第三章 图形的相似

3.4.1相似三角形的判定

基础导练

1.已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（　 　）

A.1对 B.2对 　　C.3对 D.4对

2.如图所示，在河的一岸边选定一个目标A，再在河的另一岸边选定B和C，使AB⊥BC，然后选定E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE相交于D，此时测得BD=120米，CD=60米，为了估计河的宽度AB，还需要测量的线段是（ ）

A.CE B.DE C.CE或DE D.无法确定

3.如图，下列条件中不能判定 的是（　 　）

A. B. C. D.

能力提升

4.如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________.

5. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图（1））或线段AB的延长线（如图（2））于点P.当点P在线段AB上时，

求证：△AQP∽△ABC.

6．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．

　

7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F．

（1）求证：△ABD≌△BCE；

（2）图中共有　　　　　　对相似三角形（全等除外）．并请你任选其中一对加以证明．

8．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．

（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．

　

参考答案

1.C 2. C 3. A 4.72

5.证明：因为∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，所以∠APQ=∠C，

在△APQ与△ABC中，因为∠APQ=∠C，∠A=∠A，所以△AQP∽△ABC.

6.证明：因为CE⊥AB，BF⊥AC，所以∠AEC=∠AFB=90°．

因为∠A是公共角，所以△ABF∽△ACE．

所以 ，所以 ，

又∠A是公共角，所以△AEF∽△ACB．

7．（1）证明：因为△ABC是等边三角形，

所以AC=BA，∠ABD=∠C=60°，

在△ABD和△BCE中，

所以△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）解：4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，

选择证明△AEF∽△BEA.

证明：因为△ABC是等边三角形，

所以AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，

因为BD=CE，所以AE=CD，

所以△ACD≌△BAE（SAS），所以∠DAC=∠ABE，

又因为∠AEF=∠BEA，所以△AEF∽△BEA．

8．解：（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；

（2）△ABD∽△ACE．

证明：由（1）知△ABC∽△ADE，所以 = ，

所以AB×AE=AC×AD，所以 = ，

因为∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△ACE．