3.5 三角形的内切圆 同步练习

◆基础训练

1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ）

A．40° B．55° C．65° D．70°

图1 图2 图3

2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）

A．70° B．110° C．120° D．130°

3．如图3，△ABC中，∠A=45°， I是内心，则∠BIC=（ ）

A．112.5° B．112° C． 125° D．55°

4．下列命题正确的是（ ）

A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等

B．三角形的内心不一定在三角形的内部

C．等边三角形的内心，外心重合

D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）

A．1. 5，2.5 B．2，5 C．1， 2.5 D．2，2.5

6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．

（1）求证：BF=CE；

（2）若∠C=30°，CE=2 ，求AC的长．

7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是 上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．

8．如图，△ABC中，∠A=m°．

（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；

（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；

（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

◆提高训练

9．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）

A．（ ）R B．（ ）R C．（ ）^n－R D．（ ）ⁿR

10．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，DC=1，则⊙O的半径等于（ ）

A． B． C． D．

11．如图，已知正三角形ABC的边长为2a．

（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；

（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？

（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．

12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4．

（1）求△ABC的三边长；

（2）如果P为 上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．

13．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA， OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积．

∵S_△ABC =S_△OAB +S_△OBC +S_△OCA

又∵S_△OAB = AB·r，S_△OBC = BC·r，S_△OCA = AC·r

∴S_△ABC = AB·r+ BC·r+ CA·r

= L·r（可作为三角形内切圆半径公式）

（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；

（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；

（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁，a₂，a₃，…a­_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

14．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

◆拓展训练

15．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．

（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；

（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．

参考答案:

1． B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．（1）略 （2）AC=4

7．∠DMF的大小一定，∠DMF=65°

8．（1）90°+ m° （2）2m° （3）180°－m°

9．A 10．A

11．（1） a² （2）弦AB或BC或AC

（3）圆环的面积均为 ·（ ）² （4） a²

12．（1）AB=9，BC=11，AC=6 （2）14

13．（1）2 （2）r=

14． （提示：连ID，IE，IF，IB，证四边形CEID为正方形，求出ID=CE=2，证BF=BE=4，OF=1，再在Rt△IFO中求IO）

15．（1）AB+CD=AD+BC，证明略 （2）4m