第9章综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是(　　)

A.x＝2 B.x＝0

C.x≠2 D.x≠0

2.下列各式： ， ，x²＋ y²，(－m)^－2， ， ， 中，分式有(　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

3.下列各式中，计算结果正确的是(　　)

A. · ＝x B.8a²b²÷ ＝－6a²b

C. ＝ D. －6m＝－

4.分式 ， 的最简公分母是(　　)

A.x²－y² B.x²＋xy

C.(x＋y)(x－y) D.x(x＋y)(x－y)

5.分式方程 ＝ 的解是(　　)

A.x＝1 B.x＝2

C.x＝－1 D.x＝－2

6.如果把 中的x与y都扩大到原来的3倍，那么这个代数式的值(　　)

A.不变

B.扩大为原来的3倍

C.缩小为原来的

D.扩大为原来的9倍

7.【2023·武汉】已知x²－x－1＝0，计算 ÷ 的值是(　　)

A.1 B.1

C.2 D.－2

8. 《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1 241 cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情.已知局部临摹画装裱前是一个长为2.6 m，宽为0.6 m的长方形，装裱后的长与宽的比是11∶3，且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为x m，根据题意可列方程为(　　)

A. ＝ B. ＝

C. ＝ D. ＝

9.已知a＞1，P＝ ，Q＝ ，R＝ ，则P，Q，R的大小关系是(　　)

A.R＞P＞Q B.P＞Q＞R

C.R＞Q＞P D.P＞R＞Q

10.若关于x的方程 ＝－1的解是正数，则a的取值范围为(　　)

A.a＜2 B.a＞2

C.a＜2且a≠－4 D.a＞2且a≠4

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.若分式 的值为0，则x的值为　　　　.

12.【2023·六安金安区月考】若 ＋b²＋2b＋1＝0，则a²＋ － ＝　　　　.

13. 《九章算术》是中国古代数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一部.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为　　　　　　　　.

14.【新定义】已知m≠n，对于m＋n， ＋ ，m²＋n²等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式.若关于x，y的分式 ＋ 是完美对称式，则

(1)m＝　　　　.

(2)若完美对称式 ＋ 满足 ＋ ＝xy＋2，且x＞y＞0，则y＝　　　　.(用含x的代数式表示)

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.【2023·安徽】先化简，再求值： ，其中x＝ －1.

16.解分式方程： －2＝ .

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.【母题：教材P₁₁₃复习题T₆】(1)已知 － ＝1(b＋y≠0)，求x的值.

(2)已知k＝ (k≠0)，求x的值.

18.【2023·合肥包河区二模】某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台智能机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍.经过测试，由1台智能机器人包装1 600盒药品的时间比4个工人包装同样数量的药品节省4小时，则一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

÷

＝ ÷ ………………………………………………第一步；

＝ ÷ ……………………………………………………第二步；

＝ ÷ ……………………………………………………第三步；

＝ · ………………………………………………第四步；

＝ …………………………………………………………第五步；

＝ …………………………………………………………第六步.

任务一：

(1)以上化简步骤中第一步将原式中的 这一项变形为 属于　　　.

A.整式乘法

B.因式分解

(2)以上化简步骤中，第　　　　步是进行分式的通分，其依据是　　　　.

(3)第　　　　步开始出现错误，出现错误的具体原因是　　　　.

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.

20. 观察下列等式：

第1个等式：a₁＝1＋ ＝ ；

第2个等式：a₂＝1＋ ＝ ；

第3个等式：a₃＝1＋ ＝ ；

第4个等式：a₄＝1＋ ＝ ；

…

根据以上规律解答以下问题：

(1)写出第5个等式：　　　　　　　；写出第n个等式：　　　　　　　　　　　.

(2)由分式的基本性质可知 － ＝ ，试求a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_{2 023}－2 024的值.

六、(本题满分12分)

21.【2023·贵州】为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25％，设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题：

(1)更新设备后每天生产　　　　件产品(用含x的式子表示).

(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品.

七、(本题满分12分)

22.【2022·益阳】在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛，已知乙每小时收割的亩数比甲少40％，两人各收割6亩水稻，乙比甲多用0.4小时完成任务.甲、乙在收割过程中对应收水稻有一定的遗落或破损，损失率分别为3％，2％.

(1)甲操控A型号收割机和乙操控B型号收割机每小时各收割多少亩水稻？

(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4％，则最多安排甲收割多少小时？

八、(本题满分14分)

23.问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”共40套.已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30％，若按标价购买需花费4 300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3 000元.

问题解决：

(1)求每套B型号的“文房四宝”的标价.

(2)若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？

(3)一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套，店主继续以(2)中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店获利不低于3 800元，则该校至少购买了多少套A型号“文房四宝”？

答案

一、1.C

2.D　3.C　4.D

5.B　【点拨】 ＝ ，3x＝2(x＋1)，解得x＝2.检验：当x＝2时，x(x＋1)≠0，所以x＝2是原方程的解.

6.B　【点拨】若x与y都扩大为原来的3倍，则 ＝ ＝ ，所以代数式的值扩大为原来的3倍.

7.A　【点拨】原式＝[ － ]· ＝ · ＝ .

因为x²－x－1＝0，所以x²＝x＋1，所以原式＝ ＝1.故选A.

8.D　

9.D　【点拨】由题意得P＞1，Q＜1，R＜1.因为Q－R＝ － ＝ ＝ ＜0，所以Q＜R，所以P＞R＞Q.

10.C　

二、11.2　【点拨】由题意可知 所以x＝2.

12.6　

13.3(x－1)＝

14.(1)1　(2) 　【点拨】(1)由完美对称式的定义得 ＋ ＝ ＋ ，

整理得(1－m)(x²－y²)＝0，

因为x＞y＞0，

所以1－m＝0，解得m＝1.

(2)将m＝1代入 ＋ ＝xy＋2，得 ＋ ＝xy＋2，则 ＝xy＋2.

所以x²＋y²＝(xy)²＋2xy，则x²－2xy＋y²＝(xy)²，

所以(x－y)²＝(xy)².

因为x＞y＞0，

所以x－y＝xy，解得y＝ .

三、15.【解】原式＝ ＝x＋1.

当x＝ 2－1时，

原式＝ 2－1＋1＝ 2.

16.【解】方程两边都乘以x－3，得x－2(x－3)＝－5，

去括号，得x－2x＋6＝－5，

移项、合并同类项，得－x＝－11，

系数化为1，得x＝11.

检验：当x＝11时，x－3＝11－3＝8≠0，

所以x＝11是该分式方程的解.

四、17.【解】(1)移项，得 ＝1＋ ，

整理，得 ＝ ，即(y＋b)x＝ay.

因为y＋b≠0，所以x＝ .

(2)由已知得kx＋km＝y－m，

所以kx＝y－m－km.

因为k≠0，所以x＝ .

18.【解】设每个工人每小时可以包装x盒药品，则一台智能机器人每小时可以包装5x盒药品.

根据题意得 － ＝4，

解得x＝20.

经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，

所以5x＝5×20＝100.

答：一台智能机器人每小时可以包装100盒药品.

五、19.【解】任务一：(1)B(2)三；分式的基本性质(3)四；括号前面是负号，去括号时，后两项没有变号

任务二：－ .

20.【解】(1)a₅＝1＋ ＝ ；

a_n＝1＋ ＝

(2)a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_{2 023}－2 024

＝1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋…＋1＋ －2 024

＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － －1

＝－ .

六、21.【解】(1)1.25x　【点拨】因为更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25％，所以更新设备后每天生产(1＋25％)x＝1.25x(件)产品.

(2)由题意得 －2＝ ，

解得x＝100.

经检验，x＝100是所列分式方程的解.

1.25×100＝125(件).

答：更新设备后每天生产125件产品.

七、22.【解】(1)设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割(1－40％)x亩水稻.

依题意得 － ＝0.4，

解得x＝10，

经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，

所以(1－40％)x＝(1－40％)×10 ＝6.

答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6 亩水稻.

(2)设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时.

依题意得3％×10y＋2％×6× ≤2.4％×100，

解得y≤4.

答：最多安排甲收割 4 小时.

八、23.【解】(1)设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为1.3x元.

根据题意得 ＋ ＝40，

解得x＝100.

经检验x＝100是分式方程的解，且符合题意.

答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元.

(2)每套A型号的“文房四宝”的标价为100×1.3＝130(元)，所以原定购买A型号的“文房四宝”共 ＝10(套)，所以原定购买B型号的“文房四宝”共40－10＝30(套).

打折后，购买A型号的“文房四宝”需花费10×130×0.9＝1 170(元)，购买B型号的“文房四宝”需花费30×100×0.8＝2 400(元)，所以购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费1 170＋2 400＝3 570(元).

答：购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费3 570元.

(3)由(2)得打折后每套A型号的“文房四宝”的售价为130×0.9＝117(元)，每套B型号的“文房四宝”的售价为100×0.8＝80(元).设该校购买了y套A型号“文房四宝”，则购买了(100－y)套B型号“文房四宝”.

由题意得(117－67)y＋(80－50)(100－y)≥3 800，

解得y≥40.

答：该校至少购买了40套A型号“文房四宝”.