期末综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.【2023·合肥庐阳区期中】在实数－0.3， ，0， ， ，3.141 592 6，1.010 010 001…(相邻两个1之间递增1个0)中，无理数有(　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

2.清·袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.000 008 5米，数据“0.000 008 5”用科学记数法表示为(　　)

A.0.85×10^－5 B.8.5×10^－6

C.8.5×10^－7 D.85×10^－8

3.下列不等式的变形不一定成立的是(　　)

A.若x＞y，则－x＜－y

B.若x＞y，则x²＞y²

C.若x＜y，则 ＜

D.若x＋m＜y＋m，则x＜y

4.【2023·赤峰】已知2a²－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)²的值是(　　)

A.6 B.－5

C.－3 D.4

5.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠BCE的度数为(　　)

A.65° B.70°

C.75° D.80°

(第5题) (第6题)

6.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的值不可能是(　　)

A.4.8 B.6

C.4 D.5

7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为(　　)

A. ＝2× B. ＝2×

C. ＝2× D. ＝2×

8.已知关于x的不等式组 至少有4个整数解，则整数a的最小值为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

9.【新定义】定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x，下列式子中正确的是(　　)

A.[ ]＝4

B.[x＋y]≤[x]＋[y]

C.[n＋x]＞n＋[x](n为整数)

D.0≤x－[x]＜1

10. 如图，已知射线OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的平分线OB，∠BOP的平分线OB₁，∠B₁OP的平分线OB₂，…，∠B_n﹣1OP的平分线OB_n，其中点B，B₁，B₂，…，B_n都在射线AE上，则∠AB_nO的度数为(　　)

A. B.

C. D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.若要使 有意义，则x的取值范围是　　　　.

12.【2023·辽宁】分解因式：m³－4m²＋4m＝　　　　.

13.将一副三角板如图所示放置，∠A＝45°，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝60°，若EF∥BC，则∠BFD＝　　　　.

输入x→y＝ →输出y

(第13题) (第14题)

14.按如图所示的程序，若输入一个数字x，经过一次运算后，可得对应的y值.

(1)若输入的x值为－5，则输出的y值为　　　　.

(2)若依次输入5个连续的自然数，输出的y的平均数的倒数是50，则所输入的最小的自然数是　　　　.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.(1)计算：－1^{2 024}＋ － ＋(π－2 024)⁰.

(2)解不等式组：

16.先化简，后求值： ÷ ，其中x的值从－1，0，1，2中选一个合适的数.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.【2023·合肥高新区期末】)三角形ABC在方格纸上的位置如图所示.

(1)画出将三角形ABC先向下平移三格，再向右平移2格得到的三角形A'B'C'.

(2)连接AA'，BB'，则线段AA'与BB'的关系是　　　　　　　　　　.

(3)若方格纸中的小正方形边长均为1，求三角形ABC的面积.

18.为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20％，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.如图，已知EF∥CD，∠1＋∠2＝180°.

(1)试说明DG∥AC.

(2)若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数.

20.某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前长方形广场的地面ABCD，AD长为100米，AB长为80米，图案设计如图所示，广场的四角为边长相同的小正方形，阴影部分为四个长方形，四个长方形的宽都等于小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖，广场内部的长方形EFGH的宽EF是长EH的 .

(1)求广场四角小正方形的边长；

(2)为了增加广场的绿化同时节省开支，现将广场四角的白色正方形地面砖的85％中的一部分改为种植绿色景观，另一部分铺设绿色地面砖，种植绿色景观每平方米的费用为30元，白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元.若广场四角的总费用不超过9 400元，则最多可以将多少平方米的白色地面砖改为种植绿色景观？

六、(本题满分12分)

21.仔细观察下列算式，尝试解决问题：

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a＋b)ⁿ(此处n＝0，1，2，3，4，5，…)的计算结果中的各项系数：

杨辉三角

	(a＋b)1＝a＋b	各项系数和为2
	(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2	各项系数和为4
	(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3	各项系数和为8
	(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4	各项系数和为16
…	…

(1)请根据上图中的杨辉三角系数表，仔细观察各式中系数的规律并填空.

①请补全下面展开式的系数：

(a＋b)⁶＝a⁶＋　　　　a⁵b＋15a⁴b²＋　　　　a³b³＋15a²b⁴＋6ab⁵＋b⁶.

②(a＋b)¹⁰各项系数之和为　　　　.

③此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过6⁵天是星期　　　　.

(2)设(x＋1)¹⁷＝a₁₇x¹⁷＋a₁₆x¹⁶＋…＋a₁x＋a₀.

小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令x＝1，则a₁₇＋a₁₆＋…＋a₁＋a₀＝(1＋1)¹⁷＝2¹⁷，聪明的你能不能求出a₁₇＋a₁₆＋…＋a₂＋a₁的值，若能，请写出过程.

(3)你能在(2)的基础上求出a₂＋a₄＋a₆＋…＋a₁₄＋a₁₆的值吗？若能，请写出过程.

七、(本题满分12分)

22. (1)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图①，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图②.

图①中阴影部分面积为　　　　，图②中阴影部分面积为　　　　，因此得到一个乘法公式为　　　　　　.

(2)【知识应用】应用(1)中的公式，完成下面任务.

若m是不为0的有理数，已知P＝(m²＋2m＋1)(m²－2m＋1)，Q＝(m²＋m＋1)(m²－m＋1)，比较P，Q的大小.

(3)【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后将剩下的部分重新剪拼成一个新长方体，请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　　　　　　　.

八、(本题满分14分)

23.【2023·合肥模拟】如图①，已知AB∥CD，点P是直线AB，CD之间的一点，点E，F分别在直线AB，CD上，则可推出∠EPF＝∠PEA＋∠PFC.

小明的思路是过点P向右作PG∥AB，通过平行线的性质可得结论∠EPF＝∠PEA＋∠PFC.

(1)请根据小明的思路，写出完整的推理过程.

(2)利用(1)中的结论解决问题：

如图②，已知AB∥CD，点P是直线AB，CD之间的一点，点E，F分别在直线AB，CD上，EM是∠AEP的平分线，FM是∠CFP的平分线，EN⊥EM，FN⊥FM.

①若∠EPF＝95°，求∠EMF的度数.

②试探究∠EPF与∠ENF之间的数量关系.

答案

一、1.C

2.B

3.B　【点拨】A.给不等式x＞y的两边同时乘以－1，得－x＜－y，故此选项不符合题意；B.当0＞x＞y时，得x²＜y²；当x＞y＞0时，得x²＞y²，故此选项符合题意；C.给不等式x＜y的两边同时除以5，得 ＜ ，故此选项不符合题意；D.给不等式x＋m＜y＋m的两边同时减去m，得x＜y，故此选项不符合题意.

4.D　

5.C　【点拨】因为AC∥DE，所以∠ACD＝∠D＝30°.因为∠ACB＝45°，所以∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝15°.所以∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝90°－15°＝75°.

6.C　【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10.因为当PC⊥AB时，PC的值最小，此时 AB·PC＝ AC·BC，所以PC＝4.8.所以线段PC的值不可能是4.故选C.

7.　B【点拨】由题意知慢马所需时间为(x＋1)天，快马所需时间为(x－3)天.

根据题意得 ＝2× .故选B.

8.　C【点拨】解不等式组得－1.5＜x＜a.因为不等式组至少有4个整数解，即4个整数解为－1，0，1，2，所以a＞2，所以整数a的最小值为3.故选C.

9.D　【点拨】A.根据算术平方根的性质，由9＜13＜16，得3＜ ＜4，所以[13]＝3，故A错误，所以A不符合题意.B.当x＝2.5，y＝2.6时，[x＋y]＝5，[x]＝2，[y]＝2，则[x＋y]＞[x]＋[y]，故B错误，所以B不符合题意.C.当n＝2，x＝2.2时，[n＋x]＝4，[x]＝2，则[n＋x]＝n＋[x]，故C错误，所以C不符合题意.D.由题意得[x]≤x＜[x]＋1，则0≤x－[x]＜1，所以D正确.

10.A　【点拨】因为OB平分∠AOP，所以∠AOB＝∠POB.因为OP//AB，所以∠ABO＝∠POB，所以∠ABO＝∠AOB.所以∠ABO＝ (180°－α).同理∠AB₁O＝ (180°－∠OBB₁).所以∠AB₁O＝ ∠ABO＝ (180°－α)，所以∠AB₂O＝ (180°－α)，…，所以∠AB_nO＝ .

二、11.x≠1　【点拨】若要使 有意义，则x－1≠0，所以x≠1.

12.m(m－2)²　【点拨】m³－4m²＋4m＝m(m²－4m＋4)＝m(m－2)².

13.15°　【点拨】因为∠A＝45°，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝60°，所以∠B＝45°，∠DEF＝30°.因为EF∥BC，所以∠BFE＝∠B＝45°，所以∠BFD＝∠BFE－∠DFE＝45°－30°＝15°.故答案为15°.

14.(1) 　(2)5

【点拨】(1)当x＝－5时，y＝ ＝ .

(2)设输入的最小的自然数是m，则由题意得

＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ×5，即 － ＋ － ＋…＋ － ＝ ，所以 － ＝ ，解得m＝5或m＝－10(舍去).

三、15.【解】(1)原式＝－1＋5－4＋1＝1.

(2)解不等式x－5＜3(x－1)，得x＞－1.

解不等式3＋ ≥1－ ，得x≥－ .

所以原不等式组的解集为x＞－1.

16.【解】( －1)÷

＝[ －1]÷

＝( －1)÷

＝ ·

＝ ·

＝ .

因为x＋1≠0，x－1≠0，

所以x≠±1.

所以x可以选0或2，选x＝0，

当x＝0时，原式＝ ＝2.(选法不唯一)

四、17.【解】(1)如图，△A'B'C'即为所求.

(2)AA'＝BB'，AA'∥BB'

(3)三角形ABC的面积为2×2－ ×1×1－2× ×1×2＝1.5.

18.【解】设原计划每天种植梨树x棵.

由题可知 － ＝2.

解得x＝500.

经检验：x＝500是原方程的根，且符合题意.

答：原计划每天种植梨树500棵.

五、19.【解】(1)因为EF∥CD，所以∠1＋∠ECD＝180°.

又因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝∠ECD.

所以GD∥AC.

(2)由(1)得GD∥AC，∠ACD＝∠2.

所以∠BDG＝∠A＝40°.

因为DG平分∠BDC，

所以∠2＝∠BDG＝40°.

所以∠ACD＝∠2＝40°.

因为CD平分∠ACB，

所以∠ACB＝2∠ACD＝80°.

20.【解】(1)设广场四角小正方形的边长为x米，

根据题意得80－2x＝ (100－2x)，

解得x＝10，

答：广场四角小正方形的边长为10米.

(2)10×10×4＝400(平方米)，

400×(1－85％)×20＝1200(元)，

设将a平方米白色地面砖改为绿植，根据题意得30a＋10(400×85％－a)＋1200≤9400，

解得a≤240.

答：最多可以将240平方米的白色地面砖改为种植绿色景观.

六、21.【解】(1)①6；20　②1 024　③二

(2)令x＝0，则a₀＝1.

因为a₁₇＋a₁₆＋…＋a₂＋a₁＋a₀＝2¹⁷，

所以a₁₇＋a₁₆＋…＋a₂＋a₁＝2¹⁷－1.

(3)当x＝－1时，(－1＋1)¹⁷＝0＝－a₁₇＋a₁₆－…＋a₂－a₁＋a₀①.

因为a₁₇＋a₁₆＋…＋a₂＋a₁＋a₀＝2¹⁷②，

①＋②得2(a₀＋a₂＋a₄＋a₆＋…＋a₁₄＋a₁₆)＝2¹⁷.

因为a₀＝1，

所以a₂＋a₄＋a₆＋…＋a₁₄＋a₁₆＝2¹⁶－1.

七、22.【解】(1)a²－b²；(a＋b)(a－b)；(a＋b)(a－b)＝a²－b²

(2)P－Q＝(m²＋2m＋1)(m²－2m＋1)－(m²＋m＋1)(m²－m＋1)

＝(m²－1)²－m⁴－m²－1

＝－3m².

因为m是不为0的有理数，所以－3m²＜0.

即P－Q＜0，所以P＜Q.

(3)x³－x＝x(x＋1)(x－1)

【点拨】题图③左图的体积为x³－1×1×x＝x³－x，

题图③右图是长为x＋1，宽为x，高为x－1的长方体，因此体积为(x＋1)·x·(x－1)，所以x³－x＝x(x＋1)(x－1).

八、23.【解】(1)过点P向右作PG∥AB.

因为AB∥CD，

所以AB∥PG∥CD，

所以∠AEP＝∠EPG，∠GPF＝∠PFC.

所以∠EPF＝∠EPG＋∠GPF＝∠PEA＋∠PFC.

(2)①由(1)得∠EPF＝∠PEA＋∠PFC＝95°，

∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

因为EM是∠AEP的平分线，FM是∠CFP的平分线，

所以∠AEM＝ ∠AEP，∠CFM＝ ∠CFP.

所以∠EMF＝ ∠AEP＋ ∠CFP＝ ∠EPF＝47.5°.

②因为EN⊥EM，FN⊥FM，

所以∠MEN＋∠MFN＝180°.

所以∠EMF＋∠ENF＝180°.

又因为∠EMF＝ ∠EPF，

所以 ∠EPF＋∠ENF＝180°.