5;同理可得OF=12
分两种情况:如图1．EF=OF+OE=12+5=17
如图2．EF=OF-OE=12-5=7
因此梯形的面积为
（AB+CD）EF=
（24+10）EF=289或119．
16．解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D为AB、EF的中点,且CD,ME,NF均垂直于AB,MN交CD于H．弧AB所在的圆心为O,连接OA,ON．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=
AB=3.6
有OA2=AD2+OD2即在Rt△OAD中，r2=3.62+（r-2.4）2
∴r=3.9（米）
在Rt△ONH中，有OH=
（米）．
所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好．